Simetría especular (teoría de cuerdas)

En matemáticas y física teórica , la simetría especular es la equivalencia de las variedades de Calabi-Yau en el siguiente sentido. Dos variedades de Calabi-Yau pueden ser completamente diferentes geométricamente, pero dan la misma física de partículas elementales cuando se usan como dimensiones adicionales "plegadas" de la teoría de cuerdas . Tales variedades en sí mismas se denominan simétricas especulares .

La simetría especular fue descubierta originalmente por los físicos. Los matemáticos se interesaron en este fenómeno alrededor de 1990, cuando Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green y Linda Parks demostraron que la simetría especular puede usarse como herramienta en geometría computacional , una rama de las matemáticas que se ocupa de contar el número de respuestas. a ciertas cuestiones geométricas. Candelas et al demostraron que la simetría especular se puede utilizar para contar el número de curvas racionales en una variedad Calabi-Yau, lo que resuelve un problema de larga data. Aunque el enfoque original de la simetría especular se basaba en ideas formuladas a un nivel físico de rigor, los matemáticos pudieron demostrar rigurosamente algunas de las predicciones hechas por los físicos.

La simetría especular es ahora una de las áreas de investigación más importantes en matemáticas puras , y los matemáticos están trabajando para desarrollar una comprensión matemática de este fenómeno físico basado en la intuición. Además, la simetría especular es la principal herramienta computacional en la teoría de cuerdas; también se ha utilizado para comprender los detalles de la teoría cuántica de campos , el formalismo mediante el cual los físicos describen las partículas elementales . Los principales enfoques de la simetría especular incluyen el programa de simetría especular homológica de Maxim Kontsevich y la hipótesis SYZ de Strominger , Yau y Zaslow .

Resumen

Cuerdas y compactación

La teoría de cuerdas  es una teoría en la que los objetos fundamentales no son partículas puntuales, sino objetos unidimensionales llamados cuerdas. Las cuerdas son abiertas y cerradas; los abiertos parecen segmentos, los cerrados parecen bucles. La teoría de cuerdas se ocupa de describir cómo estos objetos fundamentales, las cuerdas, se propagan a través del espacio e interactúan entre sí. A distancias mayores que la longitud de Planck , la cuerda parece una partícula puntual con su propia masa , carga y otras propiedades que dependen del modo de vibración de la cuerda. La división y recombinación de cuerdas corresponde a la emisión y absorción de partículas; por lo tanto, tenemos un lenguaje de cuerdas que describe la interacción de partículas. [una]

Hay una diferencia significativa entre el mundo descrito por la teoría de cuerdas y el mundo que encontramos en la vida cotidiana. En la vida ordinaria, observamos tres dimensiones espaciales (arriba/abajo, izquierda/derecha y adelante/atrás) y simultáneamente o e (antes/después). Así, en el lenguaje de la física moderna, el espacio-tiempo es tetradimensional. [2] Una de las características de la teoría de cuerdas es el hecho de que para su autoconsistencia se requieren dimensiones adicionales de espacio-tiempo. La teoría de supercuerdas (una versión de la teoría de cuerdas que incluye supersimetría ) requiere seis dimensiones adicionales de espacio-tiempo además de las cuatro habituales. [3]

Uno de los objetivos de la investigación actual en teoría de cuerdas es desarrollar modelos en los que las cuerdas describan el comportamiento de las partículas observadas en experimentos de física de alta energía. El mundo en el que observamos las partículas nos parece tetradimensional; por lo tanto, es necesario elegir una forma de reducir a cuatro dimensiones las distancias a las que estamos acostumbrados. En las teorías más realistas, esto se logra mediante un proceso de compactación , en el que las dimensiones adicionales se "cierran" sobre sí mismas en un círculo. [4] Si estas dimensiones adicionales "plegadas" resultan ser muy pequeñas, nos parecerá que el espacio-tiempo en tal teoría tiene menos dimensiones. La analogía estándar aquí es una manguera de jardín. Cuando se ve desde una distancia suficientemente grande, una manguera de jardín da la impresión de un objeto unidimensional. Al mismo tiempo, si te acercas a él, también verás la segunda dimensión correspondiente al círculo. Entonces, una hormiga que se arrastra sobre la superficie de una manguera en realidad se mueve en dos dimensiones, no en una. [5]

