Singonía

Syngony (del griego σύν “según, junto, junto a” + γωνία “ángulo”; lit. “similitud”) es una clasificación de grupos de simetría cristalográfica , cristales y redes cristalinas según el sistema de coordenadas ( marco de coordenadas ); los grupos de simetría con un solo sistema de coordenadas se combinan en una singonía. Los cristales que pertenecen a la misma singonía tienen esquinas y bordes similares de celdas unitarias .

Un sistema cristalino es una clasificación de cristales y grupos cristalográficos basada en un conjunto de elementos de simetría que describen un cristal y pertenecen a un grupo cristalográfico.

Sistema de celosía : clasificación de las redes cristalinas según su simetría .

Existe una confusión en la literatura de los tres conceptos: singonía [1] , sistema cristalino [2] y sistema de celosía [3] , que a menudo se usan como sinónimos .

En la literatura en idioma ruso, el término "sistema de celosía" aún no se usa. Habitualmente los autores confunden este concepto con un sistema cristalino. En el libro "Fundamentals of Crystallography" [4] , los autores utilizan el término "Lattice syngony" (" Según la simetría de los nodos, las redes espaciales se pueden dividir en siete categorías llamadas singonías de celosía "). Los mismos autores denominan sistemas de singonías (“ La clasificación más establecida de los grupos es su división en seis sistemas basados en la simetría de los complejos de caras ”).

Singonía

Históricamente, la primera clasificación de los cristales fue la división en singonías, según el sistema de coordenadas cristalográficas. Se eligieron como ejes de coordenadas los ejes de simetría del cristal y, en su defecto, las aristas del cristal. A la luz del conocimiento moderno sobre la estructura de los cristales, tales direcciones corresponden a las traslaciones de la red cristalina , y las traslaciones de la celda de Bravais en la configuración estándar se eligen como sistema de coordenadas . Dependiendo de la relación entre las longitudes de estas traslaciones y los ángulos entre ellas , se distinguen seis singonías diferentes , que se dividen en tres categorías según el número de traslaciones de igual longitud [5] : $\alfa,\beta,\gamma$

Categoría más baja (todas las transmisiones no son iguales entre sí)
- Triclínico : , $a\neq b\neq c$ $\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq 90^{\circ }$
- Monoclínico : , $a\neq b\neq c$ $\alpha =\gamma =90^{\circ },\beta \neq 90^{\circ }$
- Rómbico : , $a\neq b\neq c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ ))$

Categoría media (dos emisiones de cada tres son iguales)
- Tetragonal : , $a=b\neq c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ ))$
- Hexagonal : , $a=b\neq c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =90^{\circ },\gamma =120^{\circ ))$

Máxima categoría (todas las retransmisiones son iguales)
- cúbico : , ${\ estilo de visualización a = b = c}$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ ))$

Sistema de Cristal

La división en sistemas cristalinos se realiza en función del conjunto de elementos de simetría que describen el cristal . Tal división conduce a siete sistemas cristalinos, dos de los cuales, trigonal (con un eje de tercer orden) y hexagonal (con un eje de sexto orden), tienen la misma forma de celda unitaria y, por lo tanto, pertenecen a uno, hexagonal, singonía A veces se dice que la singonía hexagonal se subdivide en dos subsigonias [6] o hiposigonias. [7]

Los sistemas de cristal también se dividen en tres categorías, según el número de ejes de orden superior (ejes por encima del segundo orden).

Posibles sistemas cristalinos en el espacio tridimensional con elementos de simetría que los definen, es decir, elementos de simetría, cuya presencia es necesaria para atribuir un cristal o grupo puntual a un sistema cristalino específico:

Categoría inferior (sin ejes de orden superior)
- Triclínico : sin simetría o solo centro de inversión $\sobrelínea {1}$
- Monoclínico : un eje de orden th y/o plano de simetría $2$ $metro$
- Rómbico : tres ejes mutuamente perpendiculares del orden th y / o un plano de simetría (la dirección del plano de simetría se considera perpendicular a él) $2$ $metro$
Categoría media (un eje de orden superior)
- Tetragonal : un eje del -ésimo orden o $cuatro$ $\sobrelínea {4}$
- Trigonal : un eje de orden th $3$
- Hexagonal : un eje del -ésimo orden o $6$ $\sobrelínea {6}$
Categoría más alta (múltiples ejes de orden superior)
- Cúbico : cuatro ejes del -ésimo orden $3$

El sistema cristalino de un grupo espacial está determinado por el sistema de su correspondiente grupo puntual. Por ejemplo, los grupos Pbca, Cmcm, Immm, Fddd ( clase mmm) pertenecen al sistema rómbico.

