Terna pitagórica

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 1 de abril de 2022; las comprobaciones requieren 10 ediciones .

Una terna pitagórica es un conjunto ordenado de tres números naturales que satisfacen una ecuación cuadrática homogénea que describe el teorema de Pitágoras . Se llaman números pitagóricos . $x,\;y,\;z$ $x^{2}+y^{2}=z^{2}$

Un triángulo con lados que forman una terna pitagórica es un triángulo rectángulo y también se le llama pitagórico .

Triples primitivos

Como la ecuación anterior es homogénea , al multiplicarla por , y por el mismo número natural, se obtendrá otra terna pitagórica. Una terna pitagórica se llama primitiva si no se puede obtener de esta forma a partir de otra terna pitagórica, es decir, si son números primos relativos . En otras palabras, el máximo común divisor de una terna pitagórica primitiva es 1. $X$ $y$ $z$ $(x, y, z)$ $x,\;y,\;z$ $(x, y, z)$

En un triple primitivo , los números y tienen distintas paridades , e incluso es divisible por 4, y siempre es impar. $(x, y, z)$ $X$ $y$ $z$

Cualquier terna pitagórica primitiva , donde es par e impar , se representa de manera única en la forma de algunos números coprimos naturales de diferente paridad. $(x, y, z)$ $X$ $y$ $(m^{2}-n^{2},\;2mn,\;m^{2}+n^{2})$ ${\ estilo de visualización m> n}$

Estos números se pueden calcular usando las fórmulas

{\begin{casos}m={\sqrt {\dfrac {z+x}{2))}={\dfrac ({\sqrt {z+y))+{\sqrt {zy))} {2)),\\n={\sqrt {\dfrac {zx}{2}}}={\dfrac {{\sqrt {z+y}}-{\sqrt {zy}}}{2}} .\end{casos}}

Por el contrario, cualquier par de números define una terna pitagórica primitiva [1] . $(Minnesota)$ $(m^{2}-n^{2},\;2mn,\;m^{2}+n^{2})$

Ejemplos

Hay 16 ternas pitagóricas primitivas con : $z\leqslant 100$

(3, 4, 5)	(5, 12, 13)	(8, 15, 17)	(7, 24, 25)
(20, 21, 29)	(12, 35, 37)	(9, 40, 41)	(28, 45, 53)
(11, 60, 61)	(16, 63, 65)	(33, 56, 65)	(48, 55, 73)
(13, 84, 85)	(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(65, 72, 97)

No todos los triples con son primitivos, por ejemplo, (6, 8, 10) se obtiene multiplicando triples (3, 4, 5) por dos. Cada uno de los triples con una pequeña hipotenusa forma una línea recta radial bien definida a partir de múltiples triples en el diagrama de dispersión. $z\leqslant 100$

Triples primitivos con : $100<z\leqslant 300$

(20, 99, 101)	(60, 91, 109)	(15, 112, 113)	(44, 117, 125)
(88, 105, 137)	(17, 144, 145)	(24, 143, 145)	(51, 140, 149)
(85, 132, 157)	(119, 120, 169)	(52, 165, 173)	(19, 180, 181)
(57, 176, 185)	(104, 153, 185)	(95, 168, 193)	(28, 195, 197)
(84, 187, 205)	(133, 156, 205)	(21, 220, 221)	(140, 171, 221)
(60, 221, 229)	(105, 208, 233)	(120, 209, 241)	(32, 255, 257)
(23, 264, 265)	(96, 247, 265)	(69, 260, 269)	(115, 252, 277)
(160, 231, 281)	(161, 240, 289)	(68, 285, 293)

Los posibles valores en ternas pitagóricas forman una secuencia (secuencia A009003 en OEIS ) $z$

5, 10, 13, 15, 17, 20, 25, 26, 29, 30, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 45, 50, …

Basándose en las propiedades de los números de Fibonacci , es posible formar a partir de estos números, por ejemplo, tales ternas pitagóricas:

x=F_{n}F_{n+3};\quad y=2F_{n+1}F_{n+2};\quad z=F_{n+1}^{2}+F_{ n+2}^{2}.

Historia

El más famoso en las culturas antiguas desarrolladas fue el tres (3, 4, 5), que permitió a los antiguos construir ángulos rectos. Vitruvio consideró este triple el logro más alto de las matemáticas, y Platón , un símbolo del matrimonio, lo que indica la gran importancia que los antiguos le dieron al triple (3, 4, 5).

En la arquitectura de las antiguas lápidas mesopotámicas se encuentra un triángulo isósceles, formado por dos rectangulares de 9, 12 y 15 codos de lado. Las pirámides del faraón Snefru (siglo XXVII aC) se construyeron utilizando triángulos de 20, 21 y 29 lados, así como de 18, 24 y 30 decenas de codos egipcios.

Los matemáticos babilónicos sabían calcular triples pitagóricos. La tablilla de arcilla babilónica , llamada Plimpton 322 , contiene quince trillizos pitagóricos (más precisamente, quince pares de números como ). Se cree que esta tablilla fue creada alrededor del año 1800 a.C. mi. [2] ${\ estilo de visualización a, c}$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Triple generación

La fórmula de Euclides [3] es la principal herramienta para construir ternas pitagóricas. Según él, para cualquier par de números naturales y ( ) enteros $metro$ $norte$ ${\ estilo de visualización m> n}$

{\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\ b=2mn,\ c=m^{2}+n^{2))

formar una terna pitagórica. Los triples formados por la fórmula de Euclides son primitivos si y sólo si ambos son coprimos e impares. Si y , y son impares, entonces , y serán pares y el triple no es primitivo. Sin embargo, dividir , y por 2 da un triple primitivo si y son coprimos [4] . $metro$ $norte$ ${\ estilo de visualización mn}$ $metro$ $norte$ $a$ $b$ $C$ $a$ $b$ $C$ $metro$ $norte$

Cualquier triple primitivo se obtiene a partir de un solo par de números coprimos y , uno de los cuales es par. De ello se deduce que hay infinitas ternas pitagóricas primitivas. $metro$ $norte$

Aunque la fórmula de Euclides genera todos los triples primitivos, no genera todos los triples. Al agregar un parámetro adicional , se obtiene una fórmula que genera todos los triángulos pitagóricos de manera única: $k$

a=k\cdot (m^{2}-n^{2}),\ b=k\cdot (2mn),\ c=k\cdot (m^{2}+n^{2} ),

donde , y son números naturales, , impares y coprimos. $metro$ $norte$ $k$ ${\ estilo de visualización m> n}$ ${\ estilo de visualización mn}$ $metro$ $norte$

Que estas fórmulas forman ternas pitagóricas se puede verificar sustituyendo y comprobando que el resultado es el mismo que . Dado que cualquier terna pitagórica se puede dividir por algunos para obtener una terna primitiva, cualquier terna se puede formar de manera única usando y para crear una terna primitiva, y luego se multiplica por . ${\ estilo de visualización a^{2}+b^{2}}$ $c^{2}$ $k$ $metro$ $norte$ $k$

Desde la época de Euclides, se han encontrado muchas fórmulas para generar trillizos.

