Covarianza y contravarianza (matemáticas)

Covarianza y contravarianza - utilizados en matemáticas ( álgebra lineal , geometría diferencial , análisis de tensores ) y en física , conceptos que caracterizan cómo los tensores ( escalares , vectores , operadores , formas bilineales , etc.) cambian al transformar bases en los correspondientes espacios o variedades . Las contravariantes se denominan componentes "ordinarias", que, al cambiar la base del espacio, cambian con la ayuda de una transformación inversa a la transformación de la base. Covariante - aquellos que cambian de la misma manera que la base.

Una conexión entre coordenadas covariantes y contravariantes de un tensor solo es posible en espacios donde se da un tensor métrico (que no debe confundirse con un espacio métrico ).

Los términos covarianza y contravarianza fueron introducidos por Sylvester en 1853 para investigar la teoría algebraica de las invariantes.

Covarianza y contravarianza en espacios vectoriales

Vectores contravariantes y covariantes

Sea un espacio vectorial de dimensión finita , y en él se da alguna base . Un vector arbitrario se puede representar como una combinación lineal de vectores base: . Para simplificar la notación (y por razones que se aclararán más adelante), denotamos las coordenadas con un superíndice y aceptamos la regla de Einstein: si los mismos índices multinivel participan en la expresión, entonces se asume la suma sobre ellos. Así, podemos escribir: . Establezcamos una nueva base usando la matriz de transformación . Por las mismas razones, introducimos subíndices y superíndices (para no escribir signos de suma) - . Entonces (se supone la suma sobre el índice j). Denotando la matriz inversa , podemos escribir: . Sustituyendo esta fórmula en la representación de coordenadas del vector x, obtenemos: . Así, las coordenadas del vector en la nueva base resultan ser iguales , es decir, se transforman “opuestamente” (inversamente) al cambio de base. Por esta razón, dichos vectores se denominan contravariantes , que cambian de forma opuesta a la base. Los vectores contravariantes son vectores ordinarios. Los vectores contravariantes en la representación de coordenadas generalmente se escriben como un "vector de columna". El índice superior, o contravariante , se utiliza para identificar vectores contravariantes. $V$ $e_{i},i=1..n$ $X$ $x=\sum_{{i=1}}^{n}x_{i}e_{i}$ $x=x^{i}e_{i}$ $S$ $S_{i}^{j}$ $e'_{i}=S_{i}^{j}e_{j}$ $T=S^{{-1}}$ $e_{j}=T_{j}^{i}e'_{i}$ $x=x^{j}T_{j}^{i}e'_{i}$ $x'^{i}=T_{j}^{i}x^{j}$

El espacio de todos los funcionales lineales que asignan vectores a números se llama espacio dual . También es un espacio vectorial de la misma dimensión que el espacio base. También es posible definir una base en este espacio. Denotemos los elementos de la base del espacio dual con el superíndice . Cualquier funcional se puede representar en esta base en términos de coordenadas, que se denotarán mediante subíndices. Entonces, aplicando la regla de Einstein, podemos escribir: , es decir, cualquier funcional lineal puede escribirse simplemente como un conjunto de números , como un vector ordinario (excepto por la ubicación del índice inferior). $V^*$ $g^{yo}$ $f=f_{i}g^{i}$ $f_{i}$

Elegimos una base en el espacio dual para que , es decir, estos funcionales encuentren la coordenada th del vector (la proyección sobre el vector base ). Tal base se llama dual (a la base del espacio principal). Al cambiar la base del espacio principal, se debe preservar esta condición, es decir, . Así, la base dual cambia inversamente al cambio en la base principal. Las coordenadas de un funcional lineal arbitrario cambiarán de forma opuesta a su propia base (como en cualquier espacio), es decir, con la ayuda de una matriz . Por lo tanto, cambiarán de la misma manera que la base principal. Esta propiedad se llama covarianza . Los propios funcionales lineales en la representación de coordenadas en la base dual se denominan vectores covariantes o, brevemente, covectores . Externamente, un covector "parece" un vector regular, en el sentido de un conjunto regular de números que representan sus coordenadas. La diferencia entre un covector y un vector contravariante radica en la regla para transformar sus coordenadas al cambiar la base: se transforman como la base, a diferencia de los vectores contravariantes, que se transforman en sentido opuesto a la base. Los covectores en forma de coordenadas se escriben como "vectores de fila". El índice inferior, o covariante , se utiliza para identificar covectores . $g^{i}(x)=x^{i}$ $i$ $e_{yo}$ $g'^{i}(x)=x'^{i}=T_{j}^{i}x^{j}=T_{j}^{i}g^{j}(x)$ $f_{i}$ $T^{{-1}}=S$

