Potencial delta en mecánica cuántica

El potencial delta en mecánica cuántica es el nombre general para los perfiles de energía potencial de una partícula, dados por expresiones con la función delta de Dirac . Tales perfiles modelan la situación física cuando hay máximos o mínimos muy estrechos y agudos del potencial.

Ejemplos simples de tales perfiles son una barrera de túnel en forma de delta y un pozo cuántico en forma de delta de la forma Se plantea la pregunta sobre el coeficiente de transmisión de una partícula, así como sobre la existencia y energías de los estados ligados. $U(x)=\lambda /m\cdot \delta (x)$ $\lambda$ $\cdot$ $\cdot$ $X$ $metro$

En la mayoría de los casos, al considerar el comportamiento de una partícula, se busca una solución a la ecuación de Schrödinger estacionaria unidimensional con el potencial correspondiente. Por lo general, se supone que la partícula se mueve solo a lo largo de la dirección y que no hay movimiento en el plano perpendicular . $X$ ${\ estilo de visualización yz}$

Un enfoque para resolver la ecuación de Schrödinger

La ecuación de Schrödinger unidimensional estacionaria para la función de onda tiene la forma $\psi(x)$

{\hat {H}}\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2 }}}+U(x)\derecha]\psi (x)=E\psi (x)

donde es el hamiltoniano , es la constante de Planck , es la energía total de la partícula, y . Después de integrar esta ecuación en una sección estrecha cercana a cero ${\ sombrero {H}}$ $\hbar$ $mi$ $U(x)=\lambda /m\cdot \delta (x)$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }\psi ''(x)\,dx+\int_{-\epsilon }^{+\epsilon }U(x)\psi (x)\,dx=E\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }\psi (x)\,dx,\quad \epsilon \rightarrow 0

triunfar

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(\psi _{R}'(0)-\psi _{L}'(0)\ \right)+{\ fracción {\lambda }{m}}\psi (0)=0

Iconos grandes e indican áreas a la izquierda y derecha de la barrera o foso (del inglés left, right ). En el punto , debe cumplirse la condición de continuidad de la función de onda ${\ estilo de visualización _ {L}}$ ${\ estilo de visualización _ {R}}$ $x=0$

{\ estilo de visualización \ psi _ {L} (0) = \ psi _ {R} (0)}

y la condición de continuidad para la densidad de flujo de probabilidad

{\frac {d\psi _{L}}{dx}}(0)={\frac {d\psi _{R}}{dx}}(0)-{\frac {2\lambda }{\hbar^{2}}}\psi _{R}(0)

Estas dos condiciones son relevantes independientemente de si estamos hablando de una barrera en forma de delta o de un pozo, y también (para un pozo) si el valor de la energía es mayor o menor que cero (para una barrera, la opción es imposible). $mi$ ${\ estilo de visualización E <0}$

Coeficientes de transmisión y reflexión

En esta sección, suponemos que , y consideramos el paso de una partícula a través de una barrera o sobre un pozo. ${\ estilo de visualización E> 0}$

Una barrera o foso divide el espacio en dos partes ( ). En ambas áreas, la solución a la ecuación de Schrödinger son ondas planas y se pueden escribir como su superposición : ${\ estilo de visualización x <0, \, \, x> 0}$

\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ikx}+A_{l}e^{-ikx},\quad x<0

\psi _{R}(x)=B_{r}e^{ikx}+B_{l}e^{-ikx},\quad x>0

donde es el vector de onda Pequeños índices y en los coeficientes e indican la dirección del vector de onda a la derecha ya la izquierda. La relación entre estos coeficientes se puede encontrar a partir de las condiciones para y en escritas al final de la sección anterior: $k={\sqrt {2mE}}/\hbar$ $r$ $yo$ $A$ $B$ $\psi$ $\psi'$ $x=0$

{\displaystyle A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l))

ik(A_{r}-A_{l}-B_{r}+B_{l})=-{\dfrac {2\lambda }{\hbar ^{2))}\left(B_{r }+B_{l}\derecho)

Si la partícula incidente se acerca a la barrera por la izquierda ( y ), entonces los coeficientes y , que determinan la probabilidad de reflexión y de paso, respectivamente, tienen la forma: ${\ estilo de visualización A_ {r} = 1}$ ${\ estilo de visualización B_ {l} = 0}$ ${\ estilo de visualización A_ {l} = r}$ $B_{r}=t$

t={\frac {1}{{\frac {i\lambda }{\hbar ^{2}k}}+1)),\qquad r={\frac {1}{{\frac { i\hbar^{2}k}{\lambda}}-1}}

