Grupo fronterizo

Un grupo de bordes es un concepto matemático utilizado para clasificar, según simetrías , patrones en superficies bidimensionales que se repiten en la misma dirección. Estos patrones se encuentran con frecuencia en la arquitectura y las artes decorativas . El estudio matemático de tales patrones muestra que hay exactamente siete tipos de simetría.

Los grupos de borde son grupos de desplazamiento lineal bidimensionales que se repiten en una sola dirección. Están relacionados con grupos ornamentales más complejos , que clasifican patrones que se repiten en dos direcciones, y grupos cristalográficos , que clasifican patrones que se repiten en tres direcciones.

Descripción general

Siete grupos de fronteras

p1: T (solo traslación paralela en dirección horizontal) p1m1: TV (traslación paralela con simetría sobre el eje vertical) p11m: THG (traslación paralela, simetría de eje horizontal y simetría de deslizamiento) p11g: TG (traslación paralela y simetría deslizante) p2: TR (traslación paralela y rotación por ) $180^{{\circ ))$ p2mg: TRVG (traslación y rotación paralelas por , simetría de eje vertical y simetría de deslizamiento) $180^{{\circ ))$ p2mm: TRHVG (traslación paralela, rotación por , simetría horizontal, simetría vertical y simetría de deslizamiento) $180^{{\circ ))$

Formalmente, un grupo de borde es una clase de infinitos grupos de patrones de simetría discreta en una cinta (un rectángulo infinitamente ancho) y, por lo tanto, es una clase de grupos de movimientos en un plano o cinta. El grupo de simetría del grupo de bordillo necesariamente contiene traslaciones paralelas y puede contener simetrías rasantes , reflexiones a lo largo del eje de la cinta, reflexiones a lo largo del eje de la cinta y rotaciones en . Hay siete grupos de bordillos, se muestran en la siguiente tabla. Muchos autores enumeran los grupos de friso en un orden diferente [1] [2] . $180^{{\circ ))$

Los grupos de simetría reales dentro de un grupo de borde se caracterizan por la distancia de traslación paralela más pequeña y, para los grupos de borde con simetría vertical o rotación por (grupos 2, 5, 6 y 7), la ubicación del eje de simetría o centro de rotación. En el caso de grupos de simetría en un plano, los parámetros adicionales son la dirección del vector de traslación y, para grupos de borde con un eje de simetría horizontal, la simetría de deslizamiento o rotación por (grupos 3-7), la posición de la reflexión eje o el centro de rotación. Así, hay dos grados de libertad para el grupo 1, tres para los grupos 2, 3, 4 y cuatro para los grupos 5, 6 y 7. $180^{{\circ ))$ $180^{{\circ ))$

Para dos de los siete grupos de bordillos (grupos 1 y 4), los grupos de simetría son generados por un solo elemento , para cuatro grupos (grupos 2, 3, 5 y 6) son generados por dos generadores, y para el grupo 7, los grupos de simetría requieren tres generadores. El grupo de simetría en los grupos de borde 1, 2, 3 o 5 es un subgrupo del grupo de simetría del último grupo de borde con la misma distancia de traslación paralela. El grupo de simetría en los grupos de borde 4 y 6 es un subgrupo del grupo de simetría del último grupo de borde con la mitad de la distancia de traslación paralela. El último grupo de fondos de pantalla contiene el grupo de simetría del patrón periódico más simple en una tira (o plano): una secuencia de puntos. Cualquier transformación de plano que deje este patrón intacto se puede descomponer en traslación paralela ( x , y ) → ( n + x , y ) y posiblemente reflexión sobre el eje horizontal ( x , y ) → ( x ,− y ) o ejes verticales ( x , y ) → (− x , y ) asumiendo que los ejes se eligen en medio de dos puntos vecinos, o rotación por un ángulo , ( x , y ) → (− x ,− y ). Por lo tanto, el grupo de bordillo contiene el grupo de simetría "más grande", que consta de todas estas transformaciones. $180^{{\circ ))$

El requisito de discreción se introduce para excluir grupos que contengan todas las transformaciones y grupos que contengan traslaciones paralelas arbitrariamente pequeñas (por ejemplo, grupos de traslación horizontal sobre cualquier distancia racional).

Se introduce el requisito de infinito para excluir grupos que no tienen traducción paralela:

grupo con solo movimiento idéntico (isomorfo a C 1 , grupo trivial de orden 1).
grupo que consiste en movimiento y reflexión idénticos alrededor de un eje horizontal (isomorfo a C 2 , grupo cíclico de orden 2).
grupos que consisten en movimiento y reflexión idénticos alrededor de un eje vertical
grupos que consisten en movimiento y rotación idénticos alrededor de un punto en el eje horizontal $180^{{\circ ))$
grupos que consisten en movimiento y reflexión idénticos sobre el eje vertical, reflexión sobre el eje horizontal y rotación sobre el punto de intersección de estos ejes (isomorfo al grupo cuádruple de Klein ) $180^{{\circ ))$

Descripción de los siete grupos de fronteras

Hay siete subgrupos diferentes (a escala) en el grupo de borde discreto generado por traslación, reflexión (a lo largo del eje del borde) y rotación por . Cada uno de estos subgrupos es un grupo de simetría de borde y los bordes simples se muestran en la fig. 1. Siete grupos diferentes corresponden a siete series infinitas de grupos de simetría axial del espacio tridimensional , con [3] . $180^{{\circ ))$ $n=\infty$

Los grupos fronterizos se denotan mediante la notación de Hermann-Mogen , la notación cristalográfica internacional [4] , la notación orbifold , la notación de Coxeter y los símbolos de Schoenflies :

