Interpolación , interpolación ( del lat. inter-polis - " suavizado, actualizado, actualizado; transformado ") - en matemáticas computacionales , encontrar valores intermedios desconocidos de una función, a partir de un conjunto discreto existente de sus valores conocidos, de cierta manera . El término "interpolación" fue utilizado por primera vez por John Vallis en su tratado La aritmética del infinito (1656).
En el análisis funcional, la interpolación de operadores lineales es un apartado que considera los espacios de Banach como elementos de una determinada categoría [1] .
Muchos de los que se ocupan de cálculos científicos y de ingeniería suelen tener que operar sobre conjuntos de valores obtenidos por experiencia o muestreo aleatorio . Por regla general, sobre la base de estos conjuntos, se requiere construir una función , sobre la cual podrían caer con alta precisión otros valores obtenidos. Tal tarea se llama aproximación . La interpolación es un tipo de aproximación en la que la curva de la función construida pasa exactamente por los puntos de datos disponibles.
También existe un problema cercano a la interpolación, que consiste en aproximar una función compleja por otra función más simple. Si una determinada función es demasiado compleja para los cálculos productivos, puede intentar calcular su valor en varios puntos y construir, es decir, interpolar, una función más simple a partir de ellos. Por supuesto, el uso de una función simplificada no le permite obtener exactamente los mismos resultados que la función original. Pero en algunas clases de problemas, la ganancia en simplicidad y velocidad de los cálculos puede compensar el error resultante en los resultados.
También debemos mencionar un tipo completamente diferente de interpolación matemática, conocida como "interpolación de operadores". Los trabajos clásicos sobre la interpolación de operadores incluyen el teorema de Riesz-Thorin y el teorema de Marcinkiewicz , que son la base de muchos otros trabajos.
Considere un sistema de puntos no coincidentes ( ) de algún área . Deje que los valores de la función se conozcan solo en estos puntos:
El problema de la interpolación es encontrar tal función a partir de una clase dada de funciones que
1. Supongamos que tenemos una función de tabla, como la que se describe a continuación, que, para varios valores , determina los valores correspondientes :
0 | 0 |
una | 0.8415 |
2 | 0.9093 |
3 | 0.1411 |
cuatro | −0,7568 |
5 | −0,9589 |
6 | −0,2794 |
La interpolación nos ayuda a averiguar qué valor puede tener una función de este tipo en un punto distinto de los puntos especificados (por ejemplo, en x = 2,5).
Hasta la fecha, existen muchos métodos diferentes de interpolación. La elección del algoritmo más adecuado depende de las respuestas a las preguntas: qué tan preciso es el método elegido, cuál es el costo de usarlo, qué tan fluida es la función de interpolación, cuántos puntos de datos requiere, etc.
2. Encuentra un valor intermedio (por interpolación lineal ).
6000 | 15.5 |
6378 | ? |
8000 | 19.2 |
El método de interpolación más simple es la interpolación del vecino más cercano .
En la práctica, la interpolación por polinomios es la más utilizada . Esto se debe principalmente al hecho de que los polinomios son fáciles de calcular, es fácil encontrar analíticamente sus derivadas y el conjunto de polinomios es denso en el espacio de funciones continuas ( teorema de Weierstrass ).
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