El problema de brokar
El problema de Brocard es un problema matemático de encontrar números enteros m para los cuales
donde n! — factoriales . El desafío fue planteado por Henri Brocard en artículos de 1876 y 1885, y de forma independiente en 1913 por Ramanujan .
Problemas no resueltos de matemáticas : ¿Existen soluciones al problema de Brocard que no sean 4, 5, 7?Números marrones
Los pares de números ( n , m ) que resuelven el problema de Brocard se llaman el número de Brown . Solo se conocen tres pares de tales números:
(4, 5), (5, 11) y (7, 71) [1] .Pal Erdős sugirió que no hay otras soluciones. Overholt [2] demostró que solo hay un número finito de soluciones siempre que la conjetura abc sea verdadera. Berndt y Galway [3] realizaron cálculos para n hasta 10 9 y no encontraron otras soluciones [1] .
Variantes del problema
Dabrowski [4] generalizó el resultado de Overholt mostrando que la conjetura abc implica que
tiene sólo un número finito de soluciones para cualquier número dado A. Este resultado fue generalizado aún más por Luca [5] , mostrando (nuevamente asumiendo que la hipótesis abc es verdadera) que la igualdad
tiene solo un número finito de valores enteros para un polinomio dado P ( x ) de al menos segundo grado con coeficientes enteros.
Notas
- ↑ 1 2 Stuart, 2015 , pág. 404.
- ↑ Overholt, 1993 .
- ↑ Berndt, Galway, 2000 .
- ↑ Dabrowski, 1996 .
- ↑ Lucas, 2002 .
Véase también
Literatura
- Bruce C. Berndt, William F. Galway. La ecuación diofántica de Brocard-Ramanujan n ! + 1 = m 2 // El Diario Ramanujan. - 2000. - T. 4 . - S. 41-42 . -doi : 10.1023/A : 1009873805276 .
- H. Brocard. Pregunta 166 // Nouv. Corres. Matemáticas. - 1876. - T. 2 . - S. 287 .
- H. Brocard. Pregunta 1532 // Nouv. Ana. Matemáticas. - 1885. - T. 4 . - S. 391 .
- A. Dabrowski. Sobre la ecuación diofántica x ! + A = y 2 // Nuevo Arco. mecha - 1996. - T. 14 . - S. 321-324 .
- Chico RK . Problemas no Resueltos de Teoría de Números // 2do. - Nueva York: Springer-Verlag, 1994. - S. 193-194 . — ISBN 0-387-90593-6 .
- Florián Lucas. La ecuación diofántica P ( x ) = n ! y un resultado de M. Overholt // Glasnik Matematicki. - 2002. - T. 37 , núm. 57 . - S. 269-273 .
- Marius Overholt. La ecuación diofántica n ! + 1 = m2 // Toro. Matemáticas de Londres. soc. - 1993. - T. 25 , núm. 2 . - art. 104 . -doi : 10.1112 / blms/25.2.104 .
- Estuardo Ian. Los mejores problemas de matemáticas. — M. : Alpina no ficción, 2015. — 460 p. - ISBN 978-5-91671-318-3 .
Enlaces
- Weisstein, Eric W. Brocard's Problem (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
- Weisstein, Eric W. Brown Numbers (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
- Copeland, Ed Brown Numbers (enlace no disponible) . Numerófilo . Brady Harán. Consultado el 9 de noviembre de 2014. Archivado desde el original el 9 de noviembre de 2014.