Redondeo

El redondeo es la sustitución de un número por su valor aproximado (con cierta precisión ), escrito con menos cifras significativas. El módulo de la diferencia entre el número que se reemplaza y el número de reemplazo se denomina error de redondeo .

El redondeo se utiliza para representar valores y resultados de cálculo con tantos lugares decimales como la verdadera precisión de medición o cálculo, o según lo requiera la aplicación en particular. El redondeo en los cálculos manuales también se puede utilizar para simplificar los cálculos en los casos en que el error introducido por el error de redondeo no supere los límites del error de cálculo permisible.

Redondeo general y terminología

El redondeo de un número escrito en el sistema numérico posicional con M decimales se puede hacer “hasta el K-ésimo decimal”, donde K ≤ M. Con este redondeo se descartan números en el registro a la derecha (MK) de significativos. dígitos, y el K-ésimo dígito después de la coma puede cambiar (ver #Métodos ). También se utiliza terminología que indica la unidad de menor fracción decimal que se conserva para un número redondeado, es decir, “redondeo a décimas”, “... a centésimas”, “... a milésimas”, etc. (corresponde a redondeando a uno, dos, tres, y así sucesivamente más decimales). El caso especial donde K=0 se llama "redondeo".
Cuando se descartan dígitos significativos de la parte entera del número durante el redondeo, se habla de “redondeo a decenas” (centenas, millares, etc.), descartando, respectivamente, uno, dos, tres o más caracteres. Con este redondeo, los dígitos descartados de la parte entera del número se reemplazan por ceros.
Para números representados en forma normalizada , se habla de "redondeo a K dígitos (significativos)". En este caso, la mantisa del número conserva K dígitos significativos, los dígitos restantes de la derecha se descartan.

Métodos

Diferentes campos pueden usar diferentes métodos de redondeo. En todos estos métodos, los signos "extra" se ponen a cero (se descartan) y el signo que los precede se corrige de acuerdo con alguna regla.

Redondeo al entero más cercano

El redondeo al entero más cercano es el redondeo más utilizado, en el que se redondea un número a un número entero, el módulo de la diferencia con el que este número tiene un mínimo. En general, cuando un número en el sistema decimal se redondea al decimal N-ésimo, la regla se puede formular de la siguiente manera:

si el carácter N+1 < 5 , se retiene el carácter N, y N+1 y todos los caracteres subsiguientes se ponen a cero;
si N+1 dígito ≥ 5 , entonces el N-ésimo dígito se incrementa en uno, y N+1 y todos los subsiguientes se ponen a cero;

Por ejemplo: 11,9 → 12; -0,9 → -1; −1,1 → −1; 2,5 → 3. El máximo error absoluto adicional introducido por este redondeo (error de redondeo) es de ±0,5 del último dígito almacenado.

Redondeando

Redondeo hacia arriba (redondeo hacia arriba +∞, redondeo hacia arriba, techo inglés - lit. "techo") - si los caracteres a anular no son iguales a cero, el signo anterior se incrementa en uno si el número es positivo, o se guarda si el número es negativo. En la jerga económica - redondeo a favor del vendedor , acreedor (la persona que recibe el dinero). En particular, 2,6 → 3, −2,6 → −2. El error de redondeo está dentro de +1 del último dígito almacenado.

Redondeando hacia abajo

Redondeo hacia abajo (redondeo hacia abajo a −∞, redondeo hacia abajo, piso en inglés - literal "piso"): si los caracteres anulables no son iguales a cero, el signo anterior se conserva si el número es positivo o se aumenta en uno si el número es negativo. En la jerga económica - redondeo a favor del comprador , el deudor (la persona que da el dinero). Aquí 2.6 → 2, −2.6 → −3. El error de redondeo está dentro de −1 del último dígito almacenado.

Módulo de redondeo

El redondeo hacia arriba (redondeo hacia el infinito, redondeo desde cero) es una forma de redondeo que se usa relativamente raramente. Si los caracteres anulables no son iguales a cero, el carácter anterior se incrementa en uno. El error de redondeo es +1 último dígito para números positivos y -1 último dígito para números negativos .