Prueba de las fórmulas de Euclides

El hecho de que los números , , , que satisfacen la fórmula de Euclides, siempre formen un triángulo pitagórico es obvio para los números enteros positivos y , , ya que después de sustituir en las fórmulas , y serán números positivos, y también por el hecho de que $a$ $b$ $C$ $metro$ $norte$ ${\ estilo de visualización m> n}$ $a$ $b$ $C$

a^{2}+b^{2}=(m^{2}-n^{2})^{2}+(2mn)^{2}=(m^{2}+n^ {2})^{2}=c^{2}.

La afirmación inversa de que , , se expresan mediante la fórmula de Euclides para cualquier terna pitagórica se sigue de lo siguiente [5] . Todos estos triples se pueden escribir como ( , , ), donde , y , , son coprimos y tienen paridad opuesta (uno de ellos es par, el otro es impar). (Si tiene la misma paridad con ambos lados, entonces si son pares, no serán coprimos, y si son impares , dará un número par, y no puede ser igual a impar ). De obtenemos , y por lo tanto, . entonces _ Como es racional, la representamos como una fracción irreducible . De aquí obtenemos que la fracción es igual a . Resolución de ecuaciones $a$ $b$ $C$ $a$ $b$ $C$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $a$ $b$ $C$ $b$ $C$ $C$ ${\ estilo de visualización a^{2}+b^{2}}$ $c^{2}$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ${\ estilo de visualización c^{2}-a^{2}=b^{2))$ ${\ estilo de visualización (ca) (c + a) = b ^ {2}}$ ${\ estilo de visualización (c+a)/b=b/(ca)}$ ${\ estilo de visualización (c + a) / b}$ $Minnesota$ ${\ estilo de visualización (ca) / b}$ $Nuevo Méjico$

{\frac {c}{b}}+{\frac {a}{b}}={\frac {m}{n}},\ {\frac {c}{b}}-{\ fracción {a}{b}}={\frac {n}{m}}

relativo a y , obtenemos ${\ estilo de visualización c/b}$ $un/b$

{\frac {c}{b}}={\frac {m^{2}+n^{2}}{2mn)),\ {\frac {a}{b}}={\frac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}.

Dado que y son irreducibles por suposición, los numeradores y los denominadores serán iguales si y solo si los lados derechos de cada igualdad son irreducibles. Como acordamos, la fracción también es irreducible, lo que significa que y son coprimos. Los lados derechos serán irreducibles si y solo si y tienen paridad opuesta, de modo que el numerador no es divisible por 2. (A y debe tener paridad opuesta; ambos no pueden ser pares debido a la irreductibilidad, y si ambos números son impares, dividir por 2 dará una fracción, en cuyo numerador y denominador habrá números impares, pero esta fracción es igual , en la que el numerador y el denominador tendrán diferente paridad, lo que contradice la suposición.) Ahora, igualando los numeradores y denominadores, obtenemos la fórmula de Euclides , , con y coprimos y teniendo diferente paridad . ${\ estilo de visualización c/b}$ $un/b$ $Minnesota$ $metro$ $norte$ $metro$ $norte$ $metro$ $norte$ ${\ estilo de visualización (m^{2}+n^{2})/(2 minutos)}$ ${\ estilo de visualización c/b}$ $a=m^{2}-n^{2}$ ${\ estilo de visualización b = 2mn}$ $c=m^{2}+n^{2}$ $metro$ $norte$

En los libros de Maor (Maor, 2007) [6] y Sierpinski [7] se proporciona una prueba más larga pero más generalmente aceptada .

Interpretación de parámetros en la fórmula de Euclides

Sean los lados del triángulo pitagórico , y . Denotemos el ángulo entre el cateto y la hipotenusa como . entonces [8] ${\ Displaystyle m^{2}-n^{2))$ $2mn$ ${\ estilo de visualización m^{2}+n^{2}}$ ${\ Displaystyle m^{2}-n^{2))$ ${\ estilo de visualización m^{2}+n^{2}}$ $\ theta$

\operatorname {tg} \theta ={\frac {2mn}{m^{2}-n^{2}}},

\operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}={\frac {mn}{m+n}}.

Propiedades elementales de las ternas pitagóricas primitivas

Propiedades de una terna pitagórica primitiva ( a , b , c ) , donde a < b < c (sin especificar si a o b es par ):

${\ estilo de visualización (ca) (cb)/2}$ es siempre un cuadrado perfecto [9] . Esto es especialmente útil para comprobar si una determinada terna de números es pitagórica, aunque no es una condición suficiente. La terna (6, 12, 18) pasa esta prueba porque ( c − a )( c − b )/2 es un cuadrado perfecto, pero esta terna no es pitagórica. Si un triple de números a , b y c forma un triple pitagórico, entonces el número ( c menos el cateto par) y la mitad del número ( c menos el cateto impar) son cuadrados perfectos, pero esto no es una condición suficiente, y el triple (1, 8, 9) es contraejemplo, ya que 1 2 + 8 2 ≠ 9 2 .
A lo sumo uno de los números a , b y c es un cuadrado [10] .
El área de un triángulo pitagórico no puede ser un cuadrado [11] ni el doble del cuadrado [12] de un número natural.
Exactamente uno de los números a y b es impar , c siempre es impar [13] .
Exactamente uno de los números a y b es divisible por 3. [14]
Exactamente uno de los números a y b es divisible por 4. [7]
Exactamente uno de los números a , b y c es divisible por 5. [7]
El número máximo que siempre divide el producto abc es 60. [15]
Todos los factores primos c son primos de la forma 4 n + 1 [16] . Entonces c tiene la forma 4 n + 1 .
El número ( b − a ) es un producto de números primos de la forma 8 n ± 1 , es decir, no tiene factores como 2, 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 43, 53 , 59, 61, 67, 83, 101, ...
El área ( K = ab /2 ) es un número par congruente [17] .
En cualquier terna pitagórica, el radio de la circunferencia inscrita y los radios de las tres excircunferencias son números naturales. En particular, para un triple primitivo, el radio de la circunferencia inscrita es r = n ( m − n ) , y los radios de las excircunferencias tangentes a los catetos m 2 − n 2 , 2 mn , y la hipotenusa m 2 + n 2 son respectivamente metro ( metro - norte ) , norte ( metro + norte ) y metro ( metro + norte ) [18] .
Como con cualquier triángulo rectángulo, el inverso del teorema de Tales establece que el diámetro del círculo circunscrito es igual a la hipotenusa. Dado que para los triples primitivos el diámetro es √ m 2 + n 2 , el radio del círculo circunscrito es la mitad de este número, y este número es racional, pero no entero (porque m y n tienen paridades diferentes).
Si se multiplica el área del triángulo pitagórico por las curvaturas de la circunferencia inscrita y las tres excircunferencias, el resultado son cuatro números enteros positivos w > x > y > z , respectivamente. Estos números w , x , y , z satisfacen la ecuación de los círculos cartesianos [19] . De manera equivalente, el radio del círculo exterior de Soddy cualquier triángulo rectángulo es igual a su semiperímetro. El centro exterior de Soddy está ubicado en el punto D , donde ACBD es un rectángulo, ACB es un triángulo rectángulo y AB es su hipotenusa. [veinte]
No hay ternas pitagóricas para las que la hipotenusa y uno de los catetos sean catetos de otra terna pitagórica. Esta es una de las formulaciones del teorema del triángulo rectángulo de Fermat [21] .
Cada triángulo pitagórico primitivo tiene una razón única de área a semiperímetro cuadrado (es decir, las razones para diferentes triángulos primitivos son diferentes), y esta razón es [22] ${\frac {K}{s^{2}}}={\frac {n(mn)}{m(m+n)))=1-{\frac {c}{s}}.$
En ningún triángulo pitagórico primitivo, la altura basada en la hipotenusa se expresa como un número entero y, por lo tanto, no se puede dividir en dos triángulos pitagóricos. [23]