La definición moderna de un sistema cristalino (aplicable no solo a grupos tridimensionales ordinarios, sino también a espacios de cualquier dimensión) se refiere a grupos puntuales (y grupos espaciales derivados de ellos) a un sistema cristalino si estos grupos se pueden combinar con el mismo Tipos de celosías de Bravais. Por ejemplo, los grupos mm2 y 222 pertenecen ambos al sistema rómbico, ya que para cada uno de ellos existen grupos espaciales con todo tipo de redes rómbicas (Pmm2, Cmm2, Imm2, Fmm2 y P222, C222, I222, F222), mientras que los grupos 32 y 6 no pertenecen al mismo sistema cristalino, ya que para el grupo 32 se permiten celdas hexagonales primitivas y bicentradas (grupos P321 y R32), y el grupo 6 se combina solo con una celda hexagonal primitiva (hay un grupo P 6 , pero no hay R 6 ).

Sistema de celosía

Describe los tipos de redes cristalinas. En resumen: las redes son del mismo tipo si sus grupos de simetría puntual (al considerar las redes como objetos geométricos) son iguales. Estos grupos de puntos que describen la simetría de la red se denominan holoedros . [ocho]

En total, hay siete sistemas de redes que, de manera similar a las clasificaciones anteriores (singonia y sistema cristalino), se dividen en tres categorías.

Categoría más baja (todas las transmisiones no son iguales entre sí)
- Triclínico : , $a\neq b\neq c$ $\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq 90^{\circ }$
- Monoclínico : , $a\neq b\neq c$ $\alpha =\gamma =90^{\circ },\beta \neq 90^{\circ }$
- Rómbico : , $a\neq b\neq c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ ))$

Categoría media
- Tetragonal : , $a=b\neq c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ ))$
- Hexagonal : , $a=b\neq c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =90^{\circ },\gamma =120^{\circ ))$
- Romboédrico : , $a=b=c$ $\alpha =\beta =\gamma <120^{\circ }\neq 90^{\circ }$

Máxima categoría (todas las retransmisiones son iguales)
- cúbico : , ${\ estilo de visualización a = b = c}$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ ))$

El sistema de celosía romboédrica no debe confundirse con el sistema cristalino trigonal. Los cristales del sistema reticular romboédrico siempre pertenecen al sistema cristalino trigonal, pero los cristales trigonales pueden pertenecer tanto a sistemas reticulares romboédricos como hexagonales. Por ejemplo, los grupos R 3 y P321 (ambos del sistema cristalino trigonal) pertenecen a diferentes sistemas reticulares (romboédrico y hexagonal, respectivamente).

Definición general aplicable a espacios de cualquier dimensión - Las celosías son del mismo tipo si se combinan con los mismos grupos de puntos. Por ejemplo, todas las redes rómbicas (rómbica P, rómbica C, rómbica I y rómbica F) son del mismo tipo, ya que se combinan con los grupos puntuales 222, mm2 y mmm para formar grupos espaciales P222, Pmm2, Pmmm; C222, Cmm2, Cmmm; I222, mm2, mmm; F222, Fmm2, Fmmm. A su vez, las celdas del sistema hexagonal (primitivo P y R bicentrado) corresponden a diferentes sistemas reticulares: ambos se combinan con los grupos puntuales del sistema cristalino trigonal, pero solo la celda primitiva se combina con los grupos del sistema hexagonal (hay grupos P6, P 6 , P6/m, P622, P6mm, P 6 m2, P6/mmm, pero no hay grupos R6, R 6 , R6/m, R622, R6mm, R 6 m2, R6 /mmm).

La conexión entre syngony, crystal system y lattice system en el espacio tridimensional se da en la siguiente tabla:

Singonía	sistema de cristal	Grupos de puntos	Número de grupos espaciales	celosía valiente [9]	Sistema de celosía	Holoedria
triclínica		1, 1	2	AP	triclínica	una
monoclínico		2, m, 2/m	13	mP, mS	monoclínico	2/m
Rómbico		222, mm2, mmm	59	oP, oS, oI, de	Rómbico	mmm
tetragonal		4, 4 , 422, 4 mm, 42 m , 4/m, 4/mmm	68	tP, tI	tetragonal	4/mmm
Hexagonal	trigonal	3, 3 , 32, 3m , 3m	7	hora	romboédrico	3 metros
	trigonal	3, 3 , 32, 3m , 3m	Dieciocho	caballos de fuerza	Hexagonal	6/mmm
	Hexagonal	6, 6 , 622, 6mm, 6m2 , 6/m, 6/mmm	27	caballos de fuerza	Hexagonal	6/mmm
cúbico		23, m 3 , 4 3 m, 432, m 3 m	36	cP, CI, CF	cúbico	metro 3 metro
totales: 6	7	32	230	catorce	7