Módulo de redondeo a la baja

El redondeo al módulo más pequeño (redondeo a cero, entero inglés fijo, truncado, entero ) es el redondeo más “simple”, porque después de poner a cero los caracteres “extra”, se conserva el signo anterior, es decir, técnicamente consiste en descartar extra caracteres. Por ejemplo, 11,9 → 11; −0,9 → 0; −1,1 → −1). Con tal redondeo se puede introducir un error dentro de la unidad del último dígito almacenado, y en la parte positiva del eje numérico el error siempre es negativo, y en la parte negativa es positivo.

Redondeo aleatorio

Redondeo aleatorio : redondeo hacia arriba o hacia abajo en un orden aleatorio, mientras que la probabilidad de redondeo es igual a la parte fraccionaria. Este método convierte la acumulación de errores en una variable aleatoria con expectativa matemática cero .

Opciones para redondear 0.5 al entero más cercano

Las reglas de redondeo requieren una descripción separada para el caso especial cuando el (N + 1)-ésimo carácter = 5, y los caracteres subsiguientes son iguales a cero . Si en todos los demás casos el redondeo al entero más cercano proporciona un error de redondeo más pequeño, entonces este caso particular se caracteriza por el hecho de que para un solo redondeo es formalmente indiferente si es "hacia arriba" o "hacia abajo" - en ambos casos un error se introduce exactamente en 1/2 del dígito menos significativo. Existen las siguientes variantes de la regla de redondeo al entero más próximo para este caso:

Redondeo matemático : el redondeo siempre es ascendente (el dígito anterior siempre aumenta en uno).
Redondeo al número par más cercano (en inglés se conoce como el redondeo del banquero inglés - "redondeo del banquero"): el redondeo en este caso ocurre al número par más cercano , es decir, 2.5 → 2; 3.5 → 4.
Redondeo aleatorio : redondeo hacia arriba o hacia abajo al azar, pero con la misma probabilidad (se puede usar en estadísticas).
Redondeo alterno : redondeo hacia arriba o hacia abajo alternativamente.

En todos los casos, cuando el (N + 1)-ésimo signo no es igual a 5 o los signos posteriores no son iguales a cero, el redondeo se produce de acuerdo con las reglas habituales: 2,49 → 2; 2.51 → 3.

El redondeo matemático simplemente corresponde formalmente a la regla general de redondeo (ver arriba). Su desventaja es que al redondear una gran cantidad de valores, que luego serán procesados juntos, puede ocurrir la acumulación de error de redondeo . Un ejemplo típico: redondear a rublos enteros cantidades de dinero expresadas en rublos y kopeks. En un registro de 10.000 líneas (suponiendo que la parte de kopeks de cada importe sea un número aleatorio con una distribución uniforme, lo que suele ser bastante aceptable), habrá un promedio de unas 100 líneas con importes que contengan el valor 50 en la parte de kopeks. Cuando todas esas líneas se redondeen de acuerdo con las reglas del redondeo matemático "hacia arriba", la suma del "total" según el registro redondeado será 50 rublos más que el exacto.

Las otras tres opciones simplemente se inventaron para reducir el error total de la suma al redondear una gran cantidad de valores. El redondeo "al par más cercano" supone que con una gran cantidad de valores redondeados que tienen 0,5 en el resto redondeado, en promedio, la mitad de ellos estarán a la izquierda y la otra mitad a la derecha del par más cercano, por lo tanto, errores de redondeo se anularán entre sí. Estrictamente hablando, esta suposición es cierta solo cuando el conjunto de números que se redondea tiene las propiedades de una serie aleatoria, lo que suele ser cierto en las aplicaciones de contabilidad donde hablamos de precios, montos en cuentas, etc. Si se viola la suposición, el redondeo "a la par" puede conducir a errores sistemáticos. Para tales casos, los siguientes dos métodos funcionan mejor.

Las dos últimas opciones de redondeo aseguran que aproximadamente la mitad de los valores especiales se redondearán en un sentido y la mitad en el otro sentido. Pero la implementación de tales métodos en la práctica requiere esfuerzos adicionales para organizar el proceso computacional.