Además, puede haber ternas pitagóricas especiales con algunas propiedades adicionales:

Todo entero mayor que 2 que no sea congruente con 2 módulo 4 (es decir, si es mayor que 2 y no tiene la forma 4 n + 2) forma parte de una terna pitagórica primitiva.
Cualquier número entero mayor que 2 está en un triple pitagórico primitivo o no primitivo. Por ejemplo, los números 6, 10, 14 y 18 no están contenidos en ninguna terna primitiva, sino que están incluidos en las ternas 6, 8, 10; 14, 48, 50 y 18, 80, 82.
Hay infinitas ternas pitagóricas en las que la hipotenusa y el mayor de los catetos difieren exactamente en uno (tales ternas son obviamente primitivas). Una de las formas de obtener dichos triples es la igualdad (2 n + 1) 2 + [2 n ( n + 1)] 2 = [2 n ( n + 1) + 1] 2 , resultando en triples (3, 4 , 5) , (5, 12, 13) , (7, 24, 25) , etc. Una afirmación más general: para cualquier entero impar j , hay infinitas ternas pitagóricas primitivas en las que la hipotenusa y el cateto par difieren en j 2 .
Hay infinitas ternas pitagóricas primitivas en las que la hipotenusa y el cateto más largo difieren exactamente en dos. Generalización: Para cualquier entero k > 0 , hay infinitas ternas pitagóricas primitivas en las que la hipotenusa y el cateto impar difieren en 2 k 2 .
Hay infinitas ternas pitagóricas en las que dos catetos difieren exactamente en uno. Por ejemplo, 20 2 + 21 2 = 29 2 .
Para cualquier número natural n , existen n ternas pitagóricas con diferentes hipotenusas y la misma área.
Para cualquier número natural n , hay al menos n ternas pitagóricas diferentes con el mismo cateto a , donde a es un número natural
Para cualquier número natural n , hay al menos n ternas pitagóricas distintas con la misma hipotenusa. [24]
Hay infinitas ternas pitagóricas cuyos cuadrados son la hipotenusa cy la suma de los catetos a + b . En el triple más pequeño [25] a = 4 565 486 027 761 ; b = 1061652293520 ; c = 4687298610289 . Aquí a + b = 2 372 159 2 y c = 2 165 017 2 . En la fórmula de Euclides, estos valores corresponden a m = 2.150.905 y n = 246.792 .
Hay triángulos pitagóricos con una altura entera basada en la hipotenusa . Tales triángulos se conocen como descomponibles porque pueden descomponerse por esta altura en dos triángulos pitagóricos más pequeños. Ninguno de los triángulos quebrados está formado por una terna primitiva [26] .
El conjunto de todos los triángulos pitagóricos primitivos forma un árbol ternario enraizado de forma natural, véase Árbol de tripletas pitagóricas primitivas .

No se sabe si hay dos ternas pitagóricas diferentes con el mismo producto de sus números [27] .

Geometría de la fórmula de Euclides

Fórmula de Euclides para un triple pitagórico

{\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\ b=2mn,\ c=m^{2}+n^{2))

puede entenderse en términos de la geometría de puntos racionales en el círculo unitario [28] . Sea un triángulo con catetos a y b e hipotenusa c , donde a , b y c son números enteros positivos. Por el teorema de Pitágoras, a 2 + b 2 = c 2 , y después de dividir ambos lados por c 2

\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}=1.

Geométricamente, un punto en un plano cartesiano con coordenadas

x={\frac {a}{c)],\ y={\frac {b}{c))

se encuentra en el círculo unitario x 2 + y 2 = 1 . En esta ecuación, las coordenadas xey están dadas por números racionales. Por el contrario, cualquier punto en el círculo con coordenadas racionales x e y da una terna pitagórica primitiva. De hecho, escribamos x e y como fracciones irreducibles :

x={\frac {a}{c)),\ y={\frac {b}{c)),

donde el máximo común divisor de los números a , b y c es 1. Dado que el punto con coordenadas x e y se encuentra en el círculo unitario, entonces

\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}=1\implica a^ {2}+b^{2}=c^{2},

QED

Así, existe una correspondencia entre puntos con coordenadas racionales en el círculo unitario y triángulos pitagóricos primitivos. A partir de esto, se pueden obtener las fórmulas de Euclides por métodos trigonométricos o por proyección estereográfica .

Para aplicar el enfoque estereográfico, suponga que P′ es un punto en el eje x con coordenadas racionales

P'=\left({\frac {m}{n)),0\right).

Luego, usando cálculos algebraicos, se puede demostrar que el punto P tiene coordenadas

P=\left({\frac {2\left({\frac {m}{n}}\right)}{\left({\frac {m}{n}}\right)^{2 }+1)),{\frac {\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}-1}{\left({\frac {m}{n}}\right) ^{2}+1}}\right)=\left({\frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}},{\frac {m^{2}-n^{2 }}{m^{2}+n^{2}}}\derecha).

Así, obtenemos que cualquier punto racional eje x corresponde a un punto racional del círculo unitario. Por el contrario, sea P ( x , y ) un punto en el círculo unitario con coordenadas racionales x e y . Entonces la proyección estereográfica P′ sobre el eje x tiene coordenadas racionales

\left({\frac {x}{1-y)),0\right).

En términos de geometría algebraica, la variedad algebraica de puntos racionales en el círculo unitario es birracional a la línea afín sobre los números racionales. El círculo unitario se llama entonces una curva racional . La correspondencia entre puntos racionales de una línea y un círculo permite dar una parametrización explícita de puntos (racionales) en un círculo utilizando funciones racionales.

El grupo de las ternas pitagóricas

Cualquier punto racional en el círculo unitario corresponde a una terna pitagórica ( a , b , c ) , más precisamente, una terna pitagórica generalizada, ya que a y b pueden ser cero y negativos.

Sean dados dos triángulos pitagóricos ( a 1 , b 1 , c 1 ) y ( a 2 , b 2 , c 2 ) con ángulos α y β . Puedes construir triángulos con ángulos α ± β usando las fórmulas de suma de ángulos:

{\frac {a}{c}}=\sin(\alpha \pm \beta )=\sin(\alpha )\cdot \cos(\beta )\pm \cos(\alpha )\cdot \ sin(\beta)={\frac {a_{1}b_{2}\pm b_{1}a_{2}}{c_{1}c_{2}}},

{\frac {b}{c}}=\cos(\alpha \pm \beta )=\cos(\alpha )\cdot \cos(\beta )\mp \sin(\alpha )\cdot \ sin(\beta)={\frac {b_{1}b_{2}\mp a_{1}a_{2}}{c_{1}c_{2}}}.

Estos triángulos rectángulos también serán enteros, es decir, pitagóricos. Puede ingresar una operación en triples utilizando las fórmulas anteriores. Esta operación será conmutativa y asociativa, es decir, las ternas pitagóricas generalizadas forman un grupo abeliano [29] .

