La tarea de compartir piso

El problema de la renta compartida [1] [2]  es un tipo de problema de reparto justo en el que deben compartirse al mismo tiempo objetos indivisibles y un precio monetario fijo. En la literatura inglesa, este problema tiene diferentes nombres, como Rental harmonía , problema de los compañeros de casa [ 3] [4] y habitación- asignación -alquiler-división [5] [6] [7] [8] .

En condiciones típicas, hay socios dispuestos a alquilar una casa de habitación compartida por el precio solicitado por el arrendador. Cada uno de los socios tiene sus propias preferencias: uno prefiere una habitación grande, el otro puede preferir una habitación con vistas a la calle principal, etc. Los siguientes dos problemas deben resolverse al mismo tiempo:

Son varias las propiedades que vamos a requerir que se cumplan.

De la ausencia de envidia se sigue la eficiencia de Pareto. Demostración: (por contradicción) supongamos que existe una asignación alternativa con el mismo vector de precios que es estrictamente mejor para al menos un socio. Entonces, con la distribución actual, este socio estará celoso.

El problema de compartir piso se estudió bajo dos supuestos diferentes sobre las preferencias de los socios:

Cardinalidad implica ordinalidad, ya que siempre es posible construir una relación de preferencia según el vector de estimaciones. La ordinalidad es una suposición más general y supone una carga mental menor para los socios.

Versión ordinal

Do: una persona por habitación

El protocolo de Francis Su hace las siguientes suposiciones sobre las preferencias de los socios:

  1. Buena casa : En cualquier desglose de alquiler, cada persona encuentra aceptable al menos un paquete de habitación + tarifa.
  2. Mínima influencia externa : La relación de preferencia depende de la habitación y el pago, pero no de la elección de otros socios.
  3. Afiliados tacaños : a todos los afiliados les gustan las habitaciones gratuitas (sin cargo) en comparación con cualquier otra habitación.
  4. Conjunto de preferencias topológicamente cerrado : un socio que prefiere un espacio para una secuencia de precios también prefiere ese espacio para el precio marginal.

Normalizamos el pago total por las instalaciones a 1. Entonces cualquier esquema de precios es un punto en el símplex -dimensional con vértices en . El protocolo Su funciona en la versión dual de este simplex de manera similar a los protocolos de corte de torta Simmons-Su : para cualquier vértice de la triangulación del simplex dual que corresponde a un determinado esquema de precios, el algoritmo le pregunta al socio "cuál ¿Qué habitación prefiere en este esquema de precios?”. Esto conduce a una coloración de Sperner del símplex dual, y luego hay un subsimplejo pequeño que corresponde a una distribución aproximada de habitaciones y pagos sin envidia.

El protocolo Su devuelve una secuencia de distribuciones que convergen a una distribución sin envidia. Los precios son siempre no negativos. Por lo tanto, el resultado satisface los requisitos de no negatividad y OP.

Sun [10] y Procaccia [11] han dado una explicación popular del protocolo de compartir apartamento de Su.

Fair Division Page [ 12] y Divide Your Rent Fairly [13] de Francis Su tienen implementaciones en línea.

Azrieli y Shmaya compartieron una habitación

Azrieli y Shmaya [2] generalizaron la solución de Su a una situación en la que la capacidad de cada habitación puede ser mayor que uno (es decir, algunos socios pueden compartir la misma habitación).

Probaron la existencia de distribución sin envidia bajo las siguientes condiciones:

  1. Buena casa : a cada socio le gusta al menos una habitación de acuerdo con cada vector de precios.
  2. Mínima influencia externa : Todos los socios prefieren habitaciones libres.
  3. Socios tacaños : Las preferencias son continuas en el precio.

Los principales medios utilizados en la prueba:

Su solución es constructiva en el mismo sentido que la solución de Su: existe un procedimiento que aproxima las soluciones con cualquier precisión dada.