El redondeo aleatorio requiere que se genere un número aleatorio para cada fila redondeada. Cuando se utilizan números pseudoaleatorios generados por un método recurrente lineal, se requiere la operación de multiplicación, suma y división de módulo para generar cada número, lo que puede ralentizar significativamente los cálculos de grandes cantidades de datos.
El redondeo intercalado requiere almacenar un indicador que indique de qué manera se redondeó por última vez el valor especial y cambiar el valor de este indicador con cada operación.

Notación

La operación de redondear un número x a uno mayor ( hacia arriba ) se denota de la siguiente manera: . De manera similar, el redondeo hacia abajo ( hacia abajo ) se denota por . Estos símbolos (así como los nombres en inglés de estas operaciones, respectivamente, techo y piso , literalmente "techo" y "piso") fueron introducidos [1] por K. Iverson en su trabajo Un lenguaje de programación [2] , que describía el sistema de notación matemática, más tarde desarrollado en el lenguaje de programación APL . La notación de Iverson para las operaciones de redondeo fue popularizada por D. Knuth en su libro El arte de la programación [ 3] . $\lceil x\lceil$ $\lpiso x\rpiso$

Por analogía, el redondeo al número entero más cercano a menudo se denota como . En algunos trabajos anteriores y modernos (hasta finales del siglo XX), el redondeo hacia abajo se indicaba de esta manera; este uso de esta notación se remonta al trabajo de Gauss en 1808 (su tercera prueba de la ley cuadrática de reciprocidad ). Además, esta misma notación se usa (con un significado diferente) en la notación de Iverson . [una] $\izquierda[ x \derecha]$

Los siguientes caracteres están fijados en el estándar Unicode :

Nombre en Unicode	Código en Unicode		Vista	Mnemónicos en HTML 4	notas
Nombre en Unicode	hexadecimal	decimal	Vista	Mnemónicos en HTML 4	notas
TECHO IZQUIERDO (también upstile APL)	2308	8968	⌈	⌈	no debe confundirse con: U+2E22 ⸢ - Medio soporte superior izquierdo U+300C「-Soporte de esquina izquierdo
TECHO DERECHO	2309	8969	⌉	⌉	no debe confundirse con: U+20E7 ◌⃧ — Símbolo de anualidad combinada U+2E23 ⸣ - Medio soporte superior derecho
PLANTA IZQUIERDA (también APL downstile)	230A	8970	⌊	&lpiso;	no debe confundirse con: U+2E24 ⸤
PISO DERECHO	230B	8971	⌋	&rpiso;	no debe confundirse con: U+2E25 ⸥ U+300D」-Soporte de esquina derecho

Aplicaciones

El redondeo se utiliza para trabajar con números dentro del número de dígitos que corresponde a la precisión real de los parámetros de cálculo (si estos valores son valores reales medidos de una forma u otra), la precisión de cálculo alcanzable de manera realista, o la precisión deseada del resultado. En el pasado, el redondeo de valores intermedios y el resultado tenían una importancia práctica (porque al calcular en papel o usar dispositivos primitivos como el ábaco , tener en cuenta decimales adicionales puede aumentar seriamente la cantidad de trabajo). Ahora sigue siendo un elemento de la cultura científica y de ingeniería. En las aplicaciones de contabilidad, además, puede ser necesario el uso de redondeo, incluidos los intermedios, para proteger contra errores de cálculo asociados con la capacidad finita de bits de los dispositivos informáticos.

Además, algunos estudios utilizan el redondeo de edad para medir la aritmética . Esto se debe al hecho de que las personas menos educadas tienden a redondear su edad en lugar de dar la edad exacta. Por ejemplo, en los registros oficiales de poblaciones con menores niveles de capital humano , la edad de 30 años es más común que la de 31 o la de 29 [4] .