Una descripción general de los grupos de puntos

sistema de cristal	grupo de puntos / clase de simetría	símbolo de moscas schön	símbolo internacional	símbolo de Shubnikov	Tipo de
triclínica	monoédrico	C1 _	$una\$	$una\$	enantiomórfico polar
triclínica	pinacoidal	yo _	${\ barra {1}}$	${\ tilde {2}}$	centrosimétrico
monoclínico	diédrico axial	C2 _	$2\$	$2\$	enantiomórfico polar
	diédrico sin eje (domático)	cs_ _	$metro\$	$metro\$	polar
	prismático	C 2h	$2/m\$	$2:m\$	centrosimétrico
Rómbico	rombo-tetraédrico	D2 _	$222\$	$2:2\$	enantiomórfico
	rombo- piramidal	C 2v	$mm2\$	$2\cpunto m\$	polar
	rombo-bipiramidal	D2h _	$mmm\$	$m\cdot 2:m\$	centrosimétrico
tetragonal	tetragonal-piramidal	C4 _	$cuatro\$	$cuatro\$	enantiomórfico polar
	tetragonal-tetraédrico	S4 _	${\ barra {4}}$	${\ tilde {4}}$
	bipiramidal tetragonal	C4h _	$4/m\$	$4:m\$	centrosimétrico
	tetragonal-trapezoédrico	D4 _	$422\$	$4:2\$	enantiomórfico
	ditragonal-piramidal	C4v _	$4mm\$	$4\cpunto m\$	polar
	tetragonal-escalenoédrico	D2d _	${\barra{4}}2m\$ o ${\bar {4}}m2$	${\tilde {4}}\cpunto m$
	ditragonal-bipiramidal	D4h _	$4/mmm\$	$m\cpunto 4:m\$	centrosimétrico
trigonal	trigonal-piramidal	C3 _	$3$	$3\$	enantiomórfico polar
	romboédrico	S 6 (C 3i )	${\ barra {3}}$	${\ tilde {6}}$	centrosimétrico
	trigonal-trapezoédrico	D3 _	$32\$ o o $321\$ $312\$	$3:2\$	enantiomórfico
	ditrigonal-piramidal	C 3v	$3m\$ o o $3m1\$ $31m\$	$3\cpunto m\$	polar
	ditrigonal-escalenoédrico	D3d _	${\bar {3}}m\$ o o ${\bar {3}}m1$ ${\bar {3}}1m$	${\tilde {6}}\cpunto m$	centrosimétrico
Hexagonal	hexagonal-piramidal	C6 _	$6\$	$6\$	enantiomórfico polar
	bipiramidal trigonal	C 3h	${\ barra {6}}$	$3:m\$
	bipiramidal hexagonal	C6h _	$6/m\$	$6:m\$	centrosimétrico
	hexagonal-trapezoédrico	D6 _	$622\$	$6:2\$	enantiomórfico
	dihexagonal-piramidal	C6v _	$6mm\$	$6\cpunto m\$	polar
	ditrigonal-bipiramidal	D3h _	${\bar {6}}m2$ o ${\bar {6}}2m$	$m\cpunto 3:m\$
	dihexagonal-bipiramidal	D6h _	$6/mmm\$	$m\cdot 6:m\$	centrosimétrico
cúbico	tritetraédrico	T	$23\$	$3/2\$	enantiomórfico
	didodecaédrico	jue _	$m{\bar {3}}\$	${\ tilde {6}}/2$	centrosimétrico
	hexatetraédrico	Td _	${\bar {4}}3m$	$3/{\ tilde {4}}$
	trioctaédrico	O	$432\$	$3/4\$	enantiomórfico
	hexoctaédrico	oh _	$m{\bar {3}}m$	${\ tilde {6}}/4$	centrosimétrico

Clasificación de celosía

Singonía	Tipo de centrado de celda valiente
Singonía	primitivo	centrado en la base	centrado en el cuerpo	cara centrada	doblemente centrado en el cuerpo
Triclínico ( paralelepípedo )
Monoclínico ( prisma con un paralelogramo en la base)
Rómbico ( paralelepípedo rectangular )
Tetragonal ( paralelepípedo rectangular con un cuadrado en la base)
Hexagonal ( prisma con base de un hexágono regular centrado)
Trigonal ( paralelepípedo equilátero - romboedro )
cúbico ( cubo )