Contravarianza y covarianza de tensores

Lo dicho sobre la contravarianza y covarianza de vectores puede generalizarse a objetos con varios índices - tensores , de los cuales casos especiales son los vectores y covectores.

Por analogía con un funcional lineal, considere un funcional que asocia varios ( ) vectores espaciales con un cierto número que tiene la propiedad de linealidad en cada vector. Estas son las llamadas funciones multilineales . Se puede demostrar que todas las funciones -lineales forman un espacio lineal en el que también se puede introducir una base y representar una función -lineal arbitraria en forma de coordenadas. También se puede demostrar que sus coordenadas se transforman como una base espacial (al igual que los vectores covariantes). Por lo tanto, tales funciones multilineales se denominan tensores covariantes de tiempos . Se escriben con subíndices. Por ejemplo, un tensor doblemente covariante se denota como . $k$ $V$ $k$ $k$ $k$ $A_{{ij}}$

De manera similar, se pueden considerar funciones multilineales no en el espacio principal, sino en el espacio dual , cuyo conjunto también forma un espacio lineal , que es dual a . En la representación de coordenadas en la base dual, se transforman de la misma forma que la base del espacio , y por tanto, opuestas a la base del espacio principal . Es decir, tienen la propiedad contravariante y se denominan tensor contravariante por tiempos . Se indican con superíndices. En particular, el tensor doblemente contravariante se escribirá como . $V^*$ $V^{**}$ $V^*$ $V^*$ $V$ $k$ $A^{{ij}}$

Para los espacios habitualmente considerados, el llamado isomorfismo canónico y , es decir, estos espacios pueden considerarse indistinguibles. Por lo tanto, un tensor contravariante de 1 vez puede considerarse equivalente a un vector contravariante ordinario. $V$ $V^{**}$

Generalizando las definiciones anteriores, se pueden considerar funciones multilineales de vectores y covectores simultáneamente. En consecuencia, al cambiar la base, el registro de coordenadas de tal función se transformará con la participación tanto de la matriz de transformación de la base principal (en el número de covectores que participan en la función multilineal) como de su inversa (en el número de vectores de la función multilineal). El tensor correspondiente se llama m veces contravariante y k veces covariante - . Los subíndices se usan para los componentes covariantes y los superíndices para los contravariantes. Por ejemplo, un tensor de 1 vez contravariante y 1 vez covariante se denota por . El número total de índices se denomina rango o valencia del tensor. Los componentes del tensor son los valores de la función multilineal sobre los vectores base. Por ejemplo, . $T_{k}^{m}$ $A_{j}^{yo}$ $k+m$ $A^i_j = A(e^i, e_j)$

La operación de suma sobre los mismos índices tensoriales multinivel se denomina convolución sobre estos índices. Como se mencionó anteriormente, de acuerdo con la regla de Einstein, se salta el signo de suma. Como resultado de la convolución del tensor sobre un par de índices, su rango disminuye en 2. Por ejemplo, el mapeo de algún vector contravariante usando algún operador lineal en notación tensorial se verá como . Los operadores lineales son un ejemplo clásico de un tensor de tipo . $y^i= A^i_j x^j$ $T_{1}^{1}$

Al transformar un tensor de tipo, al cambiar de base, se utiliza m veces la matriz de transformación de base directa y k veces la matriz inversa. Por ejemplo, un tensor de tipo , al cambiar la base, se transforma de la siguiente manera: $T_{k}^{m}$ $A_{j}^{yo}$ $T_{1}^{1}$

$A^{i'}_{j'} = T^q_{j'} S^{i'}_p A^p_q$

En general, es necesario comprender que el objeto en sí no depende de su representación en la base. Todas las transformaciones son representaciones del mismo objeto (tensor).