Triples pitagóricos en una red bidimensional

Una red bidimensional es un conjunto de puntos aislados en los que, si se elige un punto como origen (0, 0), todos los demás puntos tienen coordenadas ( x , y ) , donde x e y pasan por todos los números enteros positivos y negativos. . Cualquier terna pitagórica ( a , b , c ) se puede dibujar en una red bidimensional como puntos con coordenadas ( a , 0) y (0, b ) . Según el teorema de Pick, el número de puntos de red que se encuentran estrictamente dentro del triángulo viene dado por la fórmula [30] . Para las ternas pitagóricas primitivas, el número de puntos de la red es , y esto es comparable al área de un triángulo $[(a-1)(b-1)-\gcd(a,b)+1]/2$ ${\ estilo de visualización (a-1) (b-1)/2}$ $ab/2.$

Es interesante que el primer caso de coincidencia de las áreas de las ternas pitagóricas primitivas aparece en las ternas (20, 21, 29), (12, 35, 37) con un área de 210 [31] . La primera aparición de triples pitagóricos primitivos con el mismo número de puntos de red aparece solo en ( 18 108 , 252 685 , 253 333 ), ( 28 077 , 162 964 , 165 365 ) con el número de puntos 2 287 674 594 [32] . Se encuentran tres ternas pitagóricas primitivas con las mismas áreas (4485, 5852, 7373), (3059, 8580, 9109), (1380, 19 019 , 19 069 ) y área 13 123 110 . Sin embargo, aún no se ha encontrado ni un solo triple de los primitivos pitagóricos con el mismo número de puntos de red.

Spinors y el grupo modular

Las ternas pitagóricas se pueden representar como matrices de la forma

X={\begin{bmatrix}c+b&a\\a&c-b\end{bmatrix}}.

Este tipo de matriz es simétrica . Además, su determinante

{\displaystyle \det X=c^{2}-a^{2}-b^{2))

es cero exactamente cuando ( a , b , c ) es una terna pitagórica. Si X corresponde a una terna pitagórica, entonces debe tener rango 1.

Dado que X es simétrico, se sabe por álgebra lineal que existe un vector ξ = [ m n ] T tal que el producto exterior satisface

X=2{\begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}m&n\end{bmatrix}}=2\xi \xi ^{T},

(una)

donde T representa la transposición . El vector ξ se denomina espinor (para el grupo de Lorentz SO(1, 2). En términos abstractos, la fórmula de Euclides significa que cada terna pitagórica primitiva puede escribirse como el producto exterior de un espinor con elementos enteros, como en la fórmula (1 ).

El grupo modular Γ es el conjunto de matrices 2 × 2 con entradas enteras

A={\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}

y determinante igual a uno: αδ − βγ = 1 . Este conjunto forma un grupo porque la inversa de una matriz de Γ es nuevamente una matriz de Γ , como lo es el producto de dos matrices de Γ . El grupo modular actúa sobre el conjunto de todos los espinores enteros. Además, el grupo es transitivo en el conjunto de espinores enteros con elementos coprimos. Si [ m n ] T contiene elementos coprimos, entonces

{\begin{bmatrix}m&-v\\n&u\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}m\\n\end {bmatriz}},

donde se eligen u y v (usando el algoritmo de Euclides ) de modo que mu + nv = 1 .

Actuando sobre el espinor ξ en (1), la acción en Γ pasa a la acción sobre las ternas pitagóricas, mientras que permite ternas con valores negativos. Si A es una matriz en Γ , entonces

{\displaystyle 2(A\xi )(A\xi )^{T}=AXA^{T))

(2)

da lugar a operaciones sobre la matriz X en (1). Esto no da una acción bien definida sobre los triples primitivos, ya que puede llevar un triple primitivo a uno no primitivo. En este punto es habitual (siguiendo a Trautman [28] ) llamar estándar triple ( a , b , c ) si c > 0 y ( a , b , c ) son coprimos o ( a /2, b /2, c /2) son coprimos y a /2 es impar. Si el espinor [ m n ] T tiene elementos coprimos, entonces la terna asociada ( a , b , c ) dada por la fórmula (1) es una terna estándar. Esto implica que la acción del grupo modular es transitiva sobre el conjunto de triples estándar.

Alternativamente, nos restringimos a aquellos valores de m y n para los cuales m es impar y n es par. Sea el subgrupo Γ (2) del grupo Γ el núcleo del homomorfismo

\Gamma =\mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} )\a \mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} _{2}),

donde SL(2, Z 2 ) es un grupo lineal especial sobre un campo finito Z 2 de enteros módulo 2 . Entonces Γ (2) es un grupo de transformaciones unimodulares que conserva la paridad de cada elemento. Por lo tanto, si el elemento del vector ξ es impar y el segundo elemento es par, entonces lo mismo es cierto para Aξ para todo A ∈ Γ(2) . De hecho, bajo la acción de (2), el grupo Γ (2) actúa transitivamente sobre el conjunto de las ternas pitagóricas primitivas [33] .

El grupo Γ (2) es un grupo libre cuyos generadores son las matrices

U={\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix)),\qquad L={\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix)).

Por tanto, cualquier terna pitagórica primitiva puede obtenerse únicamente como producto de copias de las matrices U y L.

Relaciones padre-hijo

Como mostró Berggren [34] , todas las ternas pitagóricas primitivas se pueden obtener del triángulo (3, 4, 5) usando tres transformaciones lineales T1, T2, T3, donde a , b , c son los lados de la terna:

	nuevo lado a	nuevo lado b	nuevo lado c
T1:	un - 2 segundo + 2 do	2 un - segundo + 2 do	2a − 2b + 3c _
T2:	a + 2 b + 2 c	2 a + b + 2 c	2a + 2b + 3c _
T3:	− un + 2 segundo + 2 c	−2 a + b + 2 c	−2 un + 2 segundo + 3 do

Si comienza con 3, 4, 5, finalmente se obtendrán todos los demás triples primitivos. En otras palabras, cualquier triple primitivo será el "padre" de 3 triples primitivos adicionales. Si comenzamos con a = 3, b = 4 y c = 5, entonces la próxima generación de trillizos será

nuevo lado a	nuevo lado b	nuevo lado c
3 − (2×4) + (2×5) = 5	(2×3) − 4 + (2×5) = 12	(2×3) − (2×4) + (3×5) = 13
3 + (2x4) + (2x5) = 21	(2x3) + 4 + (2x5) = 20	(2x3) + (2x4) + (3x5) = 29
−3 + (2×4) + (2×5) = 15	−(2×3) + 4 + (2×5) = 8	−(2×3) + (2×4) + (3×5) = 17

Las transformaciones lineales T1, T2 y T3 tienen una interpretación geométrica en el lenguaje de las formas cuadráticas. Están estrechamente relacionados (pero no son equivalentes) a las reflexiones generadas por el grupo ortogonal x 2 + y 2 − z 2 sobre números enteros. Otro conjunto de tres transformaciones lineales se analiza en el artículo Generación de ternas pitagóricas utilizando matrices y transformaciones lineales [35] .

Relación con enteros gaussianos

Las fórmulas de Euclides pueden analizarse y demostrarse utilizando enteros gaussianos [36] . Los enteros gaussianos son números complejos de la forma α = u + vi , donde u y v son números enteros regulares e i es la raíz de menos uno . Las unidades de los enteros gaussianos son ±1 y ±i. Los enteros ordinarios se llaman enteros y se denotan por Z . Los enteros gaussianos se denotan por Z [ i ]. El lado derecho del teorema de Pitágoras se puede descomponer en números enteros gaussianos:

c^{2}=a^{2}+b^{2}=(a+bi)\overline {(a+bi)}=(a+bi)(a-bi).

