Pozo cuántico triangular

Un pozo cuántico triangular es uno de los perfiles de potencial simples en la mecánica cuántica , que permite una solución exacta al problema de encontrar niveles de energía y funciones de onda de un portador de carga .

Un pozo de potencial triangular unidimensional está limitado por un lado por una pared de potencial infinitamente alta ( at ) y, por otro lado, por una barrera de potencial inclinada infinitamente alta en . Este tipo de energía potencial corresponde a un campo uniforme que actúa sobre una partícula con una fuerza [1] . Ejemplos de tales campos son un campo eléctrico uniforme ( es la carga de la partícula, es la intensidad del campo eléctrico ) [2] y el campo gravitacional de gravedad ( es la masa de la partícula, es la aceleración de la gravedad ) $U(x)\rightarrow +\infty$ $-\infty <x\leqslant 0$ $0<U\left(x\right)=Fx<+\infty$ $0<x<+\infty$ $u(x)$ ${\ estilo de visualización -F = dU/dx}$ $U\left(x\right)=q\mathrm {E} _{el}x\geq 0$ $q$ ${\ Displaystyle \ mathrm {E} _ {el}}$ ${\ estilo de visualización U \ izquierda (x \ derecha) = mgx}$ $metro$ $gramo$ [3] .

Solución

La ecuación de Schrödinger y sus condiciones de contorno en este caso unidimensional se pueden escribir como [1] :

{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+{\frac {2m^{*}}{\hbar \;^{2}}}(E-Fx) \psi =0\,,

\psi (x=0)=0,\qquad \psi (x\rightarrow +\infty)\rightarrow 0\,.

Aquí , es la masa efectiva de la partícula, es la constante de Planck reducida y son la energía deseada y la función de onda de la partícula. $m^{*}$ $\hbar$ $mi$ $\psi$

Para simplificar la consideración adicional, se introduce una variable adimensional [1]

\xi =\alpha \left(x-{\frac {E}{F}}\right),

dónde

\alpha =\left({\frac {2mF}{\hbar \;^{2}}}\right)^{1/3}

Entonces la ecuación de Schrödinger tomará la forma de la ecuación de Airy :

{\ estilo de visualización \ psi '' (\ xi) - \ xi \ psi (\ xi) = 0 \,.}

La solución de esta ecuación que satisface la condición tiene la forma: ${\ estilo de visualización \ psi (\ xi \ flecha derecha + \ infinito) \ flecha derecha 0}$

{\ estilo de visualización \ psi (\ xi) = CAi (\ xi) \,,}

donde es la función de Airy de primera clase, se define de la siguiente manera: ${\ estilo de visualización IA}$

Ai(\xi )={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{+\infty }\cos \left({{\frac {u^ {3}}{3}}+u\xi }\right)\,du\,.

Los valores propios de la energía de las partículas ( ) en el pozo triangular se determinan a partir de la primera condición de contorno ${\ Displaystyle E = E_ {n}}$ ${\ estilo de visualización n = 1, \, \, 2, ..}$

\psi (x=0)=\psi _{n}\left(\xi _{n}=-\alpha {\frac {E_{n}}{F}}\right)=0\, ,

donde están los ceros de la función de Airy. Los primeros cinco ceros son aproximadamente iguales: , , , , . Para ceros grandes de las funciones de Airy están determinadas por la expresión: ${\ estilo de visualización \ xi _ {n} = -a_ {n}}$ ${\ estilo de visualización a_ {1} = 2,33810741}$ ${\ estilo de visualización a_ {2} = 4,08794944}$ $a_{3}=5.52055983$ $a_{4}=6.78670809$ $a_{5}=7.94413359$ ${\ estilo de visualización n \ gg 1}$

a_{n}\approx \left[{\frac {3\pi }{2}}\,\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\right]^{2 /3}\,.

Los valores de las constantes se encuentran a partir de la condición de normalización de la función de onda [4] $C_{n}$

\int \limits _{0}^{\infty }{dx}{{\left|\psi _{n}\left(x\right)\right|}^{2}}=1

Cálculo de la integral [5]

{\begin{alineado}&C_{n}^{2}{{\alpha }^{-1}}\int \limits_{-{{a}_{n}}}^{\infty} {d\xi }A{{i}^{2}}\left(\xi \right)=\\&C_{n}^{2}{{\alpha }^{-1}}\left[\xi A{{i}^{2}}\left(\xi \right)-{{\left(A{i}'\left(\xi \right)\right)}^{2}}\right]_ {\xi =-{{a}_{n}}}^{\infty }=\\&C_{n}^{2}{{\alpha }^{-1}}{{\left(A{i }'\left(-{{a}_{n}}\right)\right)}^{2}}=1,\\\end{alineado}}

encontrar

{{C}_{n}}={\frac {{\alpha }^{1/2}}{Ai'\left(-{{a}_{n}}\right))),

donde es la derivada de la función de Airy. Como resultado, encontramos las funciones de onda y el espectro de energía discreto para un pozo de potencial triangular en la forma: $Ai'(\xi )$

{{\psi }_{n}}\left(x\right)={\frac {{\alpha }^{1/2}}{A{i}'\left(-{{a} _{n}}\right)}}Ai\left(\alpha x-{{a}_{n}}\right);

E_{n}={\frac {Fa_{n}}{\alpha }}={\frac {\hbar ^{2}\alpha ^{2}a_{n}}{2m^{*} }}.

