Mosaico rómbico
| mosaico rómbico | |
|---|---|
| Tipo de | Mosaico de Laves |
| Gráfico de Coxeter |     
|
| facetas | diamantes 60°–120° |
| Configuración de la cara | V3.6.3.6 |
| grupo de simetría | p6m, [6,3], *632 p3m1, [3 [3] ], *333 |
| grupo de rotación | p6, [6,3] + , (632) p3, [3 [3] ] + , (333) |
| doble | mosaico trihexagonal |
| Propiedades | transitivo de borde transitivo de cara |
Mosaico rómbico [1] , bloques basculantes [2] , cubos reversibles o celosía cúbica : un mosaico de rombos idénticos con un ángulo de 60° en el plano euclidiano . Cada rombo tiene dos ángulos de 60° y dos de 120° . Tales rombos a veces se llaman diamantes . Conjuntos de tres rombos están en contacto con vértices con un ángulo de 120°, y conjuntos de seis están en contacto con vértices con un ángulo de 60°.
Propiedades
Un mosaico rómbico se puede considerar como un mosaico hexagonal subdividido , en el que cada hexágono se divide en tres rombos que tienen un vértice común en el centro del hexágono. Esta división representa un mosaico regular conectado . También puede verse como una división de cuatro mosaicos hexagonales, en los que los hexágonos se dividen en 12 rombos.
Las diagonales de un rombo están relacionadas como 1:√3. El mosaico rómbico es el dual del mosaico trihexagonal o celosía kagome . Como mosaico dual del mosaico uniforme , es uno de los once posibles mosaicos de Laves , y su configuración de vértice se denota como [3.6.3.6] [4] .
El mosaico es también uno de los 56 posibles mosaicos isoédricos por cuadriláteros [5] y uno de los 8 mosaicos del plano en el que cualquier borde se encuentra en el eje de simetría del mosaico [6] .
Es posible incrustar un mosaico rómbico en un subconjunto de una red de enteros tridimensional de tal manera que dos vértices sean adyacentes si y solo si los puntos correspondientes de la red están separados por una unidad de distancia. Más estrictamente, cuando el número de aristas en el camino más corto entre dos vértices del mosaico es igual a la distancia de las manzanas de la ciudad entre los puntos de cuadrícula correspondientes. Por lo tanto, el mosaico rómbico puede verse como un ejemplo de un gráfico de distancia de unidad infinita y un cubo parcial [7] .
Aplicación en el arte
El teselado rómbico puede interpretarse como una proyección isométrica de un conjunto de cubos de dos maneras diferentes, que representan figuras reversibles asociadas al cubo de Necker . Este fenómeno se conoce como la ilusión de los "cubos reversibles" [8] .
En las xilografías Metamorfosis I , Metamorfosis II y Metamorfosis III , Escher utiliza esta interpretación del mosaico como una forma de transformar formas bidimensionales en tridimensionales [9] . En su otra obra, El ciclo (1938), Escher juega con la contradicción interna entre la bidimensionalidad y la tridimensionalidad de este mosaico: el dibujo muestra edificios que tienen como elementos arquitectónicos grandes bloques cúbicos y un patio en la parte superior, pavimentado con un mosaico rómbico. Las figuras humanas que descienden del patio por los cubos se vuelven estilizadas y planas [10] . Estos trabajos usan solo una interpretación 3D del mosaico, pero en Convex and Concave Escher experimenta con figuras reversibles e incluye una imagen de cubos reversibles en una bandera [11] .
El mosaico rómbico también se usa para parquet [12] y como baldosas para pisos o paredes, a veces con un cambio en la forma de los rombos [13] El patrón rómbico se encuentra en un piso de mosaico antiguo en el griego Delos [14] y en un suelo italiano del siglo XI [15] , aunque los azulejos del mosaico de la catedral de Siena son de producción posterior [16] . El material acolchado se conoce desde la década de 1850 como un patrón de "bloques que caen", que expresa la disonancia visual causada por la interpretación tridimensional bidimensional [2] [15] [17] . Este patrón tiene muchos otros nombres, como la escalera celestial y la caja de Pandora [17] . Se cree que este patrón se utilizó como señal en el metro : cuando los esclavos lo vieron colgado de la cerca, recogieron sus pertenencias y se escondieron [18] . Estos patrones decorativos pueden utilizar diamantes de varios colores, pero normalmente se utilizan tres tonos, diamantes más claros con diagonales largas horizontales y más oscuros en las otras dos direcciones, lo que potencia su efecto tridimensional. Hay una presencia conocida de mosaicos rómbicos y trihexagonales en la heráldica inglesa : en el escudo de armas del ejército Geal / e [19] .
