Okroshka de un gato

Okroshka de un gato [1] ( fr. chat d'Arnold ) es un mapeo notable de un toro bidimensional en sí mismo.

Imagina un toro como un cuadrado unitario con lados opuestos pegados. Luego, la muestra de okroshka de un gato se da como , donde los corchetes denotan la parte fraccionaria. Este mapeo es reversible y conserva el área de las figuras, pero no las longitudes de los segmentos. $\Gamma \colon (x,y)\mapsto \left(\{x+y\},\{x+2y\}\right)$

El nombre "okroshka de un gato" está asociado con sus propiedades de mezcla: no importa qué conjunto medible en el toro ("gato") elijamos, bajo la acción de más y más iteraciones de este automorfismo, se "untará" uniformemente. . Hablando formalmente, para cualquier subconjunto medible de la medida de Lebesgue (asumiendo que la medida del toro completo es la unidad) y para cualquier subconjunto abierto , la medida de intersección tenderá a (dónde está la medida de Lebesgue ) a medida que se acerca al infinito. En la monografía Problèmes ergodiques de la mécanique classique de V. I. Arnold y A. Ave, se utilizó la silueta de la cabeza de un gato para ilustrar esta exhibición [2] , aunque en francés se pierde el juego de palabras. Debido a esto, este mapeo es conocido en otros idiomas como “Arnold's cat mapping” (en francés chat d'Arnold , en inglés Arnold's cat map ), que el propio V. I. Arnold consideró una curiosidad. [3] La imagen en el libro original va acompañada de una irónica nota al pie que dice: $metro$ $tu$ ${\ estilo de visualización \ gamma ^ {k} (}$ ${\ estilo de visualización) \ tapa U}$ ${\ estilo de visualización m \ mu (U)}$ ${\ estilo de visualización \ mu (U)}$ $tu$ $k$

La Sociedad para la Protección de los Animales ha dado permiso para la reproducción de esta imagen, así como de otras.

Texto original (fr.)[ mostrarocultar] La SPA a donné son autorización para la reproducción de cette figure, comme bien d'autres.

En lugar de un automorfismo de un toro, también se puede hablar de un automorfismo de su cobertura universal (es decir, el plano euclidiano) con la propiedad de que para un punto arbitrario y puntos enteros y . La transformación de plano correspondiente para un gato okroshka es una transformación lineal dada por una matriz (o alguna otra similar, dependiendo de la elección de las coordenadas). El determinante de esta matriz es 1, por lo que la transformación que define es reversible y conserva el área. Además, esta matriz es simétrica, por lo que la transformación que define es diagonalizable con los valores propios y . Dado que el determinante de esta matriz es 1, sus órbitas son hipérbolas , donde están las coordenadas en base a los vectores propios. Cada una de estas hipérbolas (así como sus asíntotas) se convierte en curvas densas cuando se proyectan sobre un toro. ${\ estilo de visualización f (x + n, y + m) = f (x, y) + (n', m')}$ $(x, y)$ $(Nuevo Méjico)$ ${\ estilo de visualización (n', m')}$ ${\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}}$ ${\frac{3+{\sqrt {5}}}{2}}$ ${\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}$ $uv=\mathrm {const}$ $tú, v$