Propiedades básicas de los protocolos ordinales

R. Tanto en el protocolo Su como en el protocolo Azrieli y Shmaiya, se permite (pero no se exige) que las relaciones de preferencia de cada socio dependan del vector de precio total. Es decir, el socio puede decir: "Si la habitación A cuesta 1000, entonces preferiré la habitación B a la habitación C, pero si la habitación A cuesta solo 700, entonces preferiré la habitación C a la B".

Hay varias razones por las que tal generalidad podría ser útil [2] .

  1. Planificación para el futuro. Supongamos que el socio piensa que la mejor habitación es A, luego B, luego C. Si A es demasiado cara, el participante ocupa B. Pero si A es más barata, el socio puede comprar C (la más barata) y luego ahorrar dinero y mudarse a UNA.
  2. Información incompleta. El vector de precios puede dar al socio información sobre la calidad de las habitaciones.
  3. vecinos. El vector de precios puede predecir a un socio, hasta cierto punto, qué tipo de personas vivirán en las habitaciones vecinas.
  4. Efectos ilógicos, como los efectos del marco de percepción . Si las habitaciones B y C tienen la misma calidad y el mismo precio, entonces el socio elige A. Pero si la habitación B se vuelve más cara, el socio puede elegir C, pensando "es igual que B, pero más barata...".

La solución de B. Su y la solución de Azrieli y Shmaya hacen una suposición de "inquilino tacaño": suponen que un inquilino siempre prefiere una habitación libre a una habitación con precio positivo. Esta suposición es fuerte y no siempre realista. Si una habitación es muy mala, puede suceder que algunos inquilinos no quieran vivir en esa habitación, incluso si el pago es cero. Esto es fácil de ver en la versión cardinal: si considera que la habitación A cuesta 0 y la habitación B cuesta 100, mientras que la habitación A es gratuita y la habitación B cuesta 50, definitivamente preferirá la habitación B.

Su [1] propuso una relajación de este supuesto de la siguiente manera: cada socio nunca elige la habitación más cara si hay una habitación libre. Esto no requiere que la persona seleccione una habitación libre. En particular, esto será cierto si la persona siempre prefiere una habitación gratis a una habitación que vale al menos el precio completo. Sin embargo, incluso esta suposición debilitada puede resultar poco realista, como en el ejemplo anterior [14] .

Versión Cardinal

Como se explicó anteriormente, la entrada a la versión cardinal es una matriz de precio de oferta: cada socio debe ofertar por cada habitación, indicando cuánto valoran esa habitación (por ejemplo, en rublos o dólares).

El concepto clave en las decisiones cardinales es la distribución maxsum . Esta es la distribución de los socios de habitación que maximiza la suma de los precios de oferta. El problema de encontrar una distribución con maxsum se conoce como problema de asignación y puede resolverse mediante el algoritmo húngaro en el tiempo (donde  está el número de socios). Cualquier distribución OZ es un maxsum y cualquier distribución maxsum es un EP [4] .

Incompatibilidad entre EP y no negatividad

Los dos requisitos, ausencia de envidia y no negatividad de los pagos, no siempre son compatibles. Por ejemplo, suponga que el precio total es 100 y las estimaciones son:

Habitación 1 Habitación 2
Socio 1 150 0
Socio 2 140 diez

Aquí, solo la distribución maxsum le da la habitación 1 al socio 1 y la habitación 2 al socio 2. Para evitar que el socio 2 esté celoso, el socio 1 debe pagar 115 y el socio 2 debe pagar −15.

En este ejemplo, la suma de las estimaciones es mayor que el costo total. Si la suma de los puntajes es igual al costo total y hay dos o tres socios, entonces siempre hay una distribución OD y HO [15] . Pero en el caso de cuatro o más socios, nuevamente OD y DO pueden resultar incompatibles, como en el siguiente ejemplo (ver el artículo de Brahms [16] como prueba):

Habitación 1 Habitación 2 Sala 3 Habitación 4
Socio 1 36 34 treinta 0
Socio 2 31 36 33 0
Socio 3 34 treinta 36 0
Socio 4 32 33 35 0

Tenga en cuenta que este ejemplo no ocurre en la versión ordinal, ya que el protocolo ordinal hace la suposición de "socios tacaños", donde los socios siempre prefieren habitaciones libres. Si esta suposición es cierta, siempre hay una distribución OD+HO. Sin embargo, en el ejemplo anterior, la suposición falla y la distribución OD+HO no existe. Por lo tanto, los protocolos en la versión cardinal deben buscar un compromiso entre DO y DO. Cada protocolo hace diferentes compensaciones.