Redondeo cuando se trata de números de precisión limitada

Las cantidades físicas reales siempre se miden con cierta precisión finita , que depende de los instrumentos y métodos de medición y se estima por la máxima desviación relativa o absoluta del valor verdadero desconocido del valor medido, que en la representación decimal del valor corresponde a un cierto número de dígitos significativos, o a una cierta posición en la entrada del número, todos los números después (a la derecha) de los cuales son insignificantes (se encuentran dentro del error de medición ). Los propios parámetros medidos se registran con tal número de caracteres que todas las cifras son fiables, quizás la última dudosa. El error en las operaciones matemáticas con números de precisión limitada se conserva y cambia de acuerdo con las leyes matemáticas conocidas, por lo que cuando aparecen valores intermedios y resultados con una gran cantidad de dígitos en cálculos posteriores, solo una parte de estos dígitos son significativos. Las cifras restantes, al estar presentes en los valores, en realidad no reflejan ninguna realidad física y solo toman tiempo para los cálculos. Como resultado, los valores intermedios y los resultados en cálculos con precisión limitada se redondean al número de decimales que refleja la precisión real de los valores obtenidos. En la práctica, se suele recomendar almacenar un dígito más en valores intermedios para cálculos manuales largos "encadenados". Cuando se usa una computadora, los redondeos intermedios en aplicaciones científicas y técnicas a menudo pierden su significado, y solo se redondea el resultado.

Entonces, por ejemplo, si se da una fuerza de 5815 gf con una precisión de un gramo de fuerza y una longitud de hombro de 1,40 m con una precisión de un centímetro, entonces el momento de la fuerza en kgf según la fórmula , en el caso de un cálculo formal con todos los signos, será igual a: 5.815 kgf • 1, 4 m \u003d 8.141 kgf • m . Sin embargo, si tenemos en cuenta el error de medida, obtenemos que el error relativo límite del primer valor es 1/5815 ≈ 1.7•10 −4 , el segundo es 1/140 ≈ 7.1•10 −3 , el error relativo del resultado de acuerdo con la multiplicación de la regla de error de operación (al multiplicar valores aproximados, los errores relativos se suman) será 7.3•10 −3 , que corresponde al error absoluto máximo del resultado ±0.059 kgf•m! Es decir, en realidad, teniendo en cuenta el error, el resultado puede ser de 8.082 a 8.200 kgf•m, así, en el valor calculado de 8.141 kgf•m, solo la primera cifra es completamente confiable, incluso la segunda ya es dudosa ! Será correcto redondear el resultado de los cálculos a la primera cifra dudosa, es decir, a las décimas: 8,1 kgf•m, o, en su caso, una indicación más precisa del margen de error, presentarlo en forma redondeada a uno o dos decimales con indicación del error: 8 .14 ± 0.06 kgf•m . $M=(mg)\cdot h$

Redondeo del valor de error calculado

Por lo general, solo se dejan la primera o las dos primeras cifras significativas en el valor final del error calculado. De acuerdo con una de las reglas aplicadas, si el valor del error comienza con los dígitos 1 o 2 [5] (de acuerdo con otra regla - 1, 2 o 3 [6] ), entonces se almacenan dos dígitos significativos, en otros casos - uno, por ejemplo: 0 ,13; 0,26; 0,3; 0.8. Es decir, cada década de posibles valores del error redondeado se divide en dos partes. La desventaja de esta regla es que el error de redondeo relativo cambia significativamente al pasar de 0,29 a 0,3. Para eliminar esto, se propone dividir cada década de posibles valores de error en tres partes con un cambio menos brusco en el paso de redondeo. Luego, una serie de valores de error redondeados permitidos para su uso toma la forma:

0,10; 0,12; 0,14; 0,16; 0,18;
0,20; 0,25; 0,30; 0,35; 0,40; 0,45;
0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1.0.

Sin embargo, cuando se utiliza una regla de este tipo, los últimos dígitos del resultado en sí, que quedan después del redondeo, también deben corresponder a la serie dada [5] .