Propiedades de okroshka de un gato

El mapeo es ergódico , Anosov y estructuralmente estable . $\Gama$
El toro se puede cortar en cinco rectángulos con lados paralelos a las propias direcciones del gato okroshka. Si escribimos la probabilidad con la que el okroshka del gato mueve el punto del -ésimo rectángulo al -ésimo, obtenemos un proceso de Markov . Esto se puede usar para probar las propiedades de mezcla de este mapeo. En general, esta codificación conserva todas las propiedades de okroshka de un gato como sistema dinámico: por ejemplo, cada punto del toro corresponde a su destino: una secuencia infinita de números del 1 al 5 en ambas direcciones, que indica qué rectángulo los puntos caer en Fijar varios valores del punto futuro es lo mismo que fijar un cierto cinturón vertical en el que cae; arreglar varios significados del pasado es como arreglar un cinturón horizontal. De esto, en particular, se puede ver que para okroshka de un gato, el futuro no depende del pasado . [cuatro] $i$ $j$ $X$ $\puntos,\Gamma ^{-1}x,x,\Gamma x,\Gamma ^{2}x,\puntos$
Los puntos periódicos de okroshka de un gato son densos : un punto tiene una órbita periódica (posiblemente con algún período previo) si y solo si sus coordenadas son racionales. Un punto con un denominador que divide no puede tener un período mayor que . De lo contrario, la dependencia del período del denominador es extremadamente irregular. Un mapa de un gato okroshka en puntos racionales, especialmente con un denominador acotado, a menudo se denomina "gato okroshka discreto". $norte$ $3N$
El número de puntos con un punto es exactamente . Los primeros números en esta secuencia son los siguientes: 1, 5, 16, 45, 121, 320, 841, 2205, 5776, 15125, 39601, 103680, 271441, 710645, 1860496, 4870845, 12752041, 33385280, 87403801, 2288261125, 228801, 228826125, 228801, 228826125, 228801, 228826125, 228801, 228826125, 22880125, 228826125, 22880125, 228826125, 22880125, 228801125, 22880125, MA [ 5 ] $norte$ $\left|\left({\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+\left({\frac {3-{\sqrt {5} }}{2}}\derecho)^{n}-2\derecho|$

Usos para gato okroshka

En el folleto "Fracciones continuas", V. I. Arnold trató de dar una prueba geométrica del teorema de Lagrange, que establece que un número real tiene una expansión periódica en una fracción continua (posiblemente con algún preperíodo) si y solo si este número es una irracionalidad cuadrática . Su enfoque utilizó okroshka de un gato. Para estudiar las "fracciones continuas de dimensiones superiores" que introdujo, consideró mapeos similares de toros de dimensiones superiores, por ejemplo, un automorfismo de un toro tridimensional dado por una matriz . Con su ayuda, sus alumnos Tsushiashi y Korkina lograron encontrar un análogo del teorema de Lagrange para las irracionalidades cúbicas. [3] La relación entre el gato okroshka multidimensional real y la geometría compleja de las superficies Inue , también asociadas con irracionalidades cúbicas, sigue siendo vaga. ${\begin{pmatrix}3&2&1\\2&2&1\\1&1&1\end{pmatrix}}$
También se puede definir un mapeo análogo al okroshka de un gato para toros complejos . A partir de un toro complejo bidimensional, se puede construir una superficie Kummer K3 ; en este caso, el okroshka del gato define el mapeo de la superficie K3. El teorema de Kant y Dupont establece que cualquier superficie K3 con un automorfismo cuya medida de máxima entropía sea absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue es una superficie de Kummer (es decir, se obtiene a partir de un toro; sobre este toro, el automorfismo actuará en una forma similar a okroshka de un gato). [6]

Notas

↑ Videoteca: N. Goncharuk, Yu. Kudryashov, Okroshka de un gato. Conferencia 1 . Consultado el 20 de junio de 2020. Archivado desde el original el 22 de junio de 2020. (indefinido)
↑ VI Arnold, A. Avez. Problemas ergodiques de la mécanique classique: [ fr. ] . - Gauthier-Villars, 1967. - (Monografías internacionales de matemáticas modernas).
↑ 1 2 VI Arnold. Disparos en cadena. - Editorial MTSNMO, 2009. - (Biblioteca "Educación Matemática").
↑ Videoteca: N. Goncharuk, Yu. Kudryashov, Okroshka de un gato. Conferencia 3 . Consultado el 20 de junio de 2020. Archivado desde el original el 21 de junio de 2020. (indefinido)
↑ A004146 - OEIS . Consultado el 20 de junio de 2020. Archivado desde el original el 6 de julio de 2020. (indefinido)
↑ V. Tosatti . Métricas y dinámicas planas de Ricci en superficies K3 Archivado el 22 de junio de 2020 en Wayback Machine el 23 de marzo de 2020