Tensor métrico

Si se introduce un producto escalar en un espacio lineal , una forma bilineal (o en terminología tensorial, un tensor doblemente covariante ), que tiene las propiedades de simetría y no degeneración, entonces dichos espacios (de dimensión finita) se denominan euclidianos (siempre que que la forma cuadrática correspondiente es definida positiva ) o pseudo-euclidiana (sin limitar la forma cuadrática de signo). El tensor correspondiente a esta forma bilineal se llama tensor métrico . Los componentes de este tensor en la base dada . Si esta base es ortonormal (tal base siempre existe en un (pseudo) espacio euclidiano), entonces la matriz de componentes es diagonal. En la diagonal en el caso de un espacio euclidiano, hay unos (la matriz identidad). En el caso de un espacio pseudo-euclidiano, además de las unidades, también hay "unidades negativas" en la diagonal. En el caso general, sin embargo, las bases pueden no ser ortogonales, por lo que el tensor métrico también se puede representar mediante una matriz fuera de la diagonal (sin embargo, en un espacio "plano" siempre hay una transformación de base que lo lleva a una forma diagonal) . $gramo$ $g(x, x)$ $g_{{ij}}=g(e_{i},e_{j})$

Usando el tensor métrico, el producto escalar se puede escribir como . En espacios con producto interior, existe un isomorfismo canónico del espacio y el espacio dual , es decir, cada vector está asociado a un covector y viceversa. Esta correspondencia se realiza precisamente con la ayuda del producto escalar o, en notación tensorial, con la ayuda del tensor métrico. Es decir, podemos escribir . A esta operación se le llama bajar o bajar el índice . La correspondencia inversa se realiza utilizando el tensor métrico contravariante . A esta operación se le llama levantar o levantar un índice . Es fácil demostrar que las matrices de los tensores métricos covariante y contravariante son mutuamente inversas, es decir, . El producto escalar se puede expresar tanto en vectores contravariantes como covariantes: . $g(x,y)=g_{{ij}}x^{i}y^{j}$ $V$ $V^*$ $x_{i}=g_{{ij}}x^{j}$ $x^{j}=g^{{ij}}x_{i}$ $g_{{ik}}g^{{kj}}=\delta _{i}^{j}$ $g(x,y)=g_{ij}x^iy^j=x_iy^i=x^iy_i=g^{ij}x_iy_j$

En el caso de una base ortonormal en el espacio euclidiano, el tensor métrico es la matriz identidad, por lo que el vector covariante en la notación de coordenadas coincide con el contravariante. Por lo tanto, en este caso, la división de vectores en contravariantes y covariantes no es necesaria. Sin embargo, incluso si la base no es ortogonal y (o) el espacio es pseudo-euclidiano, tal distinción es importante. En un espacio pseudo-euclidiano en una base ortogonal, los covectores difieren en signos de algunas coordenadas de un vector ordinario. El sistema de vectores y covectores en este caso nos permite escribir una fórmula para el cuadrado de la longitud de un vector de forma similar al caso del espacio euclidiano . En el caso de bases no ortogonales (ángulos oblicuos) en espacios euclidianos (pseudoeuclidianos), el tensor métrico que transforma vectores contravariantes en covariantes no es diagonal. En este caso, la longitud del vector se escribe de la misma forma que en el espacio euclidiano utilizando vectores contravariantes y covariantes. Todos estos casos tienen una cosa en común: el tensor métrico (en una base determinada) tiene la misma matriz para todos los puntos (vectores) del espacio. $x_ix^i$

