Grupo triangular (2,3,7)

El grupo de triángulos (2,3,7) [1]  es el grupo triangular (grupo de von Dyck ) D (2,3,7) de mapeos que conservan la orientación. Un objeto importante en la teoría de las superficies de Riemann y la geometría de Lobachevsky en relación con las superficies de Hurwitz , a saber[ aclarar ] con superficies de Riemann de género g con el mayor orden posible del grupo de automorfismos igual a 84( g − 1).

Los subgrupos libres de torsión normales del grupo triangular (2,3,7) son los grupos fucsianos asociados con las superficies de Hurwitz , como el cuartico de Klein , la superficie de McBeath y el primer triple de Hurwitz .

Edificios

Construcción hiperbólica

Para construir un grupo triangular, comenzamos con un triángulo hiperbólico con ángulos π/2, π/3, π/7. Este triángulo es el triángulo de Schwartz hiperbólico más pequeño y sus reflejos teselan el plano mediante reflejos sobre los lados. Considere un grupo generado por reflexiones sobre los lados de un triángulo. Este grupo es el grupo cristalográfico no euclidiano (un subgrupo discreto de isometrías hiperbólicas ) con este triángulo como su dominio fundamental . El mosaico asociado es un mosaico heptagonal dividido de orden 3 . El grupo triangular (2,3,7) se define como un subgrupo de índice 2 que consta de isometrías que conservan la orientación y es un grupo fucsiano (grupo cristalográfico no euclidiano que conserva la orientación).

Misión de grupo

El grupo se puede especificar usando un par de generadores, g 2 , g 3 , con las siguientes relaciones:

Geométricamente, estas relaciones corresponden a rotaciones de 2π/2, 2π/3 y 2π/7 alrededor de los vértices del triángulo de Schwartz.

Álgebra de cuaterniones

El grupo de triángulos (2,3,7) puede ser representado por el grupo de cuaterniones con norma 1, con un orden R apropiado [2] en el álgebra de cuaterniones . Más específicamente, el grupo de triángulos es el cociente del grupo de cuaterniones en su centro ±1.

Sea η = 2cos(2π/7). Entonces de la igualdad

vemos que Q (η) es una extensión cúbica completamente real de Q. El grupo hiperbólico del triángulo (2,3,7) es un subgrupo del grupo de elementos del álgebra de cuaterniones con norma 1, formado como álgebra asociativa por un par de generadores i y j y las relaciones i 2 = j 2 = η , ij = - ji . Se puede elegir un orden apropiado de los cuaterniones de Hurwitz en el álgebra de cuaterniones. Aquí el orden es generado por los elementos.

De hecho, el orden es un módulo Z [η] libre sobre la base . Los generadores cumplen las condiciones

que se reducen a relaciones en el grupo triangular después de tomar el grupo de factores en el centro.

Relación con SL(2,R)

Extendiendo los escalares de Q (η) a R (por incrustación estándar), obtenemos un isomorfismo entre el álgebra de cuaterniones y el álgebra M(2, R ) de matrices reales de 2 x 2. La elección de un isomorfismo particular nos permite mostrar el grupo triangular (2,3,7) como un caso especial del grupo fucsiano en SL(2, R ) , es decir, como un grupo factorial del grupo modular . Esto se puede visualizar utilizando los mosaicos asociados, como se muestra a la derecha en la figura: el mosaico (2,3,7) del disco de Poincaré es el espacio factorial del mosaico modular del semiespacio superior.

Sin embargo, para muchos propósitos no es necesario especificar un isomorfismo explícito. Entonces, las trazas de los elementos del grupo (y, en consecuencia, la distancia de movimiento de los elementos hiperbólicos en el semiplano superior , así como las sístoles de los subgrupos fucsianos) se pueden calcular utilizando trazas reducidas en el álgebra de cuaterniones mediante la fórmula

Notas

  1. ↑ El "grupo triangular (2,3,7)" suele entenderse como el grupo triangular incompleto Δ(2,3,7) ( el grupo de Coxeter con el triángulo de Schwartz (2,3,7), o realizado como un grupo de reflexión hiperbólica ), a saber, el grupo triangular "ordinario" .
  2. ↑ La palabra "orden" tiene muchos significados. En este contexto, el orden se entiende como el orden del anillo (R-order). Véase el libro de Reiner Pedidos máximos ( Reiner 2003 ).
  3. ↑ Teselaciones platónicas de las superficies de Riemann: The Modular Group. Archivado el 28 de octubre de 2009 en Wayback Machine . Gerard Westendorp . Archivado el 10 de marzo de 2011 en Wayback Machine .

Literatura