Brahms y Kilgour: PERO, no OZ

Brahms y Kilgour [8] [17] propusieron un procedimiento de ruptura :

  1. Calculamos la distribución maxsum.
  2. Si la suma máxima es menor que el precio total, entonces el problema no tiene solución, porque los socios no quieren pagar el precio total asignado por el propietario de la casa.
  3. Si la suma máxima es exactamente igual al precio total, las habitaciones se asignan y los socios pagan los precios anunciados.
  4. Si la suma máxima es mayor que el precio total, los precios se reducen en función de la brecha entre estos precios y la próxima valoración (mínima) (consulte el libro para obtener una discusión más detallada).

La idea detrás del último paso es que la siguiente puntuación (mínima) represente la "competencia" por la sala. Si el socio con la siguiente oferta más alta quiere más espacio, entonces debería costar más. Esto es similar en espíritu a la subasta de Vickrey . Sin embargo, en una subasta de Vickrey, el pago depende completamente de los precios declarados, y en el procedimiento de brecha, los pagos son solo parcialmente independientes. Por lo tanto, el procedimiento de ruptura no es invulnerable .

El procedimiento gap siempre asigna precios no negativos. Dado que la asignación es maxsum, es obvio que también es eficiente en el sentido de Pareto. Sin embargo, algunos socios pueden estar celosos. Es decir, el procedimiento de ruptura satisface el PERO y el EP, pero no el PP.

Además, el procedimiento de ruptura puede devolver una distribución llena de envidia incluso cuando existe una distribución OD. Brahms dijo sobre este problema: “Los precios de diferencia tienen en cuenta la competencia en los precios de oferta que hacen que el mecanismo de fijación de precios sea comercializable. Aunque la ausencia de envidia es una propiedad deseable, prefiero un mecanismo similar al del mercado donde hay un conflicto entre las dos propiedades; los socios deberían pagar más si sus ofertas compiten, incluso si esto genera envidia” [18] .

Haake, Wraith y Su: OZ pero no PERO

Haake, Wraith y Su [7] presentaron un procedimiento compensatorio . El problema que resuelve este procedimiento es en algunos aspectos más general que el problema de alquilar un apartamento juntos:

Existe un "requisito de calificación" para los socios: la cantidad de solicitudes no debe ser inferior al costo total.

El procedimiento sigue los siguientes pasos.

  1. Encuentre la distribución maxsum (pragmática), la distribución con la suma de utilidad más alta que satisface las restricciones en los paquetes de objetos. Si no hay restricciones, la distribución que cada objeto le da al socio con la puntuación más alta es maxsum. Si hay restricciones (como "al menos un objeto por socio"), entonces la distribución maxsum puede ser difícil de encontrar.
  2. Asignamos a cada socio el valor del paquete que se le distribuye. Esto crea un pago inicial.
  3. Pagamos el precio desde la caja inicial. Si todos los socios han cumplido con los requisitos de calificación, entonces hay suficiente dinero en la caja registradora y puede aparecer algún monto residual .
  4. Excluimos la envidia mediante pagos compensatorios a socios envidiosos. No hay más rondas de pago. El procedimiento es completamente claro y dice claramente qué compensación se debe pagar y en qué orden. Además, este procedimiento es fácil de realizar sin una computadora.
  5. El monto de la compensación realizada en todas las rondas es el monto mínimo requerido para eliminar la envidia, y nunca excede el monto residual . Si queda algo, ese resto se puede dividir de cualquier manera que no genere envidia, como pagar una cantidad igual a cada socio (los artículos discuten otras opciones que pueden considerarse más "justas").