Colectores de Calabi-Yau

Con la ayuda de la compactación , uno puede convertir los espacios teóricamente multidimensionales resultantes en efectivamente cuatro dimensiones. Sin embargo, no todas las formas de compactación conducen a un espacio de cuatro dimensiones que podría describir nuestro mundo. Se puede obtener que las dimensiones adicionales compactas tengan la forma de una variedad de Calabi-Yau . [4] Una variedad de Calabi-Yau es un espacio (generalmente tridimensional complejo) cuya propiedad principal es la trivialidad del paquete canónico . Lleva el nombre de Eugenio Calabi , quien formuló la conjetura sobre la existencia y unicidad de la métrica correspondiente  , la conjetura de Calabi  , y Shintan Yau , quien la demostró. [6]

Después de que las variedades de Calabi-Yau ingresaran a la física (como una forma de compactar dimensiones "extra"), los físicos comenzaron a estudiarlas intensamente. A fines de la década de 1980, Wafa y otros notaron que era imposible recuperar de manera única la variedad de Calabi-Yau a partir de la cual se realizó la compactación del espacio de cuatro dimensiones resultante. [7] En cambio, dos teorías de cuerdas diferentes, la teoría de cuerdas de tipo IIA y la teoría de cuerdas de tipo IIB  , se pueden compactar utilizando variedades de Calabi-Yau completamente diferentes de tal manera que conduzcan a la misma física. [8] Se dice que estas dos variedades de Calabi-Yau son simétricas especulares, y la correspondencia entre las dos teorías de cuerdas originales (más precisamente, las teorías de campos conformes que las describen) se llama simetría especular. [9]

La simetría especular es un caso especial de lo que los físicos llaman dualidad . Las dualidades son situaciones en las que dos teorías físicas diferentes resultan ser equivalentes de una manera no trivial. Si es posible hacer una transformación tal que las ecuaciones de una teoría coincidan con las ecuaciones de otra teoría, entonces dos teorías de este tipo se denominan duales con respecto a esta transformación. Se puede decir de otra manera: dos teorías duales son descripciones matemáticamente diferentes del mismo fenómeno. [10] Tales dualidades surgen a menudo en la física moderna, especialmente en la teoría de cuerdas. [once]

Independientemente de si las compactaciones de la teoría de cuerdas con variedades de Calabi-Yau son relevantes para el mundo real, la existencia de simetría especular tiene importantes implicaciones matemáticas. [12] Las variedades de Calabi-Yau son un objeto de estudio en matemáticas puras y, con la ayuda de la simetría especular, permiten a los matemáticos resolver problemas de geometría algebraica enumerativa . Un problema típico de geometría computacional es contar el número de curvas racionales en una variedad de Calabi-Yau (como la que se muestra arriba). Usando simetría especular, los matemáticos han demostrado que este problema tiene un equivalente para una variedad simétrica especular, que es más fácil de resolver. [13]

Los físicos han obtenido la simetría especular sin recurrir a consideraciones matemáticas. [14] Al mismo tiempo, los matemáticos suelen estar interesados ​​en pruebas matemáticamente rigurosas, pruebas en las que no hay lugar para la intuición física. Desde un punto de vista matemático, la versión de la simetría especular descrita anteriormente sigue siendo una suposición, pero existe otra versión de la simetría especular, una versión asociada con la teoría topológica de cuerdas , una teoría simplificada de cuerdas introducida por Witten , [15] que ha sido rigurosamente probado por los matemáticos. [16] En el lenguaje de la teoría de cuerdas topológica, la simetría especular es una afirmación sobre la equivalencia del modelo A y el modelo B ; son equivalentes en el sentido de que están conectados por dualidad. [17] Ahora los matemáticos están trabajando activamente en el desarrollo de una comprensión matemática de la simetría del espejo, que fue descubierta por los físicos en un lenguaje que es más conveniente para los físicos para pensar. [18] En particular, los matemáticos aún no entienden completamente cómo construir nuevos ejemplos de variedades de Calabi-Yau con simetría especular, a pesar de algunos avances en esta área. [19]

