Mosaico Trihexagonal

Mosaico Trihexagonal
Tipo de	embaldosado semirregular
Configuración de vértice	(3.6) 2
Símbolo Schläfli	r{6,3} o h 2 {6,3}
símbolo de Wythoff	2 | 6 3 3 3 | 3
Diagrama de Coxeter-Dynkin	=
simetrías	p6m, [6,3], (*632)
simetrías de rotación	p6, [6,3] + , (632) p3 , [3 [3] ] + , (333)
notación Bowers	Que
panales dobles	mosaico rómbico
Propiedades	vértice-transitivo borde-transitivo

El mosaico trihexagonal es uno de los 11 mosaicos uniformes en el plano euclidiano a partir de polígonos regulares [1] . El mosaico consta de triángulos regulares y hexágonos regulares dispuestos de manera que cada hexágono esté rodeado por triángulos y viceversa. El nombre del teselado proviene del hecho de que combina un teselado hexagonal regular y un teselado triangular regular . Dos hexágonos y dos triángulos se alternan alrededor de cada vértice, y los bordes forman una configuración interminable de líneas . El mosaico dual es rómbico [2] .

El mosaico y su lugar en la clasificación de mosaicos homogéneos fueron dados por Johannes Kepler ya en 1619 en su libro Harmonices Mundi [3] . El patrón se ha utilizado durante mucho tiempo en la cestería japonesa , donde se le llamó kagome . El término japonés para este patrón fue tomado prestado por los físicos, donde se llamó red kagome . El patrón se encuentra en las estructuras cristalinas de algunos minerales. Conway usó el nombre hexadeltille (mosaico de seis deltas), combinando partes de las palabras hex-/delta/tille [4] .

Kagome

Kagome (籠目) es un patrón de tejido de bambú japonés tradicional. El nombre es una combinación de las palabras kago (canasta) y me (ojo), esta última refiriéndose a los agujeros en la canasta de bambú.

Kagome es una configuración entrelazada de varillas que forman un patrón de mosaico trihexagonal. Tejer le da a Kagome la simetría de un grupo de papel tapiz quiral, grupos p6.

Enrejado de kagome

El término celosía kagome fue introducido por un físico japonés, miembro extranjero de la Academia Rusa de Ciencias [5] Koji Fushimi. El término apareció por primera vez en un artículo de 1951 escrito por Ishirō Shoji bajo la dirección de Fushimi [6] . La red kagome en este sentido consiste en los vértices y bordes de un mosaico trihexagonal. Contrariamente al nombre, estas intersecciones no forman una red matemática .

Estructura 3D conectada formada por los vértices y las aristas de un panal de un cuarto de cubo, llenando el espacio con tetraedros regulares y tetraedros truncados , se llama la hiperred de kagome [7] . Está representado por los vértices y aristas de panales de un cuarto de cubo que llenan el espacio con tetraedros y tetraedros truncados . La estructura contiene cuatro conjuntos de planos paralelos, y cada plano es una red kagome bidimensional. Otra representación en el espacio tridimensional tiene niveles paralelos de retículas bidimensionales y se denomina retícula kagome ortorrómbica [7] . Los panales prismáticos trihexagonales representan los bordes y vértices de esta red.

Algunos minerales , a saber, la jarosita y la herbertsmithita , contienen redes bidimensionales o redes kagome tridimensionales formadas a partir de átomos en una estructura cristalina . Estos minerales muestran propiedades físicas asociadas con imanes de frustración geométrica . Por ejemplo, la distribución de espines de iones magnéticos en Co 3 V 2 O 8 está dispuesta en forma de red de kagome y muestra un comportamiento magnético sorprendente a bajas temperaturas [8] . El término ahora se usa ampliamente en la literatura científica, especialmente en el estudio teórico de las propiedades magnéticas de la red teórica de kagome.

Simetría

El mosaico trihexagonal tiene el símbolo de Schläfli r{6,3} y el diagrama de Coxeter-Dynkin , que simboliza el hecho de que el mosaico es un mosaico hexagonal completamente truncado , {6,3}. Sus simetrías pueden ser descritas por el grupo de papel tapiz p6mm, (*632) [9] . El mosaico se puede obtener mediante la construcción de Wythoff a partir de las regiones de reflexión fundamentales de este grupo . Un mosaico trihexagonal es un mosaico cuasiregular que alterna dos tipos de polígonos y tiene la configuración de vértice (3.6) 2 . El mosaico también es un mosaico uniforme , uno de los ocho derivados de un mosaico hexagonal regular.

Coloraciones uniformes

Hay dos colores uniformes diferentes del mosaico trihexagonal. Estos dos colores, si especifica índices de color para 4 caras alrededor de un vértice (3.6.3.6), tienen conjuntos de índices 1212 y 1232 [10] . El segundo color se llama mosaico hexagonal biselado , h 2 {6,3}, con dos colores triangulares de la simetría (*333) del grupo de papel tapiz p3m1 .

Simetría	p6m, (*632)	p3m, (*333)
Colorante
área fundamental
símbolo de Wythoff	2 | 6 3	3 3 | 3
Diagrama de Coxeter - Dynkin		=
Símbolo Schläfli	r{6,3}	r{3 [3] } = h 2 {6,3}

Teselaciones topológicamente equivalentes

Un mosaico trihexagonal se puede curvar geométricamente en mosaicos topológicamente equivalentes con un menor grado de simetría [10] . En estas variantes del mosaico, los bordes no son necesariamente segmentos (pueden ser curvos).