Si hay muchos objetos y restricciones complejas, el paso inicial de encontrar la suma máxima de la distribución puede ser difícil de calcular sin una computadora. En este caso, el "procedimiento de compensación" puede comenzar con una distribución arbitraria. En este caso, el procedimiento puede terminar con un reparto que contenga ciclos de envidia . Estos bucles se pueden eliminar moviendo paquetes alrededor del bucle. Tal transferencia aumenta estrictamente la cantidad total de utilidad. Por lo tanto, después de un número limitado de iteraciones, se encontrará la distribución maxsum y el procedimiento puede continuar como se indicó anteriormente para obtener una distribución libre de envidia.

El procedimiento de compensación puede asignar pagos negativos a algunos socios (es decir, dar a los socios cantidades de dinero positivas). Esto significa que el procedimiento de compensación es una OC pero no una NA. Los autores dicen:

“No descartamos situaciones en las que una persona será pagada por otras. En el contexto de una división justa, no vemos esto como un problema en absoluto. Además, si el grupo no quiere deshacerse de ninguno de los miembros, no hay razón para que el grupo no subsidie ​​a un miembro del grupo que recibe un paquete de objetos no deseado (para otros). Además, el requisito de calificación garantiza que los subsidios no resulten de la subestimación del conjunto completo de objetos por parte de los jugadores” [19] .

Sin embargo, otros autores argumentan que en un escenario típico de alquiler

“Un inquilino al que se le asigna una habitación con un costo de vida negativo es subsidiado por varios de los otros inquilinos. En tal situación, pueden preferir dejar la habitación vacía y deshacerse del compañero de piso que ocupa la habitación, ya que reciben un descuento en el alojamiento. Para evitar tales situaciones, debe excluirse la tarifa negativa del local” [4] .

Abdulkadiroglu, Sönmez y Unver: OZ y PERO si es posible

Abdulkadiroglu, Sönmez y Unver [5] propusieron un enfoque basado en el mecanismo de mercado. Es una combinación de la subasta inglesa y la subasta holandesa . Se describe más simplemente como una subasta con precios continuos:

  1. Asignamos el precio de cada habitación en el costo total de la casa.
  2. Calculamos el conjunto de requisitos de cada socio: una habitación o un conjunto de habitaciones que el socio más desea recibir por el precio actual.
  3. Seleccionamos salas que tienen una gran demanda (salas que quieren más usuarios que la cantidad de salas; consulte el artículo para obtener una definición precisa).
  4. Aumentamos el precio de las habitaciones con mayor demanda con el mismo coeficiente;
  5. Al mismo tiempo, reducimos el precio de otras habitaciones en la misma cantidad, de modo que la suma de los precios de todas las habitaciones se mantenga igual al precio total.
  6. Estamos actualizando inmediatamente los requisitos de los socios y muchas habitaciones con mayor demanda.
  7. Cuando el conjunto de habitaciones con alta demanda está vacío, nos detenemos y aplicamos el teorema de la boda de Hall para asignar a cada socio una habitación de acuerdo con su requerimiento.

En la práctica, no es necesario cambiar el precio continuamente, ya que solo son interesantes los precios en los que cambia el conjunto de requisitos de uno o más socios. Podemos definir un conjunto de precios de nuestro interés por adelantado y convertir una subasta con precios continuos en una subasta con precios discretos. Tal subasta con precios discretos se detiene después de un número finito de pasos [20] .

La distribución resultante siempre está libre de envidia. Los precios pueden ser negativos como en el procedimiento de Haake, Wraith y Su. Sin embargo, a diferencia de este procedimiento, los precios no son negativos si existe una distribución OD con precios no negativos.

Sleep y Vlah: OZ y PERO, si es posible

Son y Vlah [4] demostraron la siguiente propiedad general de las distribuciones:

  1. La ausencia de envidia implica maxsum: dada una distribución x , si existe un vector de precios p tal que no hay envidia en la distribución x , entonces x es maxsum.
  2. La ausencia de envidia se sigue de maxsum: para un vector de precio p dado , si hay una distribución x para la cual el vector de precio p no crea envidia, para este vector de precio p no habrá envidia en ninguna distribución de maxsum.