Historia

Los orígenes de la simetría especular deben buscarse a mediados de la década de 1980, cuando se observó que una cuerda cerrada que se propaga a lo largo de un círculo de radio es físicamente equivalente a una cuerda cerrada que se propaga a lo largo de un círculo de radio (en algún sistema de unidades ). [20] Este fenómeno se denomina dualidad T y está estrechamente relacionado con la simetría especular. [21] En un artículo de 1985, Candelas, Horowitz, Strominger y Witten demostraron que al compactar la teoría de cuerdas con una variedad de Calabi-Yau, se puede obtener una teoría similar al modelo estándar de la física de partículas . [22] Siguiendo esta consideración, los físicos comenzaron a estudiar las compactaciones de las variedades de Calabi-Yau con la esperanza de construir una física de partículas que describiera el mundo real, lo que sería una consecuencia de la teoría de cuerdas. Vafa y otros han notado que a partir de este modelo de física de partículas 4D, es imposible reconstruir sin ambigüedades la variedad de Calabi-Yau que se compactó. En cambio, hay dos variedades de Calabi-Yau que conducen a las mismas teorías de cuatro dimensiones de la física de partículas. [23]

Al estudiar las correspondencias entre las variedades de Calabi-Yau y ciertas teorías de campos conformes ( modelos de Gepner ), Brian Greene y Ronen Plesser han encontrado ejemplos no triviales de correspondencia especular. [24] Esta pregunta se desarrolló más tarde, cuando Philip Candelas y dos de sus alumnos probaron una gran cantidad de variedades de Calabi-Yau en una computadora y encontraron que cada una de ellas es un "par simétrico especular" para alguna otra. [25]

Los matemáticos se interesaron en la simetría especular alrededor de 1990, cuando los físicos Philippe Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green y Linda Parks demostraron que se podía utilizar para resolver problemas de geometría computacional que habían durado décadas . [26] [27] Estos resultados fueron presentados en la conferencia de Berkeley en mayo de 1991. Durante esta conferencia se notó que uno de los números obtenidos por Candelas al calcular curvas racionales no coincidía con el número obtenido por los matemáticos noruegos Geir Ellingsrud y Stein Arild Stromme, quienes al parecer utilizaron consideraciones más rigurosas. [28] La mayoría de los matemáticos en la conferencia creían que el trabajo de Candelas contenía un error, ya que estaba basado en juicios matemáticamente imprecisos. Sin embargo, Ellingsrud y Stromme pronto encontraron un error en su programa informático y, habiendo corregido el código, recibieron una respuesta que coincidía con la respuesta de Candelas y los coautores de este último. [29]

En 1990, Edward Witten introdujo la teoría de cuerdas topológica [15]  , una versión simplificada de la teoría de cuerdas, y los físicos demostraron que también tiene su propia simetría especular. [30] [31] En un mensaje al Congreso Internacional de Matemáticos en 1994, Maxim Kontsevich presentó una conjetura matemática basada en el fenómeno de la simetría especular descubierta en el lenguaje físico en la teoría topológica de cuerdas. Esta conjetura se conoce como conjetura de simetría especular homológica y formaliza la noción de simetría especular como un enunciado sobre la equivalencia de dos categorías derivadas: la categoría derivada de haces coherentes en una variedad de Calabi-Yau y la categoría derivada de Fukai construida a partir de un espejo . -variedad simétrica. [32]

También alrededor de 1995, Kontsevich analizó el trabajo de Candelas, que dio una fórmula general para contar curvas racionales en una quíntica tridimensional , y reformuló estos resultados como una hipótesis matemática rigurosa. [33] En 1996 , Givental publicó un artículo que, según el propio Givental, proporciona una prueba de esta conjetura de Kontsevich. [34] Al principio, un gran número de matemáticos consideraron este trabajo extremadamente incomprensible y, por lo tanto, dudaron de su corrección. Un poco más tarde, Lian, Liu y Yau publicaron de forma independiente su prueba en una serie de artículos. [35] Independientemente del debate sobre quién publicó la prueba primero, estos artículos ahora son ampliamente aceptados como pruebas matemáticas de los resultados obtenidos usando simetría especular en el lenguaje de los físicos. [36] En 2000 , Kentaro Hori y Kumrun Wafa presentaron una prueba física de simetría especular basada en la dualidad T. [catorce]

