El número de Heesch de una forma es el número máximo de capas de copias de la misma forma que pueden rodearla. El problema de Heesch es el problema de determinar un conjunto de números que pueden ser números de Heesch. Ambos llevan el nombre del geómetra alemán Heinrich Heesch [2] , quien encontró un mosaico con el número de Heesch 1 (la unión de un cuadrado, un triángulo regular y un triángulo con ángulos 30-60-90) [3] y propuso un problema más general [4] .
Por ejemplo, un cuadrado puede estar rodeado por un número infinito de capas de cuadrados congruentes en un parquet cuadrado , mientras que un círculo no puede estar rodeado sin agujeros ni siquiera por una sola capa de círculos iguales. El número de Heesch para un cuadrado es infinito, mientras que el número de Heesch para un círculo es cero. En ejemplos más complejos, como el de la figura, un mosaico poligonal puede estar rodeado por varias capas, pero no por un número infinito de capas. El número máximo de capas es el número de Heesch del mosaico.
El mosaico plano es el corte de un plano en áreas llamadas mosaicos . La corona nula de una teja se define como la teja misma, y para k > 0 la k -ésima corona es el conjunto de tejas que tienen un punto común con la ( k − 1)ésima corona. El número de Heesch de S es el valor máximo de k para el que hay un mosaico y un mosaico t en ese mosaico para el cual todos los mosaicos desde la cero hasta la késima corona de t son congruentes con S . En algunos trabajos, se requiere adicionalmente que la unión de coronas de cero a k - ésima sea una región simplemente conexa [1] .
Si no existe un límite superior en el número de capas que puede rodear un mosaico, se dice que su número de Heesch es infinito. En este caso, en base al lema de Koenig , se puede demostrar que existe un teselado de todo el plano con copias congruentes de la tesela [5] .
Considere el polígono P que se muestra en la figura de la derecha, formado a partir de un hexágono regular al agregar protuberancias en dos lados y muescas en tres lados. La figura muestra un teselado que consta de 61 copias de P , una región infinita y cuatro rombos dentro de la cuarta capa. Las primeras cuatro coronas del polígono central consisten enteramente en copias de la tesela P , por lo que el número de Heesch es al menos cuatro. No es posible distribuir los polígonos de una manera que evite los "agujeros" en forma de diamante porque las 61 copias de P tienen demasiados huecos para que los llenen las crestas. Por lo tanto, el número de Heesch de la ficha P es exactamente cuatro. De acuerdo con la definición reforzada, para que la corona esté simplemente conectada, el número de Heesch es tres. Este ejemplo fue descubierto por Robert Ammann [1] .
No se sabe si todos los números positivos corresponden a números de Heesch. El primer ejemplo de un polígono con un número de Heesch de 2 fue dado por Ann Fontaine [6] , quien demostró que un número infinito de figuras poliominó tienen esta propiedad [1] [7] . Casey Mann construyó una familia de mosaicos, cada uno con un número de Heesch de 5, que es el más grande conocido hasta la fecha. Las tejas de Mann tienen un número de Heesch de 5 incluso bajo las estrictas condiciones de que cada corona debe estar simplemente conectada [1] .
Para el problema correspondiente en el plano hiperbólico , el número de Heesch puede ser arbitrariamente grande [8] .
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