Historia

La primera clasificación geométrica de los cristales fue dada de forma independiente por Christian Weiss y Friedrich Moos a principios del siglo XIX. Ambos científicos clasificaron los cristales según la simetría de su forma exterior (corte). En este caso, Weiss introduce el concepto de eje cristalográfico (eje de simetría). Según Weiss, "El eje es una línea que domina toda la figura del cristal, ya que todas las partes a su alrededor están ubicadas de manera similar y en relación con él se corresponden mutuamente" [13] . En su obra “Una representación visual de las divisiones naturales de los sistemas de cristalización”, Weiss clasificó los cristales por la presencia de ejes en cuatro grandes secciones de formas cristalinas, “sistemas de cristalización”, correspondientes al concepto moderno de singonía [14] . Los nombres modernos se dan entre paréntesis.

Sección 1 - sistema "correcto", "esferoédrico", "equiaxial", "equinomial" (cúbico): tres dimensiones son iguales, formando ángulos rectos entre sí.
- subsección sistema homoesferoédrico (m 3 m simetría cristales )
- subsección sistema hemisferoédrico (cristales de simetría 432, 43m y m 3 )
Sección 2 - Sistema de "cuatro miembros" (tetragonal): los ejes forman ángulos rectos entre sí, dos ejes son iguales entre sí y no iguales al tercero.
Sección 3 - Sistema de "dos términos": los tres ejes son desiguales y forman ángulos rectos entre ellos.
- subsección sistema de "dos y dos términos" (rómbico)
- subsección sistema de "dos y un término" (monoclínico)
- subsección sistema de "uno y un solo miembro" (triclinic)
4 sección: un eje desigual es perpendicular a tres ejes iguales, formando ángulos de 120 ° entre ellos.
- subsección sistema "de seis miembros" (hexagonal):
- subsección sistema "de tres y tres miembros" o "romboédrico" (trigonal):

Para las singonías monoclínicas y triclínicas, Weiss utilizó un sistema de coordenadas rectangulares (los sistemas de coordenadas cristalográficas modernos para estas singonías son oblicuos).

Casi al mismo tiempo, Friedrich Moos desarrolló el concepto de sistemas cristalinos [15] . Cada sistema se caracteriza por la "forma básica" más simple de caras, de la que se pueden derivar todas las demás formas de este sistema. Así Mohs obtuvo los siguientes cuatro sistemas:

1. Sistema romboédrico (singonía hexagonal). La forma principal es un romboedro.
2. Sistema piramidal (singonía tetragonal). La forma principal es una bipirámide tetragonal.
3. Sistema tesular (singonía cúbica). Las formas principales son el cubo y el octaedro.
4. Sistema prismático (singonía rómbica). La forma principal es una bipirámide rómbica.
- Subsistema hemiprismático (singonía monoclínica)
- Subsistema tetartoprismático (sintonia triclínica)

En ambas clasificaciones, Weiss y Moos identifican solo cuatro sistemas, aunque se enumeran las seis singonías, consideran solo las singonías monoclínicas y triclínicas como subsistemas del sistema rómbico. Según su propia declaración, Moos desarrolló este concepto en 1812-14, que fue objeto de una disputa con Weiss sobre la prioridad del descubrimiento de sistemas cristalinos. A diferencia de Weiss, Moos señaló la necesidad de un sistema de eje oblicuo para cristales monoclínicos y triclínicos.

Los sistemas de ángulo oblicuo fueron finalmente desarrollados e introducidos en la cristalografía por su alumno Carl Friedrich Naumann . Naumann basó su clasificación en los ejes cristalográficos y los ángulos entre ellos, distinguiendo así por primera vez las seis singonías [16] [17] . Curiosamente, ya en 1830, Naumann utiliza los nombres de singonías que son idénticas o cercanas a las modernas (los nombres tetragonal , hexagonal y rómbico fueron propuestos originalmente por Breithaupt).

1. Tesseral (de tessera - cubo): los tres ángulos entre los ejes de coordenadas son rectos, los tres ejes son iguales.
2. Tetragonal: los tres ángulos son rectos, los dos ejes son iguales.
3. Hexagonal: el único sistema de cuatro ejes: un eje desigual es perpendicular a tres ejes iguales, formando ángulos de 60 ° entre ellos.
4. Rómbico: los tres ángulos son rectos, todos los ejes son desiguales.
5. Monoclinoédrico: dos ángulos rectos y uno oblicuo.
6. Diclinoédrico: dos ángulos oblicuos y una línea recta.
7. Triclinoédrico: los tres ángulos son oblicuos.

