Ecuación de Schrödinger estacionaria unidimensional

La ecuación de Schrödinger estacionaria unidimensional es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden de la forma

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+U(x)\psi ( x)=E\psi (x),\qquad (1)

donde es la constante de Planck , es la masa de la partícula, es la energía potencial, es la energía total, es la función de onda . Para un enunciado completo del problema de encontrar una solución, también es necesario establecer las condiciones de contorno , que se presentan en forma general para el intervalo $\hbar$ $metro$ $u(x)$ $mi$ $\psi(x)$ ${\ estilo de visualización (1)}$ $[a,b]$

\alpha _{1}\psi (a)+\beta _{1}{\frac {d\psi (a)}{dx))=\gamma _{1},\qquad (2)

\alpha _{2}\psi (b)+\beta _{2}{\frac {d\psi (b)}{dx))=\gamma _{2},\qquad (3)

donde son constantes. La mecánica cuántica considera soluciones de una ecuación con condiciones de contorno y . ${\ estilo de visualización \ alfa _ {1}, \ alfa _ {2}, \ beta _ {1}, \ beta _ {2}, \ gamma _ {1}, \ gamma _ {2}}$ ${\ estilo de visualización (1)}$ ${\ estilo de visualización (2)}$ ${\ estilo de visualización (3)}$

Propiedades generales

Según el significado físico, la función de onda debe ser una función continua y de un solo valor de sus coordenadas. La condición de normalización proviene de interpretar el cuadrado de la función de onda como una probabilidad .

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }|\psi (x)|^{2}dx=1.\qquad (0a)

De esto se sigue, en particular, que la función de onda debe decaer lo suficientemente rápido como una función de x. En el caso unidimensional, si la función de onda está en , entonces el exponente de acuerdo con la expresión ${\ estilo de visualización \ psi (x) \ sim 1 / x ^ {\ alfa}}$ $x\longrightarrow +\infty$

\int ^{+\infty }|\psi (x)|^{2}dx=\int ^{+\infty }1/x^{2\alpha }dx=1/x^{2\ alfa -1}\mid ^{+\infty}\longrightarrow 0,\qquad (0b)

debe satisfacer la desigualdad ${\ estilo de visualización \ alfa > 1/2.}$

La integración de la ecuación en una pequeña vecindad del punto a da condiciones adicionales sobre la derivada de la función de onda ${\ estilo de visualización (1)}$

\int _{a-\varepsilon }^{a+\varepsilon }{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2))}dx={\frac {2m}{ \hbar ^{2}}}\int _{a-\varepsilon }^{a+\varepsilon }(U(x)-E)\psi (x)dx,\qquad (0c)

de donde se sigue en el límite ${\ estilo de visualización \ varepsilon \ longrightarrow 0}$

\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\right|_{a+0}-\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\ derecha|_{a-0}=0,\qquad(0d)

si la energía potencial tiene discontinuidades del primer tipo (saltos finitos) en el punto a. Si en el punto a existe una discontinuidad del segundo tipo , por ejemplo, la energía potencial está descrita por la función delta ( ), entonces la condición toma la forma $U(x)=-G\delta(xa)$ ${\ estilo de visualización (0c)}$

\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\right|_{a+0}-\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\ derecha|_{a-0}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(-G)\psi (a).\qquad (0e)

Si el espectro de energía no es degenerado, entonces solo hay una función de onda que es una solución a la ecuación de Schrödinger para una energía dada, y está definida hasta la fase. En el caso de que el potencial sea simétrico, las funciones de onda serán pares o impares, y la paridad de las funciones de onda se alternará.

Soluciones analíticas exactas

En la forma general, no hay solución para la ecuación , con condiciones de contorno y , pero con una cierta elección de energía potencial, se pueden encontrar soluciones exactas. Desempeñan un papel importante en la construcción de soluciones analíticas aproximadas de la ecuación . ${\ estilo de visualización (1)}$ ${\ estilo de visualización (2)}$ ${\ estilo de visualización (3)}$ ${\ estilo de visualización (1)}$

La solución para una partícula libre son las ondas planas

En el espacio libre, donde no hay potenciales, la ecuación toma una forma particularmente simple ${\ estilo de visualización (1)}$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}=E\psi (x). \qquad(4)

Para esta ecuación, la solución es la superposición de ondas planas

\psi (x)=C_{1}e^{i{\sqrt {2mE}}x/\hbar }+C_{2}e^{-i{\sqrt {2mE}}x/\hbar }.\qquad(5)

Aquí, la energía puede tomar todos los valores por encima de cero, por lo que se dice que el valor propio pertenece al espectro continuo . Las constantes y se determinan a partir de la condición de normalización . $mi$ $C_{1}$ $C_{2}$