Una terna pitagórica primitiva es una terna en la que a y b son coprimos , es decir, no tienen divisores primos comunes. Para estos tripletes, a o b es par y el otro es impar. Se sigue que c también es impar.

Cada uno de los dos factores z = a + bi y z* = a - bi de una terna pitagórica primitiva es igual al cuadrado de un entero gaussiano. Esto se puede probar utilizando la propiedad de que cualquier número entero gaussiano se puede descomponer de forma única en números primos gaussianos hasta uno [37] . (La unicidad de la expansión, en términos generales, se deriva del hecho de que se puede definir una versión del algoritmo de Euclides para ellos ). La demostración consta de tres pasos. Primero, se demuestra que si a y b no tienen primos en los enteros, entonces no tienen primos comunes en los enteros gaussianos. Esto implica que z y z* no tienen factores primos comunes en los enteros gaussianos. Finalmente, dado que c 2 es un cuadrado, cualquier primo gaussiano en la expansión se repite dos veces. Como z y z* no tienen factores primos en común, esta duplicación también es válida para ellos. Por lo tanto, z y z* son cuadrados.

Por lo tanto, el primer factor se puede escribir como

a+bi=\varepsilon \left(m+ni\right)^{2},\quad \varepsilon \in \{\pm 1,\pm i\}.

Las partes real e imaginaria de esta ecuación dan dos fórmulas:

{\begin{casos}\varepsilon =+1,&\quad a=+\left(m^{2}-n^{2}\right),\quad b=+2mn;\\\varepsilon =-1 ,&\quad a=-\left(m^{2}-n^{2}\right),\quad b=-2mn;\\\varepsilon =+i,&\quad a=-2mn,\quad b=+\left(m^{2}-n^{2}\right);\\\varepsilon =-i,&\quad a=+2mn,\quad b=-\left(m^{2} -n^{2}\right).\end{casos}}

Para cualquier terna pitagórica primitiva, deben existir números enteros m y n tales que se cumplan estas dos igualdades. Por lo tanto, cualquier triple pitagórico se puede obtener eligiendo estos números enteros.

Como el cuadrado completo de los enteros gaussianos

Si tomamos el cuadrado de un entero gaussiano, obtenemos la siguiente interpretación de las fórmulas de Euclides como una representación del cuadrado completo de los enteros gaussianos.

(m+ni)^{2}=(m^{2}-n^{2})+2mni.

Usando el hecho de que los números enteros gaussianos son un dominio euclidiano, y que para los números enteros gaussianos p, el cuadrado del módulo es siempre un cuadrado perfecto, se puede demostrar que las ternas pitagóricas corresponden a los cuadrados de los números primos gaussianos si la hipotenusa es un número primo. número. $|p|^{2}$

Distribución de trillizos

Hay muchos resultados sobre la distribución de las ternas pitagóricas. Hay algunos patrones obvios en el diagrama de dispersión. Si los catetos ( a , b ) de un triple primitivo aparecen en el diagrama, entonces todos los productos por un número entero de estos catetos también deben estar en el diagrama, y esta propiedad explica la aparición de líneas radiales desde el origen en el diagrama.

El diagrama muestra muchas parábolas con una alta densidad de puntos que tienen focos en el origen. Las parábolas se reflejan desde los ejes con un ángulo de 45 grados, y en el mismo punto la tercera parábola se acerca al eje perpendicularmente.

Estos patrones se pueden explicar de la siguiente manera. Si es un número natural, entonces ( a , , ) es una terna pitagórica. (De hecho, cualquier terna pitagórica ( a , b , c ) se puede escribir de esta manera con un número entero n , quizás después de intercambiar a y b , ya que tanto a como b no pueden ser impares al mismo tiempo). Las ternas pitagóricas se encuentran en las curvas dadas por las ecuaciones . Así, las parábolas se reflejan desde el eje a , y las curvas correspondientes con a y b se intercambian. Si a varía para un n dado (es decir, en una parábola elegida), los valores enteros de b aparecen con relativa frecuencia si n es un cuadrado o el producto de un cuadrado y un número pequeño. Si algunos de estos valores se encuentran cerca uno del otro, las parábolas correspondientes casi coinciden y los triples forman una banda parabólica estrecha. Por ejemplo, 38 2 = 1444, 2 × 27 2 = 1458, 3 × 22 2 = 1452, 5 × 17 2 = 1445 y 10 × 12 2 = 1440. La cinta parabólica correspondiente alrededor de n ≈ 1450 es claramente visible en la gráfico de dispersión. $un^{2}/4n$ $|na^{2}/4n|$ ${\ estilo de visualización n+a^{2}/4n}$ ${\ estilo de visualización n = (b + c)/2}$ $b=|na^{2}/4n|$

Las propiedades angulares descritas anteriormente se derivan inmediatamente de la forma funcional de las parábolas. Las parábolas se reflejan desde el eje a en el punto a = 2 n y la derivada de b con respecto a a en este punto es igual a −1. Así, el ángulo de inclinación es de 45°. Dado que los conglomerados, como los triángulos, se repiten cuando se multiplican por una constante entera, el valor 2 n también pertenece al conglomerado. La parábola correspondiente interseca al eje b en ángulo recto en el punto b = 2 n , y por lo tanto es un reflejo simétrico de la parábola que se obtiene intercambiando las variables a y b y que interseca al eje a en ángulo recto en el punto a = 2 n .

Albert Fässler y otros han demostrado la importancia de estas parábolas en el contexto de los mapeos conformes [38] [39] .

Ocasiones especiales

La secuencia de Platón

El caso n = 1 de la construcción general de las ternas pitagóricas se conoce desde hace mucho tiempo. Proclo , en su comentario sobre la declaración 47 en el primer libro de los Principia de Euclides , lo describe de la siguiente manera:

Algunos métodos para obtener tales triángulos de este tipo son fáciles de obtener, uno de ellos pertenece a Platón , el otro a Pitágoras . (El último) comenzó con números impares. Para ello, eligió un número impar como la más pequeña de las patas. Luego lo elevó al cuadrado, restó uno y usó la mitad de esta diferencia como el segundo tramo. Finalmente, le sumó uno a este cateto y obtuvo la hipotenusa.

…El método de Platón funciona con números pares. Utiliza el número par dado como una de las piernas. La mitad de este número se eleva al cuadrado y se suma uno para dar la hipotenusa, y al restar uno se obtiene el segundo cateto. ... Y esto da el mismo triángulo que el otro método.

En forma de ecuaciones:

a es impar (Pitágoras, 540 a. C.): $a:b={\frac {a^{2}-1}{2}}:c={\frac {a^{2}+1}{2}}.$
a es par (Platón, 380 a. C.): $a:b=\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}-1:c=\left({\frac {a}{2}}\right)^{ 2}+1.$

Se puede demostrar que todas las ternas pitagóricas se obtienen de la sucesión platónica ( x , y , z ) = p , ( p 2 − 1)/2 y ( p 2 + 1)/2 si se permite que p tome números no enteros valores (racionales). Si en esta secuencia p es reemplazada por una fracción racional m / n , obtenemos el generador 'estándar' de triples 2 mn , m 2 − n 2 y m 2 + n 2 . De ello se deduce que todo triple corresponde a un valor racional p , que se puede utilizar para obtener un triángulo semejante con lados racionales proporcionales a los lados del triángulo original. Por ejemplo, el equivalente platónico del triple (6, 8, 10) sería (3/2; 2, 5/2).