Aplicaciones

Geometría computacional

La simetría especular se usa activamente en geometría computacional, una rama de las matemáticas que está interesada en preguntas como "cuántas de estas o aquellas estructuras geométricas existen"; La principal herramienta de la geometría computacional son las técnicas desarrolladas en geometría algebraica . Uno de los primeros problemas de geometría computacional se planteó alrededor del año 200 a. mi. antiguo matemático griego Apolonio . ¿ Cuántos círculos en el plano tocan los tres puntos de datos? — preguntó Apolonio. La respuesta la dio el mismo Apolonio; es como sigue: si hay tres círculos dados, en posición general, los círculos que los tocan son ocho. [37]

Los problemas numéricos en matemáticas suelen ser problemas sobre el número de variedades algebraicas existentes , que se definen como conjuntos de soluciones a sistemas de ecuaciones polinómicas. Por ejemplo, el cubo de Clebsch (ver figura) se define usando algún polinomio de grado tres en cuatro variables. Arthur Cayley y George Salmon obtuvieron un resultado notable en su época: se pueden dibujar exactamente 27 líneas rectas en esa superficie. [38]

Generalizando este problema, uno puede preguntarse cuántas líneas se pueden dibujar en el quinteto de Calabi-Yau (ver la figura de arriba). Este problema fue resuelto por Hermann Schubert , quien demostró que existen exactamente 2875 líneas de este tipo. En 1986 Sheldon Katz demostró que el número de cónicas pertenecientes a esta quíntica es 609250. [37]

En 1991, la mayoría de los problemas clásicos de la geometría computacional se habían resuelto y el interés por la geometría computacional comenzó a decaer. Como dijo el matemático Mark Gross: “Cuando se resolvieron los problemas clásicos, la gente comenzó a volver a calcular los números de Schubert con métodos modernos, pero no parecía algo nuevo”. [39] Los físicos Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green y Linda Parks dieron vida al campo en mayo de 1991 cuando demostraron que la simetría especular se puede usar para contar el número de curvas de grado tres en una quíntica que es una Colector de Calabi-Yau. . Candelas et al encontraron que los 3 pliegues del complejo Calabi-Yau contienen exactamente 317206375 curvas de grado tres. [39]

Además de contar curvas de grado tres en una quíntica tridimensional, Candelas y otros obtuvieron resultados mucho más generales sobre el conteo de curvas racionales, mucho más sólidos que los conocidos por los matemáticos de la época. [40] Aunque los métodos utilizados por Candelas se basaron en ideas no rigurosas de la física teórica, los matemáticos pudieron probar algunas de las predicciones de simetría especular realizadas en el nivel físico de rigor, en particular, todos los resultados obtenidos recientemente en geometría computacional. . [36]

En física teórica

Además de las aplicaciones en geometría enumerativa, la simetría especular es una de las principales herramientas computacionales en la teoría de cuerdas. En el modelo A de la teoría topológica de cuerdas, las cantidades físicamente interesantes ( correladores que determinan la probabilidad de ciertos procesos de interacción) se expresan en términos de las invariantes de Gromov-Witten , que son infinitamente numerosas y extremadamente difíciles de calcular. En el modelo B, los cálculos se pueden reducir a integrales clásicas ("períodos") y, por lo tanto, son mucho más fáciles. [41] Usando simetría especular, en lugar de cálculos complejos en el modelo A, es posible realizar cálculos equivalentes, pero técnicamente más simples, en el modelo B. También puedes usar otras dualidades de la teoría de cuerdas , combinar la simetría especular con ellas, para poder realizar cálculos equivalentes en la teoría donde sean más simples. Al elegir una teoría adecuada, los físicos pueden calcular cantidades que son imposibles o extremadamente difíciles de calcular sin el uso de dualidades. [42]

Fuera de la teoría de cuerdas, la simetría especular se utiliza para comprender aspectos de la teoría cuántica de campos , el formalismo mediante el cual los físicos explican la propagación y la interacción de las partículas elementales . Algunas teorías de calibre , que no forman parte del modelo estándar pero no menos importantes desde el punto de vista teórico, se derivan de cuerdas que se propagan a lo largo de superficies casi singulares. En tales teorías, la simetría especular es una técnica computacional importante. [43] De hecho, con la ayuda de la simetría especular es posible realizar cálculos en la teoría de calibre de cuatro dimensiones, que fue estudiada por Nathan Seiberg y Edward Witten, y que es bien conocida en matemáticas en el contexto de las invariantes de Donaldson . [44]