Dado que en ese momento la teoría de la simetría solo se estaba desarrollando, apareció un sistema diclinoédrico (diclínico) inusual en la lista de sistemas. Tal sistema cristalino es en principio imposible en el espacio tridimensional, ya que la presencia de un eje de simetría siempre garantiza la presencia de traslaciones perpendiculares al eje, que se eligen como ejes de coordenadas. El sistema diclínico existió en cristalografía durante aproximadamente medio siglo (aunque ya en 1856 Dufrenois demostró que éste era sólo un caso especial del sistema triclínico). En 1880, Dana , en su famoso libro "The System of Mineralogy" [18] , menciona el "llamado sistema diclínico", pero al mismo tiempo señala que no se conoce ni un solo cristal natural o artificial perteneciente a este sistema, y que, además, se ha probado matemáticamente que sólo existen seis sistemas cristalinos. El mismo Naumann creyó en la singonía diclínica hasta el final de su vida, y en la novena edición de Fundamentals of Mineralogy [19] , publicada póstumamente en 1874, esta singonía todavía está en la lista, aunque Naumann señala que este sistema se encuentra solo en algunas sales artificiales, y no lo considera más.

Nombres de singonías cristalográficas entre los autores del siglo XIX

Autor	cúbico	tetragonal	Hexagonal	Rómbico	monoclínico	triclínica
Weiss	Correcto, esférico, esférico, esferonómico, equiaxial, equinoccio	Cuatro miembros, dos y un eje	De seis miembros, de tres y un eje	Dos y dos miembros, uno y un eje	Dos y un solo miembro	Uno y un término
mugidos	Tesular, Teselar	Piramidal	romboédrico	Prismático, Ortotípico	hemiprismático, hemiortotípico	Tetartoprismático, Anortotipo
Breithaupt		tetragonal	Hexagonal	Rómbico	hemirómbico	tetrarrómbico
Nauman	tesero	tetragonal	Hexagonal	Rómbico, Anisométrico	monoclinoédrico, clinorrómbico	Triclinoédrico, Triclinométrico
Gausman	isométrica	monodimétrico	Monotrimétrico	trimétrica, ortorrómbica	clinorrómbico, ortorromboidal	clinoromboides
molinero 1839	Octaédrico	Piramidal	romboédrico	Prismático	prismático oblicuo	Doble-oblicua-prismática
gadolín	correcto	Cuadrado	Hexagonal	Rómbico	monoclinoédrico	triclinoédrico
Otros autores	Tetraédrico (Bedan), Cúbico (Duprenois)	dimétrico		Binario (Quenstedt)	Monoclinométrica (Frankenheim), Augita (Haidinger)	Triclínico (Frankenheim), Anórtico (Haidinger)

Por primera vez, la división en siete sistemas cristalográficos se da en 1850 en la obra de Auguste Bravais "Memorias sobre los sistemas de puntos regularmente distribuidos en un plano o en el espacio" [20] . De hecho, esta es la primera división basada en elementos de simetría, y no en sistemas de coordenadas. Por tanto, todas las clasificaciones anteriores corresponden a la definición actual de singonía, mientras que la clasificación de Bravais es una clasificación según sistemas cristalinos (en sentido estricto, sistemas reticulares).

Bravais divide las redes según su simetría en 7 sistemas (clases de conjunto).

1. Tri-cuádruple (sistema cúbico)
2. Engranaje (sistema hexagonal)
3. Cuádruple (sistema tetragonal)
4. Triple (sistema romboédrico)
5. Tri-doble (sistema rómbico)
6. Doble (sistema monoclínico)
7. Asimétrico (sistema triclínico)

Al mismo tiempo, el propio Bravais señala que incluso Hayuy dividió las redes del sistema hexagonal (según la clasificación de Naumann) "en cristales generados por un prisma hexagonal regular y cristales generados por un núcleo romboédrico".

Clasificación de grupos en espacios multidimensionales

En la segunda mitad del siglo XX se estudiaron y clasificaron grupos cristalográficos en espacios de cuatro, cinco y seis dimensiones. A medida que aumenta la dimensión, el número de grupos y clases aumenta significativamente [21] . El número de pares enantiomórficos se da entre paréntesis.

