Dominancia (teoría de juegos)

El dominio en la teoría de juegos es una situación en la que una de las estrategias de un determinado jugador da una recompensa mayor que otra, por cualquier acción de sus oponentes. El concepto inverso, la intransitividad , surge si alguna estrategia puede dar beneficios menores que otra, dependiendo del comportamiento de los otros participantes.

El concepto de dominación se utiliza para resolver o simplificar ciertos tipos de juegos no cooperativos .

Terminología

Al elegir su estrategia del conjunto de las admisibles, el jugador compara los resultados de su aplicación por preferencia. Se pueden producir tres tipos de resultados:

• La estrategia B domina la estrategia A si, para cualquier comportamiento de otros jugadores, el uso de la estrategia B no conduce a un peor resultado que el uso de A. Hay dominancia estricta , cuando B da un pago mayor que A, bajo cualquier condición, y dominancia débil . si bajo algunas acciones otros jugadores, B proporciona una recompensa mayor que A, y para otros, lo mismo con ella.
• La estrategia B está dominada por la estrategia A si, para cualquier comportamiento de los demás jugadores, la estrategia B no conduce a mejores resultados que la estrategia A. De forma similar al caso anterior, una estrategia puede estar fuertemente o débilmente dominada.
• Las estrategias A y B se denominan no transitivas si B no domina a A y A no domina a B. Esto significa que, dependiendo de la elección de estrategias por parte de otros jugadores, tanto la elección de la estrategia A como de la B pueden proporcionar grandes beneficios para el jugador. jugador.

Este concepto se generaliza para comparar más de dos estrategias:

• Se dice que una estrategia B es estrictamente dominante si domina estrictamente cualquier otra estrategia admisible del jugador.
• Se dice que la estrategia B es débilmente dominante si domina todas las demás estrategias factibles del jugador, algunas de las cuales están débilmente dominadas.
• La estrategia B se denomina estrictamente dominada si existe otra estrategia que la domina estrictamente.
• La estrategia B se denomina débilmente dominada si existe otra estrategia que la domina débilmente.

Definiciones formales

Se dice que la estrategia de un jugador domina débilmente la estrategia si

Aquí está el producto directo de los conjuntos estratégicos de todos los jugadores excepto el -ésimo.

La estrategia es estrictamente dominante si

Dominancia y equilibrios de Nash

Si existe una estrategia estrictamente dominante para uno de los jugadores, la utilizará en cualquiera de los equilibrios de Nash del juego. Si todos los jugadores tienen estrategias estrictamente dominantes, el juego tiene un equilibrio de Nash único. Sin embargo, este equilibrio no será necesariamente eficiente en el sentido de Pareto , es decir los resultados del desequilibrio pueden proporcionar a todos los jugadores una mayor recompensa. Un ejemplo clásico de esta situación es el juego del Dilema del Prisionero .

El uso de estrategias estrictamente dominadas en ningún caso es racional para los jugadores, por lo que no se incluirán en el equilibrio de Nash. Al mismo tiempo, las estrategias débilmente dominadas pueden entrar en equilibrio. Un ejemplo de tal juego se muestra a la derecha.

Aquí las estrategias D de ambos jugadores están débilmente dominadas por sus estrategias C. Sin embargo, la situación ( D , D ) es el equilibrio de Nash en este juego. De hecho, ningún jugador, al desviarse del uso de D , puede obtener más beneficios si el otro jugador se apega a D.

Exclusión sucesiva de estrategias dominadas

La exclusión sucesiva de estrategias dominadas es una técnica comúnmente utilizada para resolver o simplificar juegos no cooperativos. Se basa en la suposición de que durante el juego las partes no utilizarán estrategias dominadas y, por lo tanto, pueden ignorarse en decisiones posteriores. Sin embargo, la exclusión de estas estrategias de la consideración conduce a una reducción del conjunto de situaciones posibles, como resultado de lo cual pueden surgir nuevas estrategias dominadas que no estaban dominadas en el juego original. La exclusión sucesiva de estrategias dominadas consiste en encontrarlas y eliminarlas en una secuencia de juegos reducidos con conjuntos de situaciones de juego cada vez más reducidos.

Este proceso puede detenerse, dando lugar a un juego reducido en el que todas las estrategias de los jugadores son no transitivas oa una sola situación. Si se eliminaran las estrategias fuertemente dominadas, esta situación es el único equilibrio de Nash en el juego. La eliminación de estrategias dominadas débilmente también conduce a un equilibrio de Nash, pero este equilibrio puede no ser único. En algunos juegos, dependiendo de la secuencia de eliminación de estrategias débilmente dominadas, el proceso iterativo de eliminación puede converger en varios equilibrios de Nash.

Ejemplo

Un ejemplo de resolución de un juego por eliminación sucesiva de estrategias estrictamente dominadas. [una]

Que participen en el juego los jugadores A y B. Para el jugador A, están disponibles las estrategias a 1 y a 2 , para el jugador B, las estrategias b 1 , b 2 , b 3 . Los jugadores eligen estrategias simultáneamente e independientemente unos de otros. La tabla muestra los pagos que reciben los jugadores al jugar su estrategia, dependiendo de la estrategia elegida por otro jugador. El primer dígito de la celda es el pago del primer jugador, el número después del punto y coma es el pago recibido por el segundo jugador.

tabla fuente Por ejemplo, la tabla muestra que si el jugador A juega la estrategia a 2 y el jugador B juega la estrategia b 3 , entonces el jugador A obtendrá 4 puntos y el jugador B obtendrá 1 punto.

Se puede observar que independientemente de la elección del jugador A, para el segundo jugador la estrategia b 2 es inferior en sus características a la estrategia b 3 (6 < 9 y 0 < 1).

Por lo tanto, la columna con la estrategia b 2 se puede ignorar en una consideración posterior, la eliminamos. Desde el punto de vista del jugador A, entre las estrategias restantes, un 1 es claramente inferior a un 2 (6 < 7 y 3 < 4)

Tacha la línea con la estrategia a 1 . Solo quedan dos celdas en la tabla de pagos, y para el segundo jugador, la estrategia b 1 es claramente preferible a la estrategia b 3 (1 < 7).

Así, al excluir las estrategias fuertemente dominadas, hemos resuelto el juego: los jugadores racionales jugarán las estrategias b 1 y a 2 , cada jugador recibirá un pago de 7.

Notas

1. ↑ Tabla del curso de teoría de juegos Archivado el 17 de febrero de 2015 en Wayback Machine por Dmitry Dagaev (Escuela Superior de Economía) en Coursera

Literatura

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