Aproximaciones

Simetría de espejo homología

En la teoría de cuerdas, surge el concepto de brana  , un objeto que generaliza el concepto de partícula (objeto de dimensión 0) a dimensiones superiores. Por lo tanto, una partícula puntual se puede considerar como una brana de dimensión 0, una cuerda se puede considerar como una brana de dimensión 1. Se pueden considerar branas de dimensiones superiores. La palabra 'brana' es la abreviatura de 'membrana', que a veces se usa para referirse a una superficie bidimensional, que es la siguiente generalización dimensional de una partícula puntual después de una cuerda. [45]

La teoría de cuerdas considera cuerdas abiertas y cerradas. Las D-branas  son una clase importante de branas que surgen cuando se consideran cuerdas abiertas. La letra "D" en el nombre de una D-brana significa la condición límite que dicha brana debe satisfacer: la condición límite de Dirichlet . [46] De acuerdo con estas condiciones de contorno, los extremos de la cuerda abierta deben estar en D-branas.

Matemáticamente, las branas se pueden describir utilizando la noción de categoría . [47] Una categoría es, por definición, una entidad que consta de objetos y, para cada par de objetos, morfismos entre ellos. Los objetos son estructuras matemáticas (como conjuntos , espacios vectoriales o espacios topológicos ), y los morfismos son asignaciones entre estas estructuras. [48] ​​También podemos considerar una categoría cuyos objetos son D-branas y cuyos morfismos son estados de cuerdas abiertas estiradas entre dos D-branas diferentes. [49]

En el modelo B de la teoría topológica de cuerdas, las D-branas  son subvariedades complejas de la variedad de Calabi-Yau con la condición adicional de que los extremos de la cuerda están fijos en ellas. [27] [49] La categoría , cuyos objetos son tales branas, se conoce como la categoría derivada de haces coherentes en una variedad de Calabi-Yau. [50] En el modelo A, las branas D también pueden considerarse subvariedades de la variedad Calabi-Yau. En términos generales, estos son lo que los matemáticos llaman subvariedades lagrangianas especiales especiales . [50] Entre otras cosas, esto significa que su dimensión es la mitad de la dimensión del espacio en el que están incrustados, y que son subvariedades de volumen mínimo. [51] La categoría cuyos objetos son estas branas se denomina categoría Fukai . [cincuenta]

La categoría derivada de poleas coherentes se construye usando las herramientas de geometría compleja . [52] En cuanto al lado A, la categoría de Fukai utiliza explícitamente la geometría simpléctica , una rama de las matemáticas que surgió de la mecánica clásica . La geometría simpléctica estudia espacios en los que se da una forma simpléctica  , una entidad que se puede utilizar para calcular el área en situaciones bidimensionales. [17]

La hipótesis de simetría especular homológica , proclamada de esta forma por Maxim Kontsevich , establece que la categoría derivada de haces coherentes sobre alguna variedad de Calabi-Yau es equivalente a la categoría derivada de Fukai sobre una variedad que es simétrica especularmente a la variedad Calabi-Yau elegida. colector. [53] Esta equivalencia parece ser la formulación matemática exacta de la simetría especular en la teoría de cuerdas topológica. Conecta geometrías complejas y simplécticas de forma inesperada. [54]

Hipótesis SYZ

Strominger , Yau y Zaslow propusieron otro enfoque para comprender la simetría especular en 1996. [21] De acuerdo con su propuesta, ahora conocida como la hipótesis SYZ, la simetría especular se puede entender dividiendo la variedad Calabi-Yau original en partes más simples y luego ensamblando a partir de ellos simétricos al espejo a la variedad original de Calabi-Yau. [55] Tratemos de explicar lo que significa.