Recálculo de los valores de cantidades físicas

El recálculo del valor de una cantidad física de un sistema de unidades a otro debe realizarse manteniendo la precisión del valor original. Para hacer esto, el valor original en una unidad debe multiplicarse (dividirse) por un factor de conversión, que a menudo contiene una gran cantidad de dígitos significativos, y el resultado debe redondearse al número de dígitos significativos que asegure la precisión del valor original. . Por ejemplo, al convertir un valor de fuerza de 96,3 tf en un valor expresado en kilonewtons (kN), el valor original debe multiplicarse por un factor de conversión de 9,80665 (1 tf = 9,80665 kN). El resultado es un valor de 944,380395 kN, que debe redondearse a tres cifras significativas. En lugar de 96,3 tf obtenemos 944 kN [7] .

Reglas empíricas para el redondeo aritmético

En los casos en los que no es necesario tener en cuenta con precisión los errores de cálculo, sino que solo se requiere una estimación aproximada de la cantidad de números exactos como resultado del cálculo mediante la fórmula, puede usar un conjunto de reglas simples para cálculos redondeados [ 8] :

Todos los valores sin procesar se redondean a la precisión de medición real y se registran con el número apropiado de dígitos significativos, de modo que en notación decimal todos los dígitos sean confiables (se permite que el último dígito sea dudoso). Si es necesario, los valores se registran con ceros significativos a la derecha para que el número real de caracteres confiables se indique en el registro (por ejemplo, si una longitud de 1 m se mide al centímetro más cercano, "1,00 m" es escrito de modo que se pueda ver que dos caracteres son confiables en el registro después del punto decimal), o se indica explícitamente la precisión (por ejemplo, 2500 ± 5 m; aquí solo las decenas son confiables y deben redondearse hacia arriba) .
Los valores intermedios se redondean con un dígito "de repuesto".
Al sumar y restar, el resultado se redondea al último decimal del menos exacto de los parámetros (por ejemplo, al calcular un valor de 1,00 m + 1,5 m + 0,075 m, el resultado se redondea a décimas de metro, que es decir, a 2,6 m). Al mismo tiempo, se recomienda realizar los cálculos en un orden que evite restar números de magnitud cercana y realizar operaciones con números, si es posible, en orden ascendente de sus módulos.
Al multiplicar y dividir, el resultado se redondea al menor número de dígitos significativos que tienen los factores o dividendo y divisor. Por ejemplo, si un cuerpo con movimiento uniforme recorrió una distancia de 2,5⋅10 3 metros en 635 segundos , entonces al calcular la velocidad, el resultado debe redondearse a 3,9 m/s , ya que se conoce uno de los números (la distancia). sólo con una precisión de dos dígitos significativos. Nota importante: si un operando durante la multiplicación o un divisor durante la división tiene un significado entero (es decir, no es el resultado de medir una cantidad física continua con una precisión de unidades enteras, sino, por ejemplo, una cantidad o simplemente una constante entera) ), entonces el número de dígitos significativos en él es que la precisión del resultado de la operación no se ve afectada, y el número de dígitos restantes está determinado solo por el segundo operando. Por ejemplo, la energía cinética de un cuerpo con una masa de 0,325 kg que se mueve a una velocidad de 5,2 m / s es igual a $E_{k}={\tfrac {mv^{2}}{2}}={\tfrac {0.325\cdot 5.2^{2}}{2}}=4.394\approx 4.4$ J , redondeado a dos decimales (según el número de dígitos significativos en el valor de la velocidad), y no a uno (divisor de 2 en la fórmula), dado que el valor 2 es una constante de fórmula entera, es absolutamente precisa y no afecta la precisión de los cálculos (formalmente, dicho operando puede considerarse "medido con un número infinito de significativos"). dígitos”).
Al elevar a una potencia, como resultado del cálculo, se deben dejar tantos dígitos significativos como tenga la base del grado.
Al extraer una raíz de cualquier grado de un número aproximado, como resultado, se deben tomar tantos dígitos significativos como tenga el número raíz.
Al calcular el valor de una función , se requiere estimar el valor del módulo de la derivada de esta función en la vecindad del punto de cálculo. Si , entonces el resultado de la función es exacto al mismo lugar decimal que el argumento. De lo contrario, el resultado contiene menos lugares decimales exactos por , redondeados al entero más cercano. $f \izquierda( x \derecha)$ $\left|f'\left(x\right)\right|\leqslant 1$ $\log _{10}\left(\left|f'\left(x\right)\right|\right)$

A pesar de la falta de rigor, las reglas anteriores funcionan bastante bien en la práctica, en particular, debido a la probabilidad bastante alta de cancelación mutua de errores, que generalmente no se tiene en cuenta cuando los errores se tienen en cuenta con precisión.