Dimensión del espacio:	una	2	3	cuatro	5	6
Número de singonías	una	cuatro	6	23 (+6)	32	91
Número de sistemas de red	una	cuatro	7	33 (+7)	57	220
Número de sistemas de cristal	una	cuatro	7	33 (+7)	59	251
Número de rejillas de Bravais	una	5	catorce	64 (+10)	189	841
Número de grupos de puntos	2	diez	32	227 (+44)	955	7103
Número de grupos espaciales	2	17	219 (+11)	4783 (+111)	222018 (+79)	28927915 (+?) [22]

En el espacio de cuatro dimensiones, una celda unitaria se define por cuatro lados ( ) y seis ángulos entre ellos ( ). Las siguientes relaciones entre ellos definen 23 singonías: $a B C D$ $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon ,\zeta$

Hexaclina: $a\neq b\neq c\neq d,\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq \delta \neq \epsilon \neq \zeta \neq 90^{\circ }$
Triclínico: $a\neq b\neq c\neq d,\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq 90^{\circ },\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Diklinnaya: $a\neq b\neq c\neq d,\alpha \neq 90^{\circ },\beta =\gamma =\delta =\epsilon =90^{\circ },\zeta \neq 90^{\circ }$
Monoclínico: $a\neq b\neq c\neq d,\alpha \neq 90^{\circ },\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Ortogonal: $a\neq b\neq c\neq d,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Monoclínico tetragonal: $a\neq b=c\neq d,\alpha \neq 90^{\circ },\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Monoclínico hexagonal: $a\neq b=c\neq d,\alpha \neq 90^{\circ },\beta =\gamma =\delta =\epsilon =90^{\circ },\zeta =120^{\circ }$
Diclínica ditetragonal: $a=d\neq b=c,\alpha =\zeta =90^{\circ },\beta =\epsilon \neq 90^{\circ },\gamma \neq 90^{\circ },\delta = 180^{\circ }-\gamma$
diclínica ditrigonal: $a = d \ne b = c, \alpha = \zeta = 120 ^\circ, \beta = \epsilon \ne 90 ^\circ, \gamma \ne \delta \ne 90 ^\circ, \cos \delta = \cos \beta - \cos \gamma$
Ortogonal tetragonal: $a\neq b=c\neq d,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Hexagonal ortogonal: $a\neq b=c\neq d,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =90^{\circ },\zeta =120^{\circ }$
Monoclínico ditetragonal: $a=d\neq b=c,\alpha =\gamma =\delta =\zeta =90^{\circ },\beta =\epsilon \neq 90^{\circ }$
Monoclínico ditrigonal: $a = d \ne b = c, \alpha = \zeta = 120 ^\circ, \beta = \epsilon \ne 90 ^\circ, \gamma = \delta \ne 90 ^\circ, \cos \gamma = - \color{Negro}\tfrac{1}{2} \cos \beta$
Ditetragonal ortogonal: $a=d\neq b=c,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Hexagonal tetragonal: $a=d\neq b=c,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =90^{\circ },\zeta =120^{\circ }$
Dihexagonal ortogonal: $a=d\neq b=c,\alpha =\zeta =120^{\circ },\beta =\gamma =\delta =\epsilon =90^{\circ }$
Ortogonal cúbica: $a=b=c\neq d,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Octagonal: $a=b=c=d,\alpha =\gamma =\zeta \neq 90^{\circ },\beta =\epsilon =90^{\circ },\delta =180^{\circ }-\alpha$
Decagonal: $a = b = c = d, \alpha = \gamma = \zeta \ne \beta = \delta = \epsilon, \cos \beta = -0.5 - \cos \alpha$
dodecagonal: $a=b=c=d,\alpha =\zeta =90^{\circ },\beta =\epsilon =120^{\circ },\gamma =\delta \neq 90^{\circ }$
Di-isohexagonal ortogonal: $a=b=c=d,\alpha =\zeta =120^{\circ },\beta =\gamma =\delta =\epsilon =90^{\circ }$
Icosagonal: $a = b = c = d, \alpha = \beta = \gamma = \delta = \epsilon = \zeta, \cos \alpha = -\color{Black}\tfrac{1}{4}$
Hipercúbico: $a=b=c=d,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$

La conexión entre singonía, sistema cristalino y sistema de celosía en el espacio de cuatro dimensiones se da en la siguiente tabla [23] [24] . Los asteriscos marcan los sistemas enantiomórficos. El número de grupos enantiomórficos (o redes) se da entre paréntesis.