Teselaciones cuasi-regulares relacionadas

El mosaico trihexagonal está presente en una secuencia de simetrías de mosaicos cuasi-regulares con configuraciones de vértice (3. n ) 2 que comienza con mosaicos en una esfera, va al plano euclidiano y pasa al plano hiperbólico. Con notación orbifold* n 32 simetría, todas estas teselaciones son creadas por la construcción de Wythoff con una región de simetría fundamental y un punto generador en el vértice de la región con un ángulo recto [11] [12] .

Infinitos complejos regulares relacionados

Hay 2 infinitos complejos regulares que tienen los mismos vértices que el mosaico trihexagonal. Los infinitos complejos regulares tienen vértices y aristas, mientras que las aristas pueden tener 2 o más vértices. Los infinitos regulares (apeirogons) p { q } r tienen la igualdad límite: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Las aristas tienen p vértices dispuestos como un polígono regular , y las figuras de vértice son r -gonales [13 ] .

El primer infinito consta de aristas triangulares, dos triángulos alrededor de cada vértice, el segundo tiene aristas hexagonales, dos hexágonos alrededor de cada vértice.

3{12}2 o	6{6}2 o

Véase también

• umbral de percolación
• Estrella de David
• Nido de abeja prismático trihexagonal

Notas

1. ↑ Grünbaum, Shephard, 1987 . Ver, en particular, el Teorema 2.1.3 en la página 59 (clasificación de mosaicos homogéneos), la Figura 2.1.5 en la página 63 (ilustración de este mosaico), el Teorema 2.9.1 en la página 103 (clasificación de mosaicos coloreados), la Figura 2.9. 2 en la página 105 (ilustración de teselados coloreados), Figura 2.5.3(d) en la página 83 (teselado en estrella topológicamente equivalente) y Ejercicio 4.1.3 en la página 171 (equivalencia topológica de teselado trihexagonal y bitrangular).
2. ↑ Williams, 1979 , pág. 38.
3. ↑ Kepler, 1997 , pág. 104–105.
4. ↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strauss, 2008 , pág. 288.
5. ↑ Fushimi Koji. | ES ARAN . Consultado el 4 de septiembre de 2021. Archivado desde el original el 4 de junio de 2021. (indefinido)
6. ↑ Mekata, 2003 , pág. 12–13.
7. ↑ 1 2 Lawler, Kee, Kim, Vishwanath, 2008 .
8. ↑ Yen, Chaudhury, Galstyan et al., 2008 , pág. 1487-1489
9. ↑ Steurer, Deloudi, 2009 , pág. veinte.
10. ↑ 1 2 Grünbaum, Shephard, 1987 .
11. ↑ Coxeter, 1973 .
12. ↑ Mutaciones de simetría bidimensional por Daniel Huson
13. ↑ Coxeter, 1991 , pág. 111-112, 136.

Literatura

• Roberto Williams. La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta de diseño . - Nueva York: Dover Publications , 1979. -  p.32 . — ISBN 0-486-23729-X .
• Branko Grünbaum , Shephard GC Mosaicos y patrones. - Nueva York: WH Freeman, 1987. - ISBN 0-7167-1193-1 .
• Johanes Kepler. La armonía del mundo de Johannes Kepler / Aiton EJ, Duncan AM, Field JV. - Sociedad Filosófica Americana, 1997. - T. 209. - S. 104-105. — (Memorias de la Sociedad Filosófica Americana). — ISBN 9780871692092 .
• Politopos complejos regulares HSMD de Coxeter . — 2do. - Nueva York, Port Chester, Melburne, Sydney: Cambridge University Press, 1991. - P.  111-112 , 136. - ISBN 0-521-39490-2 .
• Coxeter HSMD Capítulo V: El caleidoscopio, Sección: 5.7 Construcción de Wythoff // Politopos regulares . - Tercera edicion. - Edición de Dover, 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Capítulo 21: Nomenclatura de poliedros y teselas de Arquímedes y Catalanes; Teselaciones del plano euclidiano // Las simetrías de las cosas. - Wellesley, MA: AK Peters, Ltd., 2008. - P. 288. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
• Mamoru Mekata. Kagome: La historia del entramado de tejido de cesta // Physics Today. - AIP Publishing, 2003. - Febrero ( vol. 56 , número 2 ). — P. 12–13 . -doi : 10.1063/ 1.1564329 . — .
• Michael J. Lawler, Hae-Young Kee, Yong Baek Kim, Ashvin Vishwanath. Líquido de giro topológico en la red de hiperkagoma de Na 4 Ir 3 O 8  // Cartas de revisión física. - 2008. - junio ( vol. 100 , número 22 ). -doi : 10.1103/ physrevlett.100.227201 . - . -arXiv : 0705.0990 . _
• Yen F., Chaudhury RP, Galstyan E., Lorenz B., Wang YQ, Sun YY, Chu CW Diagramas de fase magnéticos del compuesto de escalera Kagome Co 3 V 2 O 8  // Física B: materia condensada. - 2008. - T. 403 . - S. 1487-1489 . -doi : 10.1016/ j.physb.2007.10.334 . - . -arXiv : 0710.1009 . _
• Dale Seymour, Jill Britton. Introducción a los Teselados . - 1989. - S.  50-56 . — ISBN 978-0866514613 .
• Walter Steurer, Sofía Deloudi. Cristalografía de Cuasicristales: Conceptos, Métodos y Estructuras . - Springer, 2009. - T. 126. - P. 20. - (Serie Springer en Ciencia de Materiales). — ISBN 9783642018992 .