Peine potencial de Dirac

Peine de potencial de Dirac , en mecánica cuántica , un potencial periódico formado por una secuencia de funciones δ de Dirac .

U(x)={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\Omega \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x+na),

donde a es el intervalo entre puntos singulares adyacentes. Este es el modelo más simple en el que surge la estructura de bandas del espectro.

Ecuación de Schrödinger con un potencial en forma de peine de potencial de Dirac

La ecuación de Schrödinger toma la forma

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\Omega \sum \limits_{ n=-\infty}^{\infty}\delta (x+na)\Psi (x)=E\Psi (x).

Introduciendo la notación , obtenemos: ${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar^{2))))$

\Psi ''(x)+\left(k^{2}-2\Omega \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x+na)\right) \psi(x)=0.

En el intervalo , la ecuación toma la forma: ${\ estilo de visualización 0 <x <a}$

\Psi''(x)+k^{2}\Psi(x)=0

y su solución general es

\Psi (x)=C_{1}e^{ikx}+C_{2}e^{-ikx}.

Como el potencial es periódico , entonces en el intervalo la solución tiene la forma ${\ estilo de visualización a <x <2a}$

\Psi (x)=e^{iKa}\left(C_{1}e^{ik(xa)}+C_{2}e^{-ik(xa)}\right).

Condición de continuidad de la función de onda

{\ estilo de visualización \ Psi (a+0) = \ Psi (a-0).}

Integrando la ecuación de Schrödinger en la vecindad del punto , obtenemos la condición de coincidencia para las derivadas: $x=a$

\Psi '(a+0)=\Psi '(a-0)+2\Omega \Psi (a).

Dadas estas condiciones, tenemos:

e^{iKa}(A+B)=Ae^{ika}+Be^{-ika},

ike^{iKa}(AB)=ik(Ae^{ika}-Be^{-ika})+2\Omega (Ae^{ika}+Be^{-ika}).

Esta ecuación tiene soluciones no triviales para

\cos Ka=\cos ka+{\frac {\Omega}{k))\sin ka.

De esto se deduce que las zonas de valores de energía permitidos están determinadas por la desigualdad

|\cos ka+{\frac {\Omega}{k))\sin ka|\leqslant 1.

Espectro de energía correspondiente:

E={\frac {\hbar^{2}}{2ma^{2}}}(ka)^{2}.

Modelos de mecánica cuántica
Unidimensional sin espín	partícula libre Pozo con paredes interminables Pozo cuántico rectangular potencial delta Pozo cuántico triangular Oscilador armónico Posible trampolín Pozo de potencial Pöschl-Teller Pozo de potencial Pöschl-Teller modificado Partícula en un potencial periódico Peine potencial de Dirac Partícula en el anillo
Multidimensional sin giro	oscilador circular Ion de molécula de hidrógeno Parte superior simétrica Potenciales esféricamente simétricos Potencial de Woods-Saxon problema de kepler Potencial Yukawa potencial de Morse Hulthen potencial Potencial Molecular de Kratzer Potencial exponencial
Incluye giro	átomo de hidrógeno ion hidruro átomo de helio