Ecuación de Jacobi-Madden

La ecuacion

{\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4))

es equivalente al triple diofántico especial

(a^{2}+ab+b^{2})^{2}+(c^{2}+cd+d^{2})^{2}=((a+b)^ {2}+(a+b)(c+d)+(c+d)^{2})^{2}.

Hay un número infinito de soluciones a esta ecuación que se pueden obtener usando una curva elíptica . Dos de estas soluciones:

a,b,c,d=-2634,955,1770,5400,

{\ estilo de visualización a, b, c, d = -31764,7590,27385,48150.}

Sumas iguales de dos cuadrados

Una forma de generar soluciones para es parametrizar a , b , c , d en términos de números naturales m , n , p , q de la siguiente manera: [40] ${\ estilo de visualización a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}}$

(m^{2}+n^{2})(p^{2}+q^{2})=(mp-nq)^{2}+(np+mq)^{2}= (mp+nq)^{2}+(np-mq)^{2}.

Sumas iguales de dos cuartas potencias

Dados dos conjuntos de ternas pitagóricas:

{\ estilo de visualización (a^{2}-b^{2})^{2}+(2ab)^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2},}

{\ estilo de visualización (c^{2}-d^{2})^{2}+(2cd)^{2}=(c^{2}+d^{2})^{2},}

entonces el problema de encontrar productos iguales del cateto y la hipotenusa

{\ estilo de visualización (a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})=(c^{2}-d^{2})(c^{2}+ d^{2}),}

como es fácil de ver, es equivalente a la ecuación

{\ estilo de visualización a^{4}-b^{4}=c^{4}-d^{4},}

para lo cual Euler obtuvo la solución . Como demostró que este punto es un punto racional en una curva elíptica , hay un número infinito de soluciones. De hecho, también encontró una parametrización polinomial de séptimo grado. ${\ estilo de visualización a, b, c, d = 133,59,158,134}$

Teorema del círculo de Descartes

En el caso del teorema de Descartes , cuando todas las variables son cuadrados,

2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d ^{2})^{2}.

Euler demostró que esto es equivalente a tres ternas pitagóricas:

(2ab)^{2}+(2cd)^{2}=(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2},

(2ac)^{2}+(2bd)^{2}=(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2},

(2ad)^{2}+(2bc)^{2}=(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})^{2}.

Aquí también hay un número infinito de soluciones y, para un caso especial, la ecuación se simplifica a ${\ estilo de visualización a + b = c}$

4(a^{2}+ab+b^{2})=d^{2},

que tiene una solución con números pequeños y se puede resolver como una forma cuadrática binaria . $a,b,c,d=3,5,8,14$

Triples pitagóricos casi isósceles

Hay triángulos rectángulos con lados enteros, en los que las longitudes de los catetos difieren en uno, por ejemplo:

{\ estilo de visualización 3^{2}+4^{2}=5^{2},}

{\ estilo de visualización 20 ^ {2} + 21 ^ {2} = 29 ^ {2}}

y una infinidad de otros. Para ellos, podemos derivar una fórmula general

\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{2}=y ^{2},

donde ( x , y ) son soluciones de la ecuación de Pell . ${\ estilo de visualización x^{2}-2y^{2}=-1}$

En el caso de que el cateto y la hipotenusa difieran en uno, como en los casos

{\ estilo de visualización 5^{2}+12^{2}=13^{2},}

{\ estilo de visualización 7 ^ {2} + 24 ^ {2} = 25 ^ {2},}

la solucion general seria

(2m+1)^{2}+(2m^{2}+2m)^{2}=(2m^{2}+2m+1)^{2},

de donde puede verse que todos los números impares (mayores que 1) aparecen en las ternas pitagóricas primitivas.

Generalizaciones

Hay varias opciones para generalizar el concepto de ternas pitagóricas.

Pitágoras cuádruples

Un conjunto de cuatro números naturales a , b , c y d tales que a 2 + b 2 + c 2 = d 2 se llama cuádruple pitagórico . El ejemplo más simple es (1, 2, 2, 3) porque 1 2 + 2 2 + 2 2 = 3 2 . El siguiente ejemplo más simple (primitivo) es (2, 3, 6, 7) porque 2 2 + 3 2 + 6 2 = 7 2 .

Los cuatros están dados por la fórmula

(m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2})^{2}+(2mq+2np)^{2}+(2nq-2mp)^{2}= (m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2})^{2}.

N - conjuntos pitagóricos

Usando una identidad algebraica simple

{\ estilo de visualización (x_{1}^{2}-x_{0})^{2}+(2x_{1})^{2}x_{0}=(x_{1}^{2}+x_{ 0})^{2}}

para x 0 , x 1 arbitrarias , es fácil probar que el cuadrado de la suma de n cuadrados es en sí mismo la suma de n cuadrados, para lo cual ponemos x 0 = x 2 2 + x 3 2 + … + x n 2 y expanda los corchetes [41] . Se puede ver fácilmente que los cuadriláteros y triples pitagóricos son solo casos especiales de x 0 = x 2 2 y x 0 = x 2 2 + x 3 2 respectivamente, que pueden continuarse para otros n usando la fórmula de cinco cuadrados

(a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}+(2ab)^{2}+(2ac)^{2}+( 2ad)^{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}.

Dado que la suma F ( k , m ) de k cuadrados sucesivos, a partir de m 2 , viene dada por la fórmula [42]

F(k,m)=km(k-1+m)+{\frac {k(k-1)(2k-1)}{6)),

uno puede encontrar valores ( k , m ) tales que F ( k , m ) sea un cuadrado. Así, Hirshhorn encontró una fórmula para sucesiones en las que el número de términos es en sí mismo un cuadrado [43] ,

m={\frac {v^{4}-24v^{2}-25}{48)),k=v^{2},\ F(m,k)={\frac {v^ {5}+47v}{48}}

y v ⩾ 5 es cualquier número natural no divisible por 2 o 3. El valor más pequeño es v = 5, de donde k = 25, lo que da el conocido valor del problema de almacenamiento de la bala de cañón de Lucas :

0^{2}+1^{2}+2^{2}+\puntos +24^{2}=70^{2},

hecho que está relacionado con la red de Leach .

Además, si en una n -tupla pitagórica ( n ⩾ 4 ) todos los términos son números naturales consecutivos, excepto el último, se puede usar la igualdad [44]

F(k,m)+p^{2}=(p+1)^{2}.

Como se anula la segunda potencia de p , queda una ecuación lineal que se resuelve fácilmente , aunque hay que elegir k y m para que p sea un número entero, y el ejemplo se obtiene con k = 5 y m = 1: $p=(F(k,m)-1)/2$

{\ estilo de visualización 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+27^{2}=28^{2}.}

Así, obtenemos un método para generar n -tuplas pitagóricas eligiendo x [45] :

x^{2}+(x+1)^{2}+\puntos +(x+q)^{2}+p^{2}=(p+1)^{2},

donde q = n − 2 y

p={\frac {1}{2}}\left((q+1)x^{2}+q(q+1)x+{\frac {q(q+1)(2q+1 )}{6}}-1\derecha).