Teselaciones topológicamente equivalentes
Los mosaicos rómbicos a veces se hacen con un menor grado de simetría. Por ejemplo, las siguientes dos opciones. A veces, estas variantes se denominan mosaicos cúbicos por la ilusión de cubos tridimensionales apilados vistos desde un ángulo.
Otras aplicaciones
Se puede pensar en un mosaico rómbico como el resultado de una superposición de dos mosaicos hexagonales diferentes, desplazados de modo que los vértices de un mosaico estén en el centro de los hexágonos del otro mosaico. De esta forma, se puede usar un mosaico rómbico para crear un autómata celular de bloques , en el que los rombos del mosaico son las celdas del autómata, y los hexágonos de dos mosaicos sirven como bloques en pasos de autómatas alternos. En este contexto, la máquina se conoce como el "campo Q*bert", por el videojuego Q*bert , en el que el campo de juego parece una pirámide de cubos. El campo Q*bert se puede utilizar para soportar un sistema universal mediante la simulación de una computadora de billar [20] .
En la física de la materia condensada, un mosaico rómbico se conoce como celosía cúbica o celosía kagome dual . Es una de varias estructuras repetitivas que se han utilizado para estudiar el modelo de Ising y los sistemas acoplados de interacciones de espín en cristales diatómicos [21] y también se ha estudiado en la teoría de la percolación [22] .
Simetría
El mosaico rómbico tiene *632 simetrías, pero los vértices se pueden colorear en colores alternos, lo que da como resultado *333 simetrías.
| Imagen | (2 colores) |
(3 colores) |
|---|---|---|
| Simetría | p6m, [6,3], (*632) | p3m1, [3 [3] ], (*333) |
| coxeter |
|
=
|
Poliedros y mosaicos relacionados
El teselado rómbico es el dual del teselado trihexagonal y por tanto pertenece al conjunto de teselados duales homogéneos. También es parte de una secuencia de poliedros rómbicos y mosaicos con el grupo de simetría de Coxeter [n,3], que comienza con un cubo, que puede considerarse como un hexaedro rómbico, con cuadrados que funcionan como rombos. El n -ésimo elemento de esta secuencia tiene la configuración de cara V3.n.3.n.
| Esférico | euclidiana | Hiperbólico | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| *n32 | *332 | *432 | *532 | *632 | *732 | *832... | *∞32 |
| Mosaico | |||||||
| Conf. | V(3.3) 2 | V(3.4) 2 | V(3.5) 2 | V(3.6) 2 | V(3.7) 2 | V(3.8) 2 | V(3.∞) 2 |
El mosaico rómbico es una de las muchas formas de mosaico de un plano con rombos. Otros incluyen
versión plana de parquet cuadrado (con transferencia paralela) mosaico utilizado en el esquema de plegado rígido de Miura-ori (alternando traslaciones paralelas y reflexiones) Mosaico de Penrose , que utiliza dos tipos de rombos con ángulos agudos de 36° y 72° aperiódicamente , así como otros mosaicos aperiódicosJunto a ellos se encuentra el mosaico de la Esfinge , que, como un mosaico rómbico, se basa en un mosaico hexagonal .
Véase también
Notas
- ↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strass, 2008 , pág. 288.
- ↑ 12 Smith, 2002 .
- ↑ Guy, Woodrow, 1996 , pág. 79.
- ↑ Grünbaum, Shephard, 1987 .
- ↑ Grünbaum y Shephard 1987 , p. 477, figura. 9.1.2, Mosaico P 4 -42.
- ↑ Kirby, Umble, 2011 , pág. 283–289.
- ↑ Deza, Grishukhin, Shtogrin, 2004 , pág. 150.
- ↑ Warren, 1919 , pág. 262.
- ↑ Kaplan, 2008 , pág. 39–46.
