Peculiaridad
Una singularidad , o singularidad en matemáticas , es un punto en el que un objeto matemático (normalmente una función ) no está definido o tiene un comportamiento irregular (por ejemplo, un punto en el que una función tiene una discontinuidad o no es derivable ).
Singularidades en el análisis complejo
El análisis complejo considera las características de las funciones holomorfas (y el caso más general: analítico ) - puntos del plano complejo en los que esta función no está definida, su límite es infinito o no hay ningún límite. En el caso de puntos de ramificación de funciones analíticas, la función en un punto singular puede ser definida y continua , pero no ser analítica.
Singularidades en el análisis real
| La función tiene un punto singular en el cero, donde se acerca al infinito positivo por la derecha y al infinito negativo por la izquierda. | · | La función también tiene una singularidad en cero, donde no es diferenciable. |
| El gráfico definido por la expresión tiene una característica en cero: una tangente vertical. | La curva dada por la ecuación tiene una singularidad en (0,0), el punto de autointersección. | |
Singularidades en geometría algebraica
La singularidad de una variedad algebraica es el punto en el que el espacio tangente a la variedad no se puede definir correctamente. Los puntos no singulares también se llaman regulares. El ejemplo más simple de una singularidad es una curva que se corta a sí misma. Hay otros tipos de singularidades, como las cúspides : la curva definida por la ecuacióntiene una cúspide en el origen. Se podría decir que el eje x es tangente a la curva en este punto, pero eso requeriría cambiar la definición de tangente. Más correctamente, esta curva tiene una "doble tangente" en el origen.
Para variedades afines o proyectivas , las singularidades son precisamente aquellos puntos donde el rango de la matriz jacobiana (la matriz de derivadas parciales de los polinomios que definen la variedad) es menor que en otros puntos.
Usando los términos del álgebra conmutativa , se puede dar otra definición que se presta a la generalización a variedades y esquemas abstractos : un punto x es regular si y sólo si el anillo local de funciones racionales en ese punto es un anillo regular .
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