En espacios con un tensor métrico, "vector covariante" y "vector contravariante" son en realidad representaciones diferentes (registros como un conjunto de números) del mismo objeto geométrico: un vector ordinario o covector . Es decir, el mismo vector se puede escribir como covariante (es decir, un conjunto de coordenadas covariantes) y contravariante (es decir, un conjunto de coordenadas contravariantes). Lo mismo puede decirse del covector. La transformación de una representación a otra se realiza simplemente por convolución con un tensor métrico . En términos de contenido, los vectores y covectores se distinguen solo por cuál de las representaciones es natural para ellos. Una representación natural de un vector ordinario es una representación contravariante. Para un vector covariante, es natural convolucionar con vectores ordinarios sin la participación de una métrica. Un ejemplo de un vector covariante es el gradiente de una función escalar . Su convolución con un vector contravariante (ordinario) da un invariante: el diferencial de la función . Por lo tanto, si aceptamos espacios como vectores ordinarios, entonces el gradiente debe ser un covector para que no sea necesario usar el tensor métrico al plegar. Al mismo tiempo, los propios vectores requieren el uso del tensor métrico al colapsar con los mismos vectores . ${\mathbf {grado}}f({\mathbf {x}})={\frac {\parcial f}{\parcial x^{i}}}=\parcial _{i}f$ $dx^{i}$ $df(x)$ $dx^{i}$ $dx^{i}$ $\ (dx)^{2}=g_{{ij}}dx^{i}dx^{j}$

Si hablamos del espacio físico ordinario, una simple muestra de la covarianza-contravarianza de un vector es cómo su representación natural se convoluciona con un conjunto de coordenadas de desplazamiento espacial , que es un ejemplo de vector contravariante. Los que convolucionan por simple suma, sin la participación de una métrica, son vectores covariantes, y los que involucran una métrica son vectores contravariantes. Si el espacio y las coordenadas son tan abstractos que no hay forma de distinguir entre la base principal y la base dual, excepto por una elección condicional arbitraria, entonces la distinción significativa entre vectores covariantes y contravariantes desaparece, o se vuelve también puramente condicional. $\dx^{yo}$ $\dx^{yo}$

A menudo, un vector covariante, especialmente en la literatura física, es la descomposición de cualquier vector (es decir, un vector o un covector, un vector de un espacio tangente o cotangente) en una base dual. Entonces estamos hablando de un conjunto de coordenadas covariantes de cualquier objeto, generalmente, sin embargo, intentan escribir cada tipo de objetos en una base que le es natural, que corresponde a la definición principal.

Generalización a bases curvilíneas y espacios curvos

Las coordenadas del espacio euclidiano (pseudo-euclidiano) también pueden ser curvilíneas. Un ejemplo clásico de coordenadas curvilíneas son las coordenadas polares en el plano euclidiano. En este caso, las bases de coordenadas pueden considerarse lineales solo en vecindades infinitesimales de un punto dado. Por lo tanto, la expresión para la distancia al cuadrado para puntos suficientemente cercanos sigue siendo válida: . En el caso de las coordenadas curvilíneas, el tensor métrico cambia de un punto a otro. Por lo tanto, es un campo tensorial : cada punto en el espacio está asociado con algún tensor métrico. $dx^{i}$ $(dx)^{2}=g_{{ij}}dx^{i}dx^{j}$

Una situación más general tiene lugar en el caso de espacios curvos: variedades riemannianas (pseudo-riemannianas). El espacio curvo se puede visualizar en el caso de una superficie bidimensional: alguna superficie curva suave en un espacio tridimensional (por ejemplo, una superficie esférica). La geometría interna de tal superficie (curva) es la geometría del espacio curvo. En el caso general de un espacio de dimensión curvo , se puede considerar como una hipersuperficie arbitraria (curva) en un espacio de mayor dimensión. Para variedades suaves con una base contable , se prueba el teorema de incrustación de Whitney , según el cual cualquier variedad de dimensión está incrustada en un espacio de dimensión "plano" (es decir, euclidiano no curvo o pseudo-euclidiano) . $norte$ $norte$ $2n$

En un espacio curvo pueden no existir bases de coordenadas ortogonales y, en general, lineales. En el caso general, uno tiene que tratar precisamente con bases curvilíneas. En este caso, el uso de todo el formalismo anterior de vectores covariantes y contravariantes se vuelve no solo de particular importancia, sino inevitable.

Definiciones generales

En el caso de coordenadas curvilíneas o espacios curvos, las nuevas coordenadas son, en general, funciones no lineales de las antiguas coordenadas: . Para cambios infinitesimales en las coordenadas antiguas , los cambios en las nuevas coordenadas se pueden determinar en términos del jacobiano de las funciones indicadas: $x'^{i}=x'^{i}(x^{1},x^{2},...,x^{n})$ $dx^{j}$

$dx'^{i}={\frac {\parcial x'^{i}}{\parcial x^{j}}}dx^{j}$

Cualquier vector que se transforme de la misma manera que , es decir $v$ $dx^{i}$

$v'^{i}={\frac {\parcial x'^{i}}{\parcial x^{j}}}v^{j}$

se llama vector contravariante .