Último teorema de Fermat

Una generalización del concepto de ternas pitagóricas es la búsqueda de ternas de números naturales a , b y c tales que a n + b n = c n para algún n mayor que 2. Pierre de Fermat en 1637 afirmó que no existen tales ternas , y esta declaración se conoció como el último teorema de Fermat porque tomó mucho más tiempo probar o refutar que cualquiera de las otras hipótesis de Fermat. La primera prueba la dio Wiles en 1994.

n - 1 o n n potencias como la n potencia

Otra generalización es encontrar sucesiones de n + 1 números naturales para las que la n- ésima potencia del último término de la sucesión sea igual a la suma de las n-ésimas potencias de los términos anteriores. Las sucesiones más pequeñas para valores conocidos de n son:

n = 3: {3, 4, 5; 6}.
n = 4: {30, 120, 272, 315; 353}
n = 5: {19, 43, 46, 47, 67; 72}
n = 7: {127, 258, 266, 413, 430, 439, 525; 568}
n = 8: {90, 223, 478, 524, 748, 1088, 1190, 1324; 1409}

En una generalización ligeramente diferente, la suma de ( k + 1) n-ésimas potencias es igual a la suma de ( n − k ) n-ésimas potencias. Por ejemplo:

( norte = 3): 1 3 + 12 3 = 9 3 + 10 3 . Un ejemplo se hizo famoso después del recuerdo de Hardy de una conversación con Ramanujan sobre el número 1729, que es el número más pequeño que se puede representar como la suma de dos cubos de dos maneras diferentes.

También puede haber n − 1 n- ésimas potencias de números naturales sumando la n- ésima potencia de un número natural (aunque, según el último teorema de Fermat , no para n = 3). Estas sucesiones son contraejemplos de la conjetura de Euler . Contraejemplos menos conocidos [46] [47]

n = 4: (95800, 217519, 414560; 422481)
n = 5: (27, 84, 110, 133; 144)

Triples del triángulo de Heron

El triángulo de Heron generalmente se define como un triángulo con lados enteros cuya área también es un número entero, y supondremos que los lados del triángulo son distintos . Las longitudes de los lados de tal triángulo forman un triple heroniano ( a, b, c ), donde a < b < c . Está claro que las ternas pitagóricas son ternas heronianas, ya que en una terna pitagórica al menos uno de los catetos a y b es un número par, por lo que el área del triángulo ab /2 será un número entero. No todo triple de Garza es pitagórico, ya que, por ejemplo, el triple (4, 13, 15) de área 24 no es pitagórico.

Si ( a , b , c ) es un triple de Heron, entonces también lo será ( ma , mb , mc ) para cualquier m natural mayor que uno. Una terna heroniana ( a , b , c ) es primitiva si a , b y c son coprimos por pares (como es el caso de las ternas pitagóricas). A continuación se muestran varias ternas heronianas que no son pitagóricas:

(4, 13, 15) con un área de 24, (3, 25, 26) con área 36, (7, 15, 20) con área 42, (6, 25, 29) con área 60, (11, 13, 20) con área 66, (13, 14, 15) con área 84, (13, 20, 21) con un área de 126.

Por la fórmula de Heron , para que un triple de números naturales ( a , b , c ) con a < b < c sea un triple de Heron, es necesario que

( un 2 + segundo 2 + do 2 ) 2 - 2 ( un 4 + segundo 4 + do 4 )

o, lo que es lo mismo,

2 ( un 2 segundo 2 + un 2 do 2 + segundo 2 do 2 ) - ( un 4 + segundo 4 + do 4 )

era un cuadrado perfecto distinto de cero divisible por 16.

Uso

Los triples pitagóricos primitivos se utilizan en criptografía como secuencias aleatorias y para la generación de claves [48] .

Véase también

Notas

↑ V. Serpinski . Triángulos pitagóricos. - M. : Uchpedgiz, 1959. - 111 p.
↑ Robson, Eleanor (febrero de 2002), Palabras e imágenes: nueva luz sobre Plimpton 322 , American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) . — V. 109(2): 105–120, doi : 10.2307/2695324 , < http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Robson105-120.pdf > Archivado copia fechada el 10 de agosto de 2017 en Wayback Machine
↑ DE Joyce. Elementos de Euclides. - Universidad de Clark, junio de 1997. - C. Libro X, Proposición XXIX .
↑ Douglas W. Mitchell. Una caracterización alternativa de todas las ternas pitagóricas primitivas // The Mathematical Gazette. - Julio 2001. - T. 85 , núm. 503 . — S. 273–5 . — .
↑ Raymond A. Beauregard, E. R. Suryanarayan. Pruebas sin palabras: más ejercicios de pensamiento visual / Roger B. Nelsen. - Asociación Matemática de América , 2000. - Vol. II . - S. 120 . - ISBN 978-0-88385-721-2 .
↑ Eli Mayor. El Teorema de Pitágoras . - Princeton University Press, 2007. - C. Apéndice B.
↑ 1 2 3 Sierpinski, 2003 .
↑ Houston, 1993 , pág. 141.
↑ Posamentier, 2010 , pág. 156.
↑ Inexistencia de una solución en la que tanto a como b sean cuadrados, originalmente probada por Pierre de Fermat . Para otros casos en los que c es uno de los cuadrados, véase el libro de Stillwell.
↑ Carmichael, 1959 , pág. 17
↑ Carmichael, 1959 , pág. 21
↑ Sierpinski, 2003 , pág. 4-6.
↑ Sierpinski, 2003 , pág. 23-25.
↑ MacHale, Bosch, 2012 , pág. 91-96.
↑ Sally, 2007 , pág. 74-75.
↑ Esto se deriva del hecho de que uno de los números a o b es divisible por cuatro, y de la definición de números congruentes como las áreas de triángulos rectángulos con lados racionales
↑ Baragar, 2001 , pág. 301, ejercicio 15.3.
↑ Bernhart, Price, 2005 .
↑ Bernhart, Price, 2005 , pág. 6.
↑ Carmichael, 1959 , pág. catorce.
↑ Rosenberg, Spillane, Wulf, mayo de 2008 , pág. 656-663.
↑ Paul Yiu, 2008 .
↑ Sierpinski, 2003 , pág. 31
↑ Pickover, 2009 , pág. 40
↑ Paul Yiu, 2008 , pág. 17
↑ Weisstein, Eric W. Pythagorean triple en el sitio web de Wolfram MathWorld .
↑ 12Trautman , 1998 .
↑ Eckert, 1984 .
↑ Paul Yiu, 2003 .
↑ Secuencia A093536 en OEIS .
↑ Secuencia A225760 en OEIS .
↑ Alperin, 2005 .
↑ Berggren, 1934 .
↑ Discusión adicional sobre la relación padre-hijo: triple pitagórico (Wolfram) Archivado el 17 de marzo de 2015 en Wayback Machine , Alperin, 2005 .
↑ Stillwell, 2002 , pág. 110–2 Capítulo 6.6 Triples pitagóricos.
↑ Gauss, 1832 Véase también Werke , 2 :67-148.
↑ Preprint de 1988 Archivado el 9 de agosto de 2011 en Wayback Machine Ver figura 2 en la p. 3. Esto se publicó más tarde en ( Fässler 1991 )
↑ Benito, Varona, 2002 , p. 117–126.
↑ Nahín, Paul. Un cuento imaginario: la historia de p. 25-26. ${\ sqrt {-1}),$
↑ Una colección de identidades algebraicas: sumas de n cuadrados . Consultado el 15 de marzo de 2015. Archivado desde el original el 6 de marzo de 2012. (indefinido)
↑ La suma de cubos consecutivos es igual a un cubo (enlace descendente) . Archivado desde el original el 15 de mayo de 2008. (indefinido)
↑ Michael Hirschhorn. ¿Cuándo la suma de cuadrados consecutivos es un cuadrado? // La Gaceta Matemática. - Noviembre 2011. - T. 95 . — S. 511–2 . — ISSN 0025-5572 .
↑ John F. Jr. Goehl. Reflexiones del lector // Profesor de Matemáticas. - Mayo 2005. - T. 98 , núm. 9 _ - S. 580 .
↑ John F. Goehl Jr. Triples, cuartetos, pentadas // Profesor de Matemáticas. - Mayo 2005. - T. 98 . - S. 580 .
↑ Scott Kim. Bogglers // Descubre . - Mayo 2002. - S. 82 .
La ecuación es más complicada, solo en 1988, después de 200 años de intentos fallidos de los matemáticos para demostrar la imposibilidad de resolver la ecuación, Noam Elkis de Harvard encontró un contraejemplo: 2.682.440 4 + 15.365.639 4 + 18.796.760 4 = 20.615.673 4 : ${\ estilo de visualización w^{4}+x^{4}+y^{4}=z^{4))$
Noam Elkies. En A 4 + B 4 + C 4 = D 4 // Matemáticas de Computación. - 1988. - T. 51 . — S. 825–835 .
↑ MacHale, Bosch, 2012 , pág. 91-96.
↑ S. Kak, M. Prabhu. Aplicaciones criptográficas de las ternas pitagóricas primitivas // Cryptologia. - 2014. - T. 38 , núm. 3 . - S. 215-222 .