Solución para una partícula en un pozo de potencial unidimensional con paredes infinitamente altas

Si se coloca una partícula en un pozo de potencial, entonces el espectro de energía continuo se vuelve discreto . Para una ecuación con energía potencial , que es cero en el intervalo y se vuelve infinita en los puntos y . En este intervalo , la ecuación de Schrödinger coincide con . Las condiciones de contorno para la función de onda se escriben en la forma ${\ estilo de visualización (1)}$ $u(x)$ $(0,a)$ ${\ estilo de visualización 0}$ $a$ ${\ estilo de visualización (4)}$ ${\ estilo de visualización (2)}$ ${\ estilo de visualización (3)}$

{\ estilo de visualización \ psi (0) = 0, \ qquad (6)}

{\ estilo de visualización \ psi (a) = 0. \ qquad (7)}

Buscando soluciones en la forma . Teniendo en cuenta las condiciones de contorno, obtenemos para los valores propios de energía ${\displaystyle A\sen {({\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}x+\delta )))$ $E_{n}$

E_{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}n^{2}\qquad (8)

y funciones propias, teniendo en cuenta la normalización

\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{a}}}\sin {{\frac {\pi n}{a}}x}.\qquad (9)

Soluciones numéricas

Un potencial un tanto complejo en la ecuación ya no permite encontrar una solución analítica (o mejor dicho, esta solución solo se puede encontrar para el problema de una partícula moviéndose en el campo de otra), y por lo tanto se requiere utilizar métodos numéricos para resolver el problema. ecuación de Schrödinger. Uno de los más simples y accesibles es el método de diferencias finitas , en el que la ecuación se reemplaza por una ecuación en diferencias finitas en una cuadrícula elegida con nodos en los puntos , es decir, reemplazando la segunda derivada por la fórmula ${\ estilo de visualización (1)}$ ${\ estilo de visualización (1)}$ $x_{n}$

{\frac {d^{2}y(x)}{dx^{2}}}={\frac {y_{n-1}-2y_{n}+y_{n+1}}{ h^{2}}},\qquad(10)

donde es el paso de discretización , es el número de nodo de la grilla, obtenemos $h$ $norte$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {y_{n-1}-2y_{n}+y_{n+1}}{h^{2}}} +U_{n}y_{n}=Ey_{n},\qquad(11)

donde es el valor de la energía potencial en los nodos de la red. Deje alguna escala característica del potencial, entonces la ecuación se puede escribir en una forma adimensional $Naciones Unidas}$ $u(x)$ $a$ ${\ estilo de visualización (11)}$

-y_{n-1}+(2+h^{2}{\frac {2ma^{2}U_{n}}{\hbar ^{2}}})y_{n}-y_{ n+1}=h^{2}{\frac {2ma^{2}E}{\hbar ^{2}}}y_{n}.\qquad (12)

Si denotamos los valores adimensionales de la energía potencial y los valores propios , entonces la ecuación se simplificará $v_{n}={\frac{2ma^{2}U_{n}}{\hbar^{2}}}$ ${\displaystyle e=h^{2}{\frac {2ma^{2}E}{\hbar^{2))))$ ${\ estilo de visualización (12)}$

-y_{n-1}+(2+h^{2}v_{n}-e)y_{n}-y_{n+1}=0.\qquad (13)

La última expresión debe entenderse como un sistema de ecuaciones para todos los índices posibles . $norte$

Literatura

Boum A. Mecánica cuántica: fundamentos y aplicaciones. M. Mir, 1990. - 720s. ISBN 5-03-001311-3
Berezin F. A., Shubin M. A. Ecuación de Schrödinger. Editorial de la Universidad Estatal de Moscú, 1983.
Kalitkin N. N. Métodos numéricos. M., Nauka, 1978.

Véase también

Pozo con paredes interminables

Modelos de mecánica cuántica
Unidimensional sin espín	partícula libre Pozo con paredes interminables Pozo cuántico rectangular potencial delta Pozo cuántico triangular Oscilador armónico Posible trampolín Pozo de potencial Pöschl-Teller Pozo de potencial Pöschl-Teller modificado Partícula en un potencial periódico Peine potencial de Dirac Partícula en el anillo
Multidimensional sin giro	oscilador circular Ion de molécula de hidrógeno Parte superior simétrica Potenciales esféricamente simétricos Potencial de Woods-Saxon problema de kepler Potencial Yukawa potencial de Morse Hulthen potencial Potencial Molecular de Kratzer Potencial exponencial
Incluye giro	átomo de hidrógeno ion hidruro átomo de helio