Las funciones son ortogonales [6] : $\psi _{n}(x)$

${\begin{alineado}&{{C}_{n}}{{C}_{m}}\int \limits _{0}^{\infty }{dx}Ai\left(\alpha x-{{a}_{n}}\right)Ai\left(\alpha x-{{a}_{m}}\right)=\\&{\frac {{{C}_{n} }{{C}_{m))}{\alpha \left({{a}_{m}}-{{a}_{n}}\right)}}\times \left[A{i} '\left(\alpha x-{{a}_{n}}\right)Ai\left(\alpha x-{{a}_{m}}\right)-\right.\\&\left. Ai\left(\alpha x-{{a}_{n}}\right)A{i}'\left(\alpha x-{{a}_{m}}\right)\right]_{x =0}^{\infty}=0\\\end{alineado}}$

en . Para el pozo bajo consideración, no existe el concepto de "ancho", ya que las funciones de onda pueden ser distintas de cero para tamaños arbitrariamente grandes . El ancho de la región clásicamente accesible ( ) se encuentra a partir de la condición ${\ estilo de visualización n \ neq m}$ $X$ $E>U(x)$

U(x_{n})=Fx_{n}=E_{n}

y es

x_{n}={\frac {a_{n}}{\alpha }}.

Aplicación de resultados

El problema considerado ha adquirido importancia en los estudios de sistemas gaseosos de electrones bidimensionales en capas inversas cerca de las interfaces dieléctrico-semiconductor. Aunque en tales sistemas el perfil de la banda de conducción en un semiconductor es más complicado que lineal, y la discontinuidad de la banda de conducción en la heterointerfaz no es infinita, inmediatamente cerca de este límite se considera que el pozo es aproximadamente triangular y la discontinuidad de la banda es suficientemente grande.

Véase también

Movimiento cuántico en un campo eléctrico
Pozo cuántico rectangular
Oscilaciones de Zener-Bloch
oscilador cuántico
Niveles de superficie magnética

Notas

↑ 1 2 3 Landau L. D., Lifshitz E. M. Capítulo III. Parágrafo 25. Movimiento en un campo homogéneo. // Mecánica cuántica. Teoría no relativista . - Moscú: Nauka, 1989. - S. 100. - 768 p. - ISBN 5-02-014421-5 . (Ruso)
↑ V. N. Neverov, A. N. Titov. Parte 1. Capítulo 1. 1.4. Tipos de sistemas de baja dimensión. // Física de sistemas de baja dimensión . — Ekaterimburgo: Institución Educativa Estatal de Educación Profesional Superior “Universidad Estatal de los Urales. A. M. Gorky", 2008. - S. 17. - 232 p.
↑ Z. Flugge. Problema 40. Caída libre cerca de la superficie terrestre // Problemas de mecánica cuántica / ed. A. A. Sokolova. - Moscú: Mir, 1974. - T. 1. - S. 100. - 340 p. (Ruso)
↑ Landau L. D., Lifshitz I. M. Capítulo 1. Conceptos básicos de la mecánica cuántica // Mecánica cuántica (teoría no relativista). - Moscú: Ciencia. cap. edición física y matemáticas lit., 1989. - T. 3. - S. 20. - 768 p. - ISBN 5-02-014421-5 .
↑ Olivier Vallée, Manuel Soares. Parte 8. Aplicaciones a la Física Cuántica // FUNCIONES AÉREAS Y APLICACIONES A LA FÍSICA (Inglés) . - Londres: Imperial College Press, 2004. - P. 139. - 194 p. — ISBN 1-86094-478-7 .
↑ Olivier Vallée, Manuel Soares. Parte 3. Primitivas e Integrales de las Funciones de Aire // FUNCIONES DE AIRE Y APLICACIONES A LA FÍSICA (Inglés) . - Londres: Imperial College Press, 2004. - P. 47. - 194 p. — ISBN 1-86094-478-7 .

Literatura

Ando T., Fowler A, Stern F. Propiedades electrónicas de sistemas bidimensionales. Por. De inglés. - M.: Mir, 1985. - 416 p.
Landau LD, Lifshits EM Mecánica cuántica (teoría no relativista). - 6ª edición, revisada. — M .: Fizmatlit , 2004 . — 800 s. - ("Física Teórica", Tomo III). — ISBN 5-9221-0530-2 .

Enlace

Pozo triangular

Modelos de mecánica cuántica
Unidimensional sin espín	partícula libre Pozo con paredes interminables Pozo cuántico rectangular potencial delta Pozo cuántico triangular Oscilador armónico Posible trampolín Pozo de potencial Pöschl-Teller Pozo de potencial Pöschl-Teller modificado Partícula en un potencial periódico Peine potencial de Dirac Partícula en el anillo
Multidimensional sin giro	oscilador circular Ion de molécula de hidrógeno Parte superior simétrica Potenciales esféricamente simétricos Potencial de Woods-Saxon problema de kepler Potencial Yukawa potencial de Morse Hulthen potencial Potencial Molecular de Kratzer Potencial exponencial
Incluye giro	átomo de hidrógeno ion hidruro átomo de helio