Literatura

RD Carmichael. La Teoría de los Números y el Análisis Diofántico . - Dover Publ, 1959. - C. Análisis diofántico.
Waclaw Sierpinski. Triángulos pitagóricos. - Dover, 2003. - ISBN 978-0-486-43278-6 .
Juan Stillwell. números y geometría. - Springer, 1998. - Pág. 133. - (Textos de Licenciatura en Matemáticas). — ISBN 9780387982892 .
Thomas Koshy. Teoría elemental de números con aplicaciones. - Prensa Académica, 2002. - Pág. 545. - ISBN 9780124211711 .
David Houston. Pruebas sin palabras: ejercicios de pensamiento visual / Roger B. Nelsen. - Asociación Matemática de América, 1993. - Pág. 141. - ISBN 978-0-88385-700-7 .
Alfred S. Posamentier. El teorema de Pitágoras: la historia de su poder y belleza . - Libros Prometeo, 2010. - ISBN 9781616141813 .
Des Mac Hale, Christian van den Bosch. Generalizando un resultado sobre ternas pitagóricas // Gaceta Matemática . - 2012. - T. 96 .
Judith D. Sally. Raíces de la Investigación: Un Desarrollo Vertical de Problemas Matemáticos. - Sociedad Matemática Americana, 2007. - ISBN 9780821872673 . .
Neal Koblitz. Introducción a las Curvas Elípticas y Formas Modulares. - Springer, 1993. - V. 97. - (Textos de Grado en Matemáticas). — ISBN 9780387979663 .
Arturo Baragar. Una encuesta de geometrías clásicas y modernas: con actividades informáticas . - Prentice Hall, 2001. - ISBN 9780130143181 .
Paul Yuu. Triángulos de garza que no se pueden descomponer en dos triángulos rectángulos enteros. - 41ª Reunión de la Sección Florida de la Asociación Matemática de América, 2008.
Clifford A. Pickover. El libro de matemáticas. - Sterling, 2009. - P. Capítulo "Teorema de Pitágoras y Triángulos". — ISBN 1402757964 .
Juan Stillwell. Elementos de Teoría de Números. - Springer, 2002. - ISBN 978-0-387-95587-2 .
Triples pitagóricos y el círculo unitario Archivado el 15 de diciembre de 2011 en Wayback Machine , cap. 2-3, en " Una introducción amistosa a la teoría de números archivada el 6 de marzo de 2015 en Wayback Machine " por Joseph H. Silverman, 3.ª ed., 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, ISBN 0-13-186137 -9
Dmitri Viktorovich Anosov . Una mirada a las matemáticas y algo de ellas . - 2ª ed. - M .: MTSNMO , 2003. - T. 3. - 32 p. - (Biblioteca "Educación Matemática"). — 3000+1500 copias. — ISBN 5-94057-111-5 . Archivadoel 12 de enero de 2014 enWayback Machine

Enlaces

Paul Yuu. Matemáticas recreativas // Notas del curso, Dpto. de Ciencias Matemáticas, Florida Atlantic University. — 2003.
Frank R. Bernhart, H. Lee Price. Fórmula de Heron, círculos de Descartes y triángulos de Pitágoras. — 2005. arXiv
Steven Rosenberg, Michael Spillane, Daniel B. Wulf. Triángulos de Heron y espacios de módulos // Profesor de Matemáticas. - Mayo 2008. - T. 101 .
Gauss C. F. Theoria residuorum biquadraticorum // Com. soc. registro ciencia tengo Rec.. - 1832. - T. 4 .
Alberto Fassler. Múltiples triples de números pitagóricos // American Mathematical Monthly. - 1991. - T. 98 , núm. 6 _ — .
Manuel Benito, Juan L. Varona. Triángulos pitagóricos con catetos menores que n . - 2002. - T. 143 . - doi : 10.1016/S0377-0427(01)00496-4 .
Roger C. Alperin. El árbol modular de Pitágoras // American Mathematical Monthly. - Asociación Matemática de América, 2005. - V. 112 , no. 9 _ — S. 807–816 . — .
B. Berggren. Pytagoreiska trianglar (sueco) // Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi. - 1934. - T. 17 . — S. 129–139 .
Ernest Eckert. Triples pitagóricos primitivos // The College Mathematics Journal. - Asociación Matemática de América, 1992. - V. 23 , no. 5 . — S. 413–417 . — .
Ernest J. Eckert, Preben Dahl Vesrergaard. Grupos de triángulos enteros // The Fibonacci Quarterly. - 1989. - T. 27 , núm. 5 . - S. 458-464 .
Ernest J. Eckert. El Grupo de Triángulos Pitagóricos Primitivos // Revista Matemáticas. - 1984. - T. 57 .
Noam Elkies. Triples de Pitágoras y teorema de Hilbert 90.
Artema Martín. Triángulos rectos racionales casi isósceles // The Analyst . - Annals of Mathematics, 1875. - Vol. 3 , no. 2 . — S. 47–50 . -doi : 10.2307/ 2635906 . — .
Andrzej Trautman. Universo geométrico / S. A. Hugget, L. J. Mason, K. P. Tod, S. T. Tsou, N. M. J. Woodhouse. — 1998.
Weisstein, Eric W. Pythagorean Triple (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
Un ejemplo de un programa de Python para construir triples pitagóricos