Número de sintonía	Singonía	sistema de cristal	Número de sistema	Número de grupos de puntos	Número de grupos espaciales	Número de rejillas de Bravais	Sistema de celosía
yo	hexaclina		una	2	2	una	Hexaclina P
II	triclínica		2	3	13	2	Triclínico P, S
tercero	Diklinnaya		3	2	12	3	Diclínica P, S, D
IV	monoclínico		cuatro	cuatro	207	6	Monoclínico P, S, S, I, D, F
V	ortogonal	sin eje ortogonal	5	2	2	una	KU ortogonal
		sin eje ortogonal	5	2	112	ocho	P, S, I, Z, D, F, G, U ortogonales
		Ortogonal axial	6	3	887	ocho	P, S, I, Z, D, F, G, U ortogonales
VI	Monoclínico tetragonal		7	7	88	2	Monoclínico tetragonal P, I
VII	Monoclínico hexagonal	Monoclínico trigonal	ocho	5	9	una	Monoclínico hexagonal R
		Monoclínico trigonal	ocho	5	quince	una	Monoclínico hexagonal P
		Monoclínico hexagonal	9	7	25	una	Monoclínico hexagonal P
viii	diclínico ditetragonal*		diez	1 (+1)	1 (+1)	1 (+1)	Diclínica ditetragonal P*
IX	diclínica ditrigonal*		once	2 (+2)	2 (+2)	1 (+1)	Diclínica ditrigonal P*
X	ortogonal tetragonal	ortogonal tetragonal invertida	12	5	7	una	KG ortogonal tetragonal
		ortogonal tetragonal invertida	12	5	351	5	Tetragonal ortogonal P, S, I, Z, G
		Rotatorio tetragonal ortogonal	13	diez	1312	5	Tetragonal ortogonal P, S, I, Z, G
XI	ortogonal hexagonal	trigonal ortogonal	catorce	diez	81	2	Hexagonal ortogonal R, RS
		trigonal ortogonal	catorce	diez	150	2	Hexagonal ortogonal P, S
		ortogonal hexagonal	quince	12	240	2	Hexagonal ortogonal P, S
XII	Monoclínico ditetragonal*		dieciséis	1 (+1)	6 (+6)	3 (+3)	Ditetragonal monoclínica P, S, D*
XIII	Monoclínico ditrigonal*		17	2 (+2)	5 (+5)	2 (+2)	Monoclínico ditrigonal P, RR
XIV	ditetragonal ortogonal	Cripto-ditragonal ortogonal	Dieciocho	5	diez	una	Ditetragonal ortogonal D
		Cripto-ditragonal ortogonal	Dieciocho	5	165 (+2)	2	Ditetragonal ortogonal P, Z
		ditetragonal ortogonal	19	6	127	2	Ditetragonal ortogonal P, Z
XV	tetragonal hexagonal		veinte	22	108	una	P hexagonal tetragonal
XVI	dihexagonal ortogonal	Cripto-ditrigonal ortogonal*	21	4 (+4)	5 (+5)	1 (+1)	Dihexagonal ortogonal G*
		Cripto-ditrigonal ortogonal*	21	4 (+4)	5 (+5)	una	P ortogonal dihexagonal
		dihexagonal ortogonal	23	once	veinte
		ditrigonal ortogonal	22	once	41
		ditrigonal ortogonal	22	once	dieciséis	una	RR ortogonal dihexagonal
XVII	cúbico ortogonal	Ortogonal cúbica simple	24	5	9	una	KU ortogonal cúbico
		Ortogonal cúbica simple	24	5	96	5	Cúbico ortogonal P, I, Z, F, U
		Ortogonal cúbico complejo	25	once	366	5	Cúbico ortogonal P, I, Z, F, U
XVIII	Octagonal*		26	2 (+2)	3 (+3)	1 (+1)	P octogonal*
XIX	Decagonal		27	cuatro	5	una	P decagonal
XX	Dodecagonal*		28	2 (+2)	2 (+2)	1 (+1)	Dodecagonal P*
XXI	Di-isohexagonal ortogonal	Ortogonal diisohexagonal simple	29	9 (+2)	19 (+5)	una	RR ortogonal di-isohexagonal
		Ortogonal diisohexagonal simple	29	9 (+2)	19 (+3)	una	P ortogonal diisohexagonal
		Complejo di-isohexagonal ortogonal	treinta	13 (+8)	15 (+9)	una	P ortogonal diisohexagonal
XXIII	Icosagonal		31	7	veinte	2	Icosagonal P, SN
XXIII	hipercúbico	Hipercúbico octogonal	32	21 (+8)	73 (+15)	una	P hipercúbica
		Hipercúbico octogonal	32	21 (+8)	107 (+28)	una	Hipercúbico Z
		Dodecagonal hipercúbica	33	16 (+12)	25 (+20)	una	Hipercúbico Z
Total:	23 (+6)	33 (+7)		227 (+44)	4783 (+111)	64 (+10)	33 (+7)