En el caso clásico, una partícula con energía finita no puede superar la barrera de potencial infinito, y se garantiza que pasará sobre el pozo. Con el enfoque cuántico, la situación es diferente: los coeficientes de transmisión y reflexión son ${\ estilo de visualización E> 0}$

T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {\lambda ^{2)){\hbar ^{4}k^{2))))}= {\frac{1}{1+{\frac {\lambda^{2}}{2m\hbar^{2}E}}}}

{\displaystyle R=|r|^{2}=1-T={\frac {1}{1+{\frac {\hbar ^{4}k^{2}}{\lambda ^{2}} ))}={\frac {1}{1+{\frac {2m\hbar ^{2}E}{\lambda ^{2)))))))

Hay tres resultados inesperados, desde el punto de vista clásico, a la vez. Primero, hay una probabilidad de paso distinta de cero ( coeficiente de transmisión ) para una barrera infinitamente alta. En segundo lugar, dado que la fórmula es bastante aplicable a negativa , la probabilidad de pasar por encima del pozo es diferente de la unidad. En tercer lugar, el valor no cambia cuando se cambia el signo , es decir, las probabilidades de tunelizar una partícula con energía a través de la barrera y atravesar el pozo sobre el pozo son las mismas en número. $\lambda$ $T$ $\lambda$ $mi$

Estado discreto en un pozo en forma de delta

En esta sección, se supone que , y solo se considera el pozo ( ), es decir, se determina la energía del estado discreto de la partícula en él. ${\ estilo de visualización E <0}$ ${\ estilo de visualización \ lambda <0}$

En ambas regiones, la solución de la ecuación de Schrödinger, como la anterior, se puede escribir como una suma de exponenciales

\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ikx}+A_{l}e^{-ikx},\quad x<0

\psi _{R}(x)=B_{r}e^{ikx}+B_{l}e^{-ikx},\quad x>0

donde _ Pero ahora es un valor imaginario y, por lo tanto, solo deben quedar en el registro aquellos exponentes que decrecen, no aumentan, en más y menos infinito: $k={\sqrt {2mE}}/\hbar$ $k$

\psi _{L}(x)=A_{l}e^{-ikx}=A_{l}e^{|k|x},\quad x<0

\psi _{R}(x)=B_{r}e^{ikx}=B_{r}e^{-|k|x},\quad x>0

De las condiciones para y en sigue y, ya teniendo en cuenta este requisito, . De aquí $\psi$ $\psi'$ $x=0$ ${\ estilo de visualización A_ {l} = B_ {r}}$ ${\displaystyle |k|=-\lambda /\hbar ^{2))$

E_{nivel}=-{\frac {\lambda ^{2}}{2m\hbar ^{2}}}

es decir, en un pozo en forma de delta, hay exactamente un nivel con la energía escrita.

Relevancia práctica del modelo delta

La situación de tunelización a través de un potencial deltaico es el caso límite de la tunelización a través de una barrera rectangular de ancho y alto , en la que la tendencia a cero, yk se da de tal forma que el producto es constante e igual a alguna constante . $a$ $V$ $a$ $V$ $+\infty$ $V\cdot a$ $g=\lambda /m$

El problema de hacer un túnel a través de una barrera tipo delta es un problema de modelo estándar en la mecánica cuántica. Surge, por ejemplo, al describir la transferencia de corriente entre dos regiones conductoras, en cuya unión se forma espontáneamente una fina película de óxido. Si se conoce aproximadamente el espesor de la película y su composición química, se puede utilizar un modelo de barrera rectangular o trapezoidal. Sin embargo, en algunos casos, la única salida es utilizar el modelo de potencial delta.

De manera similar con el problema del pozo delta: el modelo se puede usar como una aproximación aproximada. El valor sirve como parámetro de ajuste tanto para la barrera como para el pozo. $\lambda$

Literatura

Landau LD, Lifshits EM Mecánica cuántica (teoría no relativista). — Edición 4ª. — M .: Nauka , 1989 . — 768 pág. - ("Física Teórica", Tomo III). - ISBN 5-02-014421-5 .

Modelos de mecánica cuántica
Unidimensional sin espín	partícula libre Pozo con paredes interminables Pozo cuántico rectangular potencial delta Pozo cuántico triangular Oscilador armónico Posible trampolín Pozo de potencial Pöschl-Teller Pozo de potencial Pöschl-Teller modificado Partícula en un potencial periódico Peine potencial de Dirac Partícula en el anillo
Multidimensional sin giro	oscilador circular Ion de molécula de hidrógeno Parte superior simétrica Potenciales esféricamente simétricos Potencial de Woods-Saxon problema de kepler Potencial Yukawa potencial de Morse Hulthen potencial Potencial Molecular de Kratzer Potencial exponencial
Incluye giro	átomo de hidrógeno ion hidruro átomo de helio