Con base en estas propiedades, los autores propusieron el siguiente algoritmo:

  1. Hallar la distribución maxsum.
  2. Encontramos el vector de precios minsum (el vector en el que la suma de precios es mínima) teniendo en cuenta la condición de ausencia de envidia. Tal vector de precios es una solución de programación lineal y se puede encontrar utilizando el algoritmo Bellman-Ford .
  3. Si el precio mínimo es igual al precio completo, implemente la distribución maxsum con precios minsum y salga.
  4. Si minsum es menor que el precio completo, aumentamos todos los precios para que la suma sea igual al precio completo (es decir, agregamos el valor a cada precio ). Cambiar los precios por la misma cantidad asegura la ausencia de envidia.
  5. Si minsum es mayor que el precio total, entonces no hay solución que satisfaga simultáneamente los requisitos de HO y OR. Hay varias formas posibles de continuar el procedimiento.
    • Disminuimos todos los precios en la misma cantidad hasta que la suma sea igual al precio total (es decir, restamos el valor de cada precio ). Algunos precios están obligados a volverse negativos, como en la solución de Haake, Wraith y Su.
    • Disminuimos solo los precios positivos en la misma cantidad hasta que la suma de los precios sea igual al precio total. Aquí los precios no cambian de la misma manera, lo que inevitablemente conducirá a la envidia, como en la solución de Brahms y Kilgour. Sin embargo, en esta solución, los socios envidiosos obtendrán sus habitaciones gratis .

La complejidad de ejecutar la distribución maxsum y los precios minsum es igual a .

La solución de Son y Vlach parece tener todas las propiedades deseadas de los protocolos anteriores, es decir, OZ, NO (si es posible), tiempo de ejecución polinomial y, además, garantiza que cualquier socio envidioso obtenga una habitación gratis. El artículo "Assign Rooms and Share Rent" [21] proporciona una implementación de una solución similar, también basada en resolver un problema de programación lineal, pero el artículo cita otro trabajo.

Mash, Gal, Procaccia y Zeke: OZ y maximin

Gal, Mash, Procaccia y Zeke [22] observaron , basándose en su experiencia con la aplicación de distribución de alquileres en www.spliddit.org, que la ausencia de envidia por sí sola no es suficiente para satisfacer las aspiraciones de los participantes. Por ello, construyeron un aparato algorítmico basado en programación lineal para calcular una distribución que no tiene envidia y que optimiza algunos criterios. Con base en pruebas teóricas y experimentales, concluyeron que el criterio maximin  - maximizar la utilidad mínima de un agente, teniendo en cuenta la ausencia de envidia - da resultados óptimos.

Tenga en cuenta que, dado que su solución siempre es OZ, puede devolver precios negativos.

Convenciones presupuestarias

La mayoría de los artículos con un modelo cardinal asumen que los agentes tienen funciones de utilidad casi lineales  : su utilidad es igual al valor de la habitación menos el precio. Pero en realidad, los agentes tienen restricciones presupuestarias: si el precio de una habitación es más alto que su presupuesto, la utilidad cae mucho más rápido que la linealidad. Procaccia, Vélez y Yu [23] estudiaron este modelo y presentaron un algoritmo para determinar si existe una distribución OD que satisfaga las restricciones presupuestarias y, de ser así, el algoritmo encuentre una distribución que satisfaga un criterio de equidad adicional.

Acuerdos estratégicos

Todos los protocolos revisados ​​asumen que los socios son honestos acerca de sus estimaciones. Las estrategias no son invulnerables  : un socio puede ganar si especifica un valor incorrecto. Además, la invulnerabilidad de la estrategia es incompatible con la ausencia de envidia  : no existe un protocolo para una estrategia determinista invulnerable que siempre dé una distribución libre de envidia. Esto es cierto incluso si solo hay dos socios y los precios pueden ser negativos. Prueba : suponga que el precio total es 100 y las estimaciones de los socios son las siguientes (donde están los parámetros y ):

Habitación 1 Habitación 2
Socio 1 100 X
Socio 2 100 y

Solo la asignación máxima otorga la habitación 1 al socio 1 y la habitación 2 al socio 2. Sea el precio de la habitación 2 (entonces el precio de la habitación 1 es ). Para que el compañero 1 no envidie, hay que realizarlo . Para no envidiar al socio 2, debe realizarse .