Véase también

Notas

↑ Familia Crystal - Diccionario en línea de cristalografía . Consultado el 22 de febrero de 2009. Archivado desde el original el 21 de marzo de 2013. (indefinido)
↑ Sistema cristalino - Diccionario en línea de cristalografía . Consultado el 22 de febrero de 2009. Archivado desde el original el 21 de marzo de 2013. (indefinido)
↑ Sistema de celosía - Diccionario en línea de cristalografía . Consultado el 29 de abril de 2013. Archivado desde el original el 29 de abril de 2013. (indefinido)
↑ Shubnikov A. V., Bokiy G. B., Flint E. E., Fundamentals of Crystallography, Editorial de la Academia de Ciencias de la URSS, 1940
↑ Zagalskaya Yu.G., Litvinskaya G.P., Egorov-Tismenko Yu.K. Cristalografía geométrica. - M. : Editorial de la Universidad de Moscú, 1986. - 168 p.
↑ "Yu.K. Egorov-Tismenko, G.P. Litvinskaya, Theory of Crystal Symmetry, GEOS, 2000. Capítulo III. Sistemas de coordenadas, categorías, singonías". . Consultado el 12 de enero de 2021. Archivado desde el original el 13 de enero de 2021. (indefinido)
↑ Fedorov E. S., Curso de cristalografía. ed. 3, 1901 en línea
↑ Holohedry - Diccionario en línea de cristalografía . Fecha de acceso: 30 de enero de 2013. Archivado desde el original el 21 de marzo de 2013. (indefinido)
↑ de Wolff et al., Nomenclatura para familias de cristales, tipos de celosía de Bravais y clases aritméticas, Acta Cryst. (1985). A41, 278-280. en línea Archivado el 27 de enero de 2013 en Wayback Machine .
↑ Weinstein B.K. Cristalografía moderna. Volumen 1. Simetría de cristales, métodos de cristalografía estructural. Nauka, Moscú, 1979.
↑ Sirotin Yu.I., Shaskolskaya M.P. Fundamentos de la física de los cristales. Nauka, Moscú, 1979.
↑ Flint EE. Una guía práctica de cristalografía geométrica. 3ra edición, traducida. y adicional, Gosgeoltekhizdat, Moscú, 1956.
↑ CS Weiss De indagando formarum crystallinarum charactere geometrico principali dissertatio. Lipsiae [Leipzig] 1809
↑ CS Weiss : Ueber die natürlichen Abtheilungen der Crystallisations Systeme. Abhandl. k. Akád. Wiss., Berlín 1814-1815, S. 290-336.
↑ Friedrich Mohs : Grund-Riß der Mineralogie. Cola Erster. Terminologie, Systematik, Nomenklatur, Charakteristik. Dresde 1822
↑ Carl Friedrich Naumann , Lehrbuch der Mineralogie Mineralogie, 1828 en línea
↑ Carl Friedrich Naumann , Lehrbuch der reinen und angewandten Krystallographie, 1830 en línea
↑ Edward Salisbury Dana, James Dwight Dana, Un libro de texto de mineralogía, 1880 en línea
↑ Carl Friedrich Naumann, Elemente der mineralogie, 1874 en línea
↑ Bravais, A. (1850) Mémoire sur les systèmes formés par les points distribués régulièrement sur un plan ou dans l'espace. Diario de L'Ecole Polytechnique.
↑ B. Souvignier: "Enantiomorfismo de grupos cristalográficos en dimensiones superiores con resultados en dimensiones hasta 6". Acta Crystallographica Section A, vol.59, pp.210-220, 2003.
↑ La página de inicio de CARAT . Fecha de acceso: 5 de mayo de 2015. Archivado desde el original el 5 de marzo de 2016. (indefinido) Parte de los cálculos de Souvignier (2003) para el espacio de seis dimensiones se basaron en una versión errónea del programa CARAT.
↑ EJW Whittaker, Un atlas de hiperestereogramas de las clases de cristales de cuatro dimensiones. Clarendon Press (Oxford Oxfordshire y Nueva York) 1985.
↑ H. Brown, R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek y H. Zassenhaus, Grupos cristalográficos del espacio de cuatro dimensiones. Wiley, Nueva York, 1978.

Enlaces

Glosario de términos en el sitio web de la Unión Internacional de Cristalógrafos

Singonía
Simetría
categoría más baja	sistema triclínica Singonía monoclínica sistema rómbico
Categoría media	sistema tetragonal Sistema trigonal (romboédrico) Singonía hexagonal
Categoría superior	sistema cúbico
ver también	Estructura cristalina símbolo de Pearson grupo de puntos Grupo de simetría de puntos cristalográficos grupo cristalográfico
Cristalografía