Errores

Muy a menudo hay abusos de números no redondos. Por ejemplo:

Escriba números que tengan poca precisión, en forma no redondeada. En estadística: si 4 personas de 17 respondieron “sí”, entonces escriben “23,5%” (mientras que “24%” es correcto, ya que la cantidad de dígitos significativos en los datos de origen no es más de dos ).
Los usuarios de punteros a veces piensan así: "el puntero se detuvo entre 5,5 y 6 más cerca de 6, que sea 5,8"; tal razonamiento es incorrecto. ( La calibración del instrumento, por regla general, corresponde a su precisión real, sería correcto fijar el valor "6".

Dato interesante

Carl Friedrich Gauss señaló: “Las deficiencias de la educación matemática se manifiestan más claramente en la excesiva precisión de los cálculos numéricos” [9] .

Véase también

Notas

↑ 1 2 Función Floor - de Wolfram MathWorld . Consultado el 8 de agosto de 2015. Archivado desde el original el 5 de septiembre de 2015. (indefinido)
↑ Iverson, Kenneth E. Un lenguaje de programación . - Wiley, 1962. - ISBN 0-471-43014-5 . Copia archivada (enlace no disponible) . Fecha de acceso: 8 de agosto de 2015. Archivado desde el original el 4 de junio de 2009. (indefinido)
↑ Knut D. E. El arte de la programación. Volumen 1. Algoritmos básicos = El arte de la programación informática. Volumen 1. Algoritmos fundamentales / ed. S. G. Trigub (Cap. 1), Yu. G. Gordienko (Cap. 2) e I. V. Krasikova (Sec. 2.5 y 2.6). - 3. - Moscú: Williams, 2002. - T. 1. - 720 p. — ISBN 5-8459-0080-8 .
↑ A'Hearn, B., J. Baten, D. Crayen (2009). "Cuantificación de la alfabetización cuantitativa: acumulación de edad y la historia del capital humano", Journal of Economic History 69, 783-808.
↑ 1 2 Redondeo de resultados de medición . www.metrologie.ru Consultado el 10 de agosto de 2019. Archivado desde el original el 16 de agosto de 2019. (indefinido)
↑ 1.3.2. Reglas para el redondeo de valores de error y registro . StudFiles. Consultado el 10 de agosto de 2019. Archivado desde el original el 10 de agosto de 2019. (Ruso)
↑ Reglas para recalcular los valores de cantidades físicas | Unidades de cantidades físicas . sv777.ru. Consultado el 8 de agosto de 2019. Archivado desde el original el 8 de agosto de 2019. (indefinido)
↑ V. M. Zavarykin, V. G. Zhitomirsky, M. P. Lapchik. Técnica de Computación y Algoritmización: Curso Introductorio: Libro de Texto para Estudiantes de Institutos Pedagógicos en Física y Matemáticas. - M: Educación, 1987. 160 p.: il.
↑ cit. según V. Gilde, Z. Altrichter. "Con una calculadora en la mano". Segunda edicion. Traducción del alemán por Yu. A. Danilov. M: Mir, 1987, p.64.

Literatura

Henry S. Warren, Jr. Capítulo 3 Redondeo a potencias de 2 // Trucos algorítmicos para programadores = Delicia de hacker. - M .: "Williams" , 2007. - S. 288. - ISBN 0-201-91465-4 .

Enlaces

Estándar SEV ST SEV 543-77 "Números. Reglas para escribir y ... | Dokipedia . dokipedia.ru. Fecha de acceso: 8 de agosto de 2019. Archivado el 8 de agosto de 2019. (indefinido)