Supongamos que el protocolo determinista establece el precio en algún valor del intervalo . Si el precio es mayor que , entonces el socio 2 tiene un incentivo para ingresar un valor menor de , que sigue siendo mayor que , para reducir sus pagos más cerca de . Del mismo modo, si el precio es menor que , entonces el socio 1 tiene motivos para cobrar un precio más alto por , que sigue siendo más bajo , para aumentar lateralmente los pagos del socio 2 (y, por lo tanto, reducir sus propios pagos). Por lo tanto, el mecanismo no puede ser una estrategia invulnerable.

Los investigadores abordan esta imposibilidad de dos maneras.

Sun y Yang: Reemplazo de tareas

Existe una variante del problema donde en lugar de suponer que el costo total de una casa es fijo, suponemos que existe un costo máximo por cada habitación. En esta variante, hay un mecanismo de estrategia invulnerable: una regla de distribución determinista que selecciona el precio mínimo en la suma es una estrategia de invulnerabilidad [24] .

Este resultado puede generalizarse para mayor flexibilidad a objetos indivisibles y prueba de la estabilidad de la estrategia de coalición [25] [26] .


Dufton y Larson: Uso del azar

Volviendo al problema original de una división justa de la vivienda, podemos considerar el mecanismo del azar . El mecanismo de aleatoriedad devuelve una distribución de probabilidad sobre la distribución de habitaciones y la distribución de pago. El mecanismo de aleatoriedad tiene una expectativa justa si ningún socio aumenta el valor esperado de su utilidad tergiversando su calificación de las habitaciones. La equidad del mecanismo de aleatoriedad se puede medir de diferentes maneras [6] :

1. La ausencia de envidia de antemano significa que no hay socios que envidien la habitación de cualquier otro socio sorteado. Esta condición es trivial de satisfacer: elegimos todas las distribuciones con la misma probabilidad y asignamos una tarifa de costo total a cada socio. Pero esta condición es de poca utilidad, ya que existe una alta probabilidad de que muchos socios estén celosos en la distribución final. Es posible que no estén satisfechos con el hecho de que la lotería fue justa.

2. Probabilidad garantizada de ausencia de envidia ( GPEF  ) significa que existe una cierta probabilidad en la que, independientemente de las evaluaciones de los participantes, no habrá al menos envidia en la decisión final. Es posible obtener el GVOZ de la siguiente manera: encontramos la distribución sin envidia; elegimos un número entero al azar y movemos a los socios del ciclo a la habitación de la derecha. Este mecanismo aleatorio es de expectativa justa, ya que cualquier socio tiene la misma probabilidad de estar en cada habitación y un precio esperado en el costo total, independientemente de los precios declarados por el socio. La probabilidad de obtener la distribución CV es igual a la probabilidad de que , que es exactamente igual a . Esto no es especialmente alentador, ya que la probabilidad de no estar celoso tiende a 0 a medida que crece el número de parejas, pero no hay forma de mejorarlo, ya que en cualquier mecanismo de honestidad en la expectativa, el GVOA no excede .

3. Número Esperado de Socios Libres de  Envidia ( ENEF ) significa que hay algún número entero , tal que si determinamos el número de socios que no envidian todos los posibles resultados del mecanismo, independientemente de las estimaciones de socios, no superan la expectativa . La prueba POCH parece ser más adecuada que la prueba HLOT porque mide no solo la probabilidad de ausencia total de envidia, sino también la calidad de los casos en los que la distribución no está completamente libre de envidia. El máximo OCHBZ de un mecanismo pendiente honesto no excede . Es posible obtener este borde para . Porque hay un mecanismo de espera honesto que casi llega a este límite: la TWBZ es igual a . La idea principal es la siguiente. Usamos el mecanismo Vickrey-Clark-Groves para calcular la cesión con el monto máximo y su monto de pagos. Elige al azar un compañero. Ignore a este socio y use el mecanismo Vickrey-Clark-Groves nuevamente. Combinamos los resultados para garantizar la igualdad del pago total del costo total (ver el artículo para más detalles). Se puede demostrar que