Para alguna función escalar de coordenadas, considere su gradiente . Al pasar a otras coordenadas, tenemos: $f(x)$ ${\frac {\parcial f(x)}{\parcial x^{i))}$

${\frac {\parcial f(x)}{\parcial x'^{i))}={\frac {\parcial f(x)}{\parcial x^{j))}{\frac {\parcial x^{j}}{\parcial x'^{i}}}$

Cualquier vector que se transforma de la misma manera que un degradado, es decir $tu$

$u'_{i}={\frac {\parcial x^{j}}{\parcial x'^{i}}}u_{j}$

se llama vector covariante .

En consecuencia, un tensor una vez contravariante y una vez covariante (tensor de tipo ) es un objeto que se transforma cuando se cambia la base aplicando la transformación “inversa” una vez y la transformación “directa” una vez . $metro$ $k$ $T_{k}^{m}$ $metro$ ${\frac {\parcial x'^{i}}{\parcial x^{j}}}$ $k$ ${\frac {\parcial x^{j}}{\parcial x'^{i}}}$

Por ejemplo, un tensor doblemente contravariante y un tensor doblemente covariante se transforman de acuerdo con las siguientes leyes: $A^{{ij}}$ $A_{{ij}}$

{A'}^{ij}=\frac {\parcial x'^i}{\parcial x^q}\frac {\parcial x'^j}{\parcial x^p}A^{pq}

{A'}_{ij}=\frac {\parcial x^q}{\parcial x'^i}\frac {\parcial x^p}{\parcial x'^j}A_{pq}

Y para un tensor contravariante de 1 vez y covariante de 1 vez, las transformaciones se ven así:

{A'}^j_i=\frac {\parcial x^p}{\parcial x'^i}\frac {\parcial x'^j}{\parcial x^q}A^q_p

Por lo general, para indicar que los componentes del tensor se convierten a una nueva base con un primo, el primo se indica en los índices correspondientes del tensor, y no en su designación de letras, en cuyo caso las fórmulas anteriores se escriben de la siguiente manera

A^{i'j'}=\frac {\parcial x^{i'}}{\parcial x^q}\frac {\parcial x^{j'}}{\parcial x^p}A^{ pq},\qquad A_{i'j'}=\frac {\parcial x^q}{\parcial x^{i'}}\frac {\parcial x^p}{\parcial x^{j'} }A_{pq},\qquad A^{j'}_{i'}=\frac {\parcial x^p}{\parcial x^{i'}}\frac {\parcial x^{j'} }{\parcial x^q}A^q_p

Álgebra y geometría

En la teoría de categorías , los funtores pueden ser covariantes y contravariantes. El espacio dual de un espacio vectorial es un ejemplo estándar de un funtor contravariante. Algunas construcciones de álgebra multilineal son mixtas y no son funtores.

En geometría , el mismo mapeo difiere dentro o fuera del espacio, lo que permite determinar la varianza de la construcción. El vector tangente a una variedad lisa M en un punto P es la clase de equivalencia de las curvas en M que pasan por el punto P dado . Por lo tanto, es contravariante bajo un mapeo suave M. Un vector covariante, o covector , se construye de la misma manera a partir de una aplicación suave de M en el eje real alrededor de P en el paquete cotangente construido en el espacio dual del paquete tangente.

Los componentes covariantes y contravariantes se transforman de diferente manera al transformar bases y, en consecuencia, coordenadas, si tomamos, como se hace habitualmente, bases coordinadas. .

Véase también

Notas

↑ JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne. Gravitación (neopr.) . - WH Freeman & Co, 1973. - ISBN 0-7167-0344-0 .

Literatura

Sternberg, Shlomo (1983), Conferencias sobre geometría diferencial , Nueva York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0316-0 .
Kilchevsky N. A. Elementos del cálculo tensorial y sus aplicaciones a la mecánica, Gostekhizdat 1954