El ejemplo más simple de una variedad de Calabi-Yau es un toro bidimensional (superficie de dona). [56] Considere un círculo no contráctil en la superficie del toro que contiene el interior de la rosquilla (círculo rojo en la figura). Hay infinitos círculos de este tipo en el toro; de hecho, todo el toro puede entenderse como la unión de tales círculos. [57] Elijamos un círculo rosa arbitrario en la figura. Parametrizaremos los puntos de este círculo rosa como rojos, en el sentido de que existe una biyección entre un punto del círculo rosa y el círculo rojo correspondiente. [51]

La idea de dividir un toroide en trozos parametrizados por un espacio arbitrario puede generalizarse. Piense en variedades complejas bidimensionales de Calabi-Yau: superficies K3 . Así como el toro se descompuso en círculos, una superficie K3 de cuatro dimensiones se puede descomponer en un toro de dos dimensiones y una esfera de dos dimensiones . Cada punto de la esfera, a excepción de veinticuatro, corresponde a un toro bidimensional; estos veinticuatro puntos corresponden a toros especiales . [51]

En la teoría de cuerdas, las variedades de Calabi-Yau de dimensión compleja 3 (respectivamente, dimensión real 6) son de interés primordial. Se pueden representar como 3 toros (mediante una generalización tridimensional de un toro ), parametrizados por una esfera tridimensional (mediante una generalización tridimensional de una esfera). Cada punto corresponde a un 3-torus, a excepción de una infinidad de puntos "malos", que forman un "celosía" en Calabi-Yau y que corresponden a toros especiales. [58]

Con la ayuda de tales expansiones, la simetría especular se puede representar intuitivamente. Considere un ejemplo con un toro bidimensional. Imagina que este toro describe el espacio-tiempo de alguna teoría física. El objeto fundamental de tal teoría serían las cuerdas que se propagan en el espacio-tiempo según las leyes de la mecánica cuántica . Una de las dualidades básicas en la teoría de cuerdas es la dualidad T , según la cual una cuerda cerrada que se propaga a lo largo de un cilindro de radio es equivalente a una cuerda cerrada que se propaga a lo largo de un cilindro de radio en el sentido de que se puede establecer una correspondencia biunívoca. establecido entre todos los observables en cada una de las descripciones. [59] Por ejemplo, una cuerda que se propaga tiene cantidad de movimiento , y la cuerda también puede enrollarse alrededor del cilindro varias veces (ver número de vueltas ). Por cantidad de movimiento y número de espiras al propagarse a lo largo de un cilindro de radio inicial, al propagarse a lo largo de un cilindro de radio inverso, la cuerda tendrá cantidad de movimiento y número de espiras . [59] Aplicando T-dualidad simultáneamente a todos los círculos en los que dividimos el toroide da la inversión de los radios de estos círculos, y obtenemos un nuevo toroide que es "más grueso" o "más delgado" que el original. Este toro será simétrico al espejo original. [60]

La dualidad T se puede extender al caso de un toro de n dimensiones, que aparece al descomponer una variedad compleja de Calabi-Yau de n dimensiones. En general, la conjetura SYZ establece lo siguiente: la simetría especular es equivalente a aplicar simultáneamente la dualidad T a estos toros. En cada caso, el espacio  es una especie de huella que muestra cómo “ensamblar” una variedad de Calabi-Yau a partir de estos toros. [61]