(a) el mecanismo es honesto pendiente (b) todos los socios, excepto el que está siendo ignorado, no estarán celosos

Por lo tanto, el OCHBZ es igual a . El modelado muestra que en aproximadamente el 80% de los casos, la HLH no supera este mecanismo .

Andersson y Svensson: Ganar invulnerabilidad parcial

Una posible relajación del requisito de invulnerabilidad es un intento de minimizar los "grados de manipulabilidad" [27] . Se determina contando para cada caso el número de agentes que pueden manipular las reglas. Las reglas de distribución justa preferidas se manipulan mínimamente (tanto individualmente como en coalición) tanto en términos de equidad como de equilibrio presupuestario. Tales reglas eligen la distribución con el número máximo de agentes para los cuales la utilidad es máxima entre todas las distribuciones justas y equilibradas.

Véase también

Notas

  1. ↑ 1 2 Dom, 1999 , p. 930–942.
  2. ↑ 1 2 3 Azrieli, Shmaya, 2014 , pág. 128.
  3. ↑ Potthoff, 2002 , pág. 405.
  4. ↑ 1 2 3 4 Sung, Vlach, 2004 .
  5. ↑ 1 2 Abdulkadiroğlu, Sönmez, Ünver, 2004 , p. 515.
  6. ↑ 1 2 Dufton, Larson, 2011 , pág. 34–39.
  7. ↑ 1 2 Haake, Raith, Su, 2002 , p. 723.
  8. ↑ 1 2 Brams, 2008 , pág. 305–328.
  9. ↑ Aquí, la palabra débilmente significa que el socio no puede distinguir otro paquete de habitación + preferencia de pago del especificado. Si el socio no considera iguales los paquetes, se utiliza el término estrictamente mejor.
  10. ↑ Alberto Sol. Para dividir la renta, comience con un triángulo . Archivado el 11 de noviembre de 2020. Consultado el 26 de agosto de 2014.
  11. ↑ Ariel Procaccia. La división justa y el problema de los filósofos quejumbrosos . La mano invisible de Turing (15 de agosto de 2012). Consultado el 26 de agosto de 2014. Archivado desde el original el 3 de septiembre de 2014.
  12. ↑ Página de la división de ferias de Francis Su (enlace no disponible) . Matemáticas.hmc.edu . Consultado el 5 de enero de 2017. Archivado desde el original el 27 de octubre de 2018. 
  13. ↑ Divide tu alquiler de manera justa . Archivado desde el original el 31 de diciembre de 2019. Consultado el 5 de enero de 2017.
  14. ↑ Brams, 2008 , pág. 320–321.
  15. ↑ Sung, Vlach, 2004 , p. 110–111.
  16. ↑ Brams, 2008 , pág. 318–319.
  17. ↑ Brams, Kilgour, 2001 , pág. 418.
  18. ↑ Brams, 2008 , pág. 321.
  19. ↑ Haake, Raith, Su, 2002 , pág. 746.
  20. ↑ Abdulkadiroğlu, Sönmez, Ünver, 2004 , p. 525-528.
  21. ↑ Asignar habitaciones y compartir el alquiler: Splitdit . Consultado el 5 de marzo de 2016. Archivado desde el original el 5 de marzo de 2016.
  22. ↑ Gal, Mash, Procaccia, Zick, 2016 , pág. 67–84.
  23. ↑ Procaccia, Vélez, Yu, 2018 .
  24. ↑ Sun, Yang, 2003 , pág. 73.
  25. ↑ Andersson, Svensson, 2008 , pág. 350.
  26. ↑ Andersson, 2009 , pág. 1719-1724
  27. ↑ Andersson, Ehlers, Svensson, 2014 , pág. 753.

Literatura