- ↑ Escher, 2001 , pág. 29–30.
- ↑ Diciembre de 2003 , p. 130–141.
- ↑ Schleining, O'Rourke, 2003 , pág. 58.
- ↑ Tessellation Tango Archivado el 30 de diciembre de 2019 en Wayback Machine , The Mathematical Tourist, Universidad de Drexel, consultado el 23 de mayo de 2012.
- ↑ Dunbabin, 1999 , pág. 32.
- ↑ 1 2 Tatem, 2010 , pág. 115.
- ↑ Wallis, 1902 , pág. xxiv.
- ↑ 12 Fowler , 2008 .
- ↑ Tobin, Dobard, 2000 , pág. 81.
- ↑ Aux armes: symbolism Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine , Symbolism in arms, Pleiade, consultado el 17 de abril de 2013.
- ↑ El barrio de Q*Bert. Archivado el 4 de junio de 2012 en Wayback Machine , Tim Tyler.
- ↑ Fisher, 1959 , pág. 969–981.
- ↑ Yonezawa, Sakamoto y Hori, 1989 , pág. 636–649.
Literatura
- , Con. 29–30, ISBN 9783822858646 , < https://books.google.com/books?id=lq-EZiRdPswC&pg=PR1 >
- Richard K. Guy, Robert E. Woodrow. El lado más ligero de las matemáticas. - The Mathematical Association of America, 1996. - S. 79, Figura 10. - (Spectrum). - ISBN 13: 978-0883855164, 10: 088385516X.
- Howard CrosbyWarren. psicología humana. - Houghton Mifflin, 1919. - Pág. 262.
- John Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Las simetrías de las cosas. - AK Peters, 2008. - Pág. 288. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
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- Michel Deza, Viatcheslav Grishukhin, Mikhail Shtogrin. Grafos politopales escala-isométricos en hipercubos y redes cúbicas: Politopos en hipercubos y Z n . - Londres: Imperial College Press, 2004. - Pág. 150. - ISBN 1-86094-421-3 . -doi : 10.1142 / 9781860945489 .
- Craig S. Kaplan. Bridges 2008: Conexiones Matemáticas en Arte, Música y Ciencia. - 2008. - S. 39-46.
- José De May. El legado de MC Escher: una celebración del centenario / D. Schattschneider, M. Emmer. - Springer, 2003. - S. 130-141.
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- Fumiko Yonezawa, Shoichi Sakamoto, Motoo Hori. Percolación en redes bidimensionales. I. Una técnica para la estimación de umbrales // Phys. Rvdo. B. - 1989. - T. 40 , núm. 1 . — S. 636–649 . -doi : 10.1103 / PhysRevB.40.636 .
- Lon Schleining, Randy 'Rourke. Cofres del tesoro: el legado de las cajas extraordinarias. - Taunton Press, 2003. - Pág. 58. - ISBN 9781561586516 .
- Katherine MD Dunbabin. Mosaicos del mundo griego y romano. - Cambridge University Press, 1999. - Pág. 32. - ISBN 9780521002301 .
- María Tatem. Quilt of Joy: Historias de esperanza de la vida de patchwork. - Revell, 2010. - Pág. 115. - ISBN 9780800733643 .
- Enrique Wallis. Arte de cerámica italiana. - Bernard Quaritch, 1902. - S. xxv.
- Bárbara Smith. Tumbling Blocks: nuevos edredones de un viejo favorito. - Libros de colección, 2002. - ISBN 9781574327892 .
- Earlene Fowler. Bloques que caen. - Pingüino, 2008. - ISBN 9780425221235 . . Esta es una novela de misterio, pero también incluye una breve descripción del patrón del edredón de bloques giratorios en su portada.
- Jacqueline L. Tobin, Raymond G. Dobard. Oculto a simple vista: una historia secreta de edredones y el ferrocarril subterráneo . - Random House Digital, Inc., 2000. - Pág . 81 . — ISBN 9780385497671 .
- Mauricio Cornelis Escher. MC Escher, la Obra Gráfica. - Taschen, 2001. - S. 29–30. — ISBN 9783822858646 .
Lecturas adicionales
- Keith Critchlow, Orden en el espacio: un libro fuente de diseño , 1970, p.77-76, patrón 1
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