Véase también

• Simetría de espejo homología
• Dualidades en la teoría de cuerdas

Notas

1. ↑ Para una introducción accesible a la teoría de cuerdas, véase, por ejemplo, Greene, 2000.
2. ↑ Wald 1984, pág. cuatro
3. ↑ Zwiebach 2009, pág. ocho
4. ↑ 1 2 Yau y Nadis 2010, cap. 6
5. ↑ Esta analogía la da, por ejemplo, Green, 2000, p.186
6. ↑ Yau y Nadis 2010, pág. ix
7. ↑ Dixon 1988; Lerche, Vafa y Warner 1989
8. ↑ La geometría de una variedad particular de Calabi-Yau se describe utilizando el rombo  de Hodge: números de Hodge escritos en forma de rombo. Los rombos de Hodge de variedades con simetría especular pasan entre sí cuando se giran 90 grados. Para obtener más información, consulte Yau y Nadis 2010, p. 160-3.
9. ↑ Aspinwall et al. 2009, pág. 13
10. ↑ Hori et al. 2003, pág. xvi
11. ↑ Ejemplos de otras dualidades que aparecen en la teoría de cuerdas son la dualidad S, la dualidad T y la correspondencia AdS/CFT .
12. ↑ Zaslow 2008, pág. 523
13. ↑ Yau y Nadis 2010, pág. 168
14. ↑ 12 Hori y Vafa 2000
15. ↑ 12 Witten 1990
16. ↑ Givental 1996, 1998; Lian, Liu, Yau 1997, 1999, 2000
17. ↑ 1 2 Zaslow 2008, pág. 531
18. ↑ Hori et al. 2003, pág. xix
19. ↑ Zaslow 2008, pág. 537
20. ↑ Esto se observó por primera vez en Kikkawa y Yamasaki 1984 y Sakai y Senda 1986.
21. ↑ 1 2 Strominger, Yau y Zaslow 1996
22. ↑ Candelas et al. 1985
23. ↑ Esto se observó en Dixon 1988 y Lerche, Vafa y Warner 1989.
24. ↑ Green y Plesser 1990; Yau y Nadis 2010, pág. 158
25. ↑ Candelas, Lynker y Schimmrigk 1990; Yau y Nadis 2010, pág. 163
26. ↑ Candelas et al. 1991
27. ↑ 1 2 Yau y Nadis 2010, pág. 165
28. ↑ Yau y Nadis 2010, págs. 169-170
29. ↑ Yau y Nadis 2010, pág. 170
30. ↑ Vafa 1992; Witten 1992
31. ↑ Hori et al. 2003, pág. xviii
32. ↑ Kontsevich 1995a
33. ↑ Kontsevich 1995b
34. ↑ Givental 1996, 1998
35. ↑ Lian, Liu, Yau 1997, 1999a, 1999b, 2000
36. ↑ 1 2 Yau y Nadis 2010, pág. 172
37. ↑ 1 2 Yau y Nadis 2010, pág. 166
38. ↑ Yau y Nadis 2010, pág. 167
39. ↑ 1 2 Yau y Nadis 2010, pág. 169
40. ↑ Yau y Nadis 2010, pág. 171
41. ↑ Zaslow 2008, págs. 533-4
42. ↑ Zaslow 2008, sec. diez
43. ↑ Hori et al. 2003, pág. 677
44. ↑ Hori et al. 2003, pág. 679
45. ↑ Moore 2005, pág. 214
46. ↑ Moore 2005, pág. 215
47. ↑ Aspinwall et al. 2009
48. ↑ Literatura clásica en el campo de la teoría de categorías: libro de MacLane de 1998.
49. ↑ 1 2 Zaslow 2008, pág. 536
50. ↑ 1 2 3 Aspinwal et al. 2009, pág. 575
51. ↑ 1 2 3 Yau y Nadis 2010, pág. 175
52. ↑ Yau y Nadis 2010, págs. 180-1
53. ↑ Aspinwall et al. 2009, pág. 616
54. ↑ Yau y Nadis 2010, pág. 181
55. ↑ Yau y Nadis 2010, pág. 174
56. ↑ Zaslow 2008, pág. 533
57. ↑ Yau y Nadis 2010, pág. 175-6
58. ↑ Yau y Nadis 2010, págs. 175-7.
59. ↑ 1 2 Zaslow 2008, pág. 532
60. ↑ Yau y Nadis 2010, pág. 178
61. ↑ Yau y Nadis 2010, pág. 178-9

Literatura

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Lecturas adicionales

Populares

• Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve. La forma del espacio interior: la teoría de cuerdas y la geometría de las dimensiones ocultas del universo. - Libros Básicos, 2010. - ISBN 978-0-465-02023-2 .
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Literatura educativa

• Aspinwall, Paul; Bridgeland, Tom; Craw, Alastair; Douglas, Michael; Bruto, Mark; Kapustin, Antón; Moore, Gregorio; Segal, Graeme; Szendroi, Balazs; Wilson, PMH, editores. Branas de Dirichlet y simetría especular. - Sociedad Matemática Estadounidense, 2009. - ISBN 978-0-8218-3848-8 .
• Cox, David; Katz, Sheldon. Simetría especular y geometría algebraica. - Sociedad Matemática Americana, 1999. - ISBN 978-0-8218-2127-5 .
• Hori, Kentaro; Katz, Sheldon; Klemm, Albrecht; Pandharipande, Rahul; Tomás, Ricardo; Vafa, Cumrún; Vakil, Ravi; Zaslow, Eric, eds. Simetría del espejo . - Sociedad Matemática Americana, 2003. - ISBN 0-8218-2955-6 . Archivado el 19 de septiembre de 2006 en Wayback Machine .

diccionarios y enciclopedias	Britannica (en línea)