Grupos fronterizos

IUC	Kok - seter	Shen- vellón * Grupo	Diagrama § Orbifold	Ejemplos de notación de Conway [5]	Descripción
p1	[∞] +	do ∞ z ∞	∞∞	FFFFFFFF hop (salto en una pierna)	(T) Solo transferencia paralela: Este grupo es creado por un solo generador, transfiriendo la distancia más corta para un patrón periódico determinado.
p11g	[∞ + ,2 + ]	S ∞ Z ∞	∞×	FℲ FℲ FℲ FℲ FℲ paso	(TG) Simetría de deslizamiento y traslación: Este grupo es creado por un generador (simetría de deslizamiento), la traslación paralela es el resultado de dos simetrías de deslizamiento.
p1m1	[∞]	C∞v Dih∞ _ _	*∞∞	Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ lado (ir de lado)	(TV) Reflexión sobre el eje vertical y traslación: El grupo es igual al grupo no trivial del caso unidimensional. El grupo se construye usando traslación paralela y reflexión sobre el eje vertical.
p2	[∞,2] +	D∞ Dih∞ _ _	22∞	SSSSSSSS lúpulo giratorio	(TR) Traslación y rotación por : El grupo es creado por dos generadores - traslación y rotación por . $180^{{\circ ))$ $180^{{\circ ))$
p2mg	[∞,2 + ]	D∞d Dih∞ _ _	2*∞	V Λ V Λ V Λ V Λ lado giratorio	(TRVG) Reflexión sobre el eje vertical, simetría oblicua, traslación y rotación por : La traslación paralela aquí se obtiene como resultado de dos simetrías oblicuas, de modo que el grupo se genera por una simetría oblicua y una rotación o una simetría vertical. $180^{{\circ ))$
p11m	[∞ + ,2]	C ∞h Z ∞ ×Dih 1	∞*	BBBBBBBB salto (salto)	(THG) Traslación, reflexión sobre el eje horizontal, simetría deslizante: Este grupo se genera por traslación y reflexión sobre el eje horizontal. La simetría deslizante se obtiene como traslación + reflexión.
p2mm	[∞,2]	D ∞h Dih ∞ × Dih 1	*22∞	HHHHHHHH salto giratorio	(TRHVG) Reflexiones sobre los ejes vertical y horizontal, traslación paralela y rotación por : Para este grupo se necesitan tres generadores. Uno de los conjuntos generadores consiste en traslación y reflexión sobre ambos ejes. $180^{{\circ ))$

* La notación de Schoenflies para el grupo de puntos se amplía aquí para el caso de un conjunto infinito de simetrías de puntos diédricos equivalentes § El diagrama muestra un área fundamental resaltada en amarillo. Los ejes de reflexión se muestran en azul, los ejes de deslizamiento se muestran en líneas de puntos verdes y los puntos de rotación se muestran en cuadrados verdes.

Como podemos ver, salvo isomorfismo , hay cuatro grupos, dos abelianos y dos no abelianos.

Tipos de celosías: oblicuas y rectangulares

Los grupos se pueden clasificar según el tipo de red bidimensional [6] . Una retícula inclinada significa que la segunda dirección no es necesariamente ortogonal a la dirección de repetición.

Tipo de celosía	Grupos
Inclinado	p1, p2
Rectangular	p1m1, p11m, p11g, p2mm, p2mg

Demostraciones web y software

Existen herramientas gráficas de software que crean patrones 2D utilizando grupos de bordes. Por lo general, todo el patrón se actualiza automáticamente al editar un fragmento.

Kali Archivado el 29 de noviembre de 2017 en Wayback Machine , una aplicación gratuita para fondos de pantalla, bordes y otros patrones.
Kali Archivado el 21 de noviembre de 2020 en Wayback Machine , una descarga gratuita de Kali para Windows y Mac Classic.
Tess Archivado el 28 de diciembre de 2017 en Wayback Machine . Un programa de mosaico multiplataforma ( nagware ) que admite fondos de pantalla, bordes y mosaicos de Heesch .
FriezingWorkz Archivado el 22 de enero de 2007 en Wayback Machine , una pila gratuita (aplicación Hypercard) para HyperCard para la plataforma Classic Mac que admite grupos fronterizos.

Notas

↑ Coxeter, 1969 , pág. 47–49.
↑ Cederberg, 2001 , pág. 117–118, 165–171.
↑ Fisher, Mellor, 2007 .
↑ Radalelli .
↑ Frieze Patterns Conway dio los nombres según la naturaleza de las pistas.
↑ Hitzer, Ichikawa, 2008 .

Literatura

Coxeter HSM Introducción a la Geometría. - Nueva York: John Wiley & Sons, 1969. - págs. 47-49. — ISBN 0-471-50458-0 .
Judith N. Cederberg. Un curso de geometrías modernas, 2.ª edición - Nueva York: Springer-Verlag, 2001. - págs. 117-118, 165-171. — ISBN 0-387-98972-2 .
Fisher GL, Mellor B. Grupos de puntos finitos tridimensionales y la simetría de cuentas con cuentas // Journal for Mathematics and the Arts. — 2007.
Paolo G. Radaelli. Fundamentos de Simetría Cristalográfica.
Hitzer ESM, Ichikawa D. Representación de grupos subperiódicos cristalográficos por álgebra geométrica // Electronic Proc. de AGACSE. - Leipzig, Alemania, 2008. - Edición. 3, 17–19 de agosto 2008 .

Enlaces

Frieze Patterns Archivado el 20 de junio de 2017 en Wayback Machine en cut-the-knot
Illuminations: Frieze Patterns Archivado el 21 de octubre de 2017 en Wayback Machine .