Significado geometrico

La media geométrica de varios números reales positivos es un número que puede reemplazar a cada uno de estos números para que su producto no cambie. Más formalmente:

G(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})={\sqrt[ {n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n))}=\left( \prod _{{i=1}}^{n}x_{i}\right)^{{1/n}}

La media geométrica de dos números también se llama su media proporcional [1] , porque la media geométrica de dos números y tiene la siguiente propiedad: , es decir, la media geométrica se relaciona con el primer número de la misma manera que el segundo número es a la media geométrica. $gramo$ $un_{1}$ $un_{2}$ ${\frac{a_{1}}{g}}={\frac {g}{a_{2}}}$

Propiedades

Al igual que cualquier otra media , la media geométrica se encuentra entre el mínimo y el máximo de todos los números:

\operatorname {min} (x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\leqslant G(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\ leqslant \operatorname {max} (x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}).

La media geométrica de dos números es la media aritmético-armónica de estos números, es decir, es igual al límite de dos sucesiones: $a=A_{0},b=G_{0}$

A_{i}={\frac {A_{i-1}+G_{i-1}}{2)),\quad G_{i}={\sqrt {A_{i-1}G_{ i-1}}}.

La media geométrica de dos números es igual a la media geométrica de su media aritmética y su media armónica [2] .

Media geométrica ponderada

La media geométrica ponderada de un conjunto de números reales con pesos reales se define como $x_{1},\ldots,x_{n}$ $w_{1},\ldots,w_{n}$

{\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i= 1}^{n}w_{i}}=\quad \exp \left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\;\sum_{ i=1}^{n}w_{i}\ln x_{i}\right).

En el caso de que todos los pesos sean iguales, la media geométrica ponderada es igual a la media geométrica.

En geometría

La altura de un triángulo rectángulo bajado a la hipotenusa es la media proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa, y cada cateto es la media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre la hipotenusa.

Esto brinda una forma geométrica de construir la media geométrica de dos segmentos (longitudes): debe construir un círculo en la suma de estos dos segmentos como en un diámetro, y luego restaurar la altura desde el punto de su conexión a la intersección con el círculo dará el valor deseado.

La distancia al horizonte de una esfera es la media geométrica entre la distancia al punto más cercano de la esfera y la distancia al punto más lejano de la esfera.

Generalizaciones

La media geométrica se puede considerar como el límite de los exponentes medios para . $A_{g}(x_{1},\ldots,x_{n})={\sqrt[ {g}]{\frac {x_{1}^{g}+\ldots +x_{n}^{g }}{norte}}}$ $g\a 0$
La media geométrica es la media de Kolmogorov en . ${\ estilo de visualización \ phi (x) = \ ln x}$

Notas

^ "Media proporcional". - artículo de la Gran Enciclopedia Soviética .
↑ Rowe S. Ejercicios geométricos con una hoja de papel . - 2ª ed. - Odessa: Matesis, 1923. Copia archivada del 13 de agosto de 2020 en Wayback Machine .

Véase también

Significar
Matemáticas	Potencia media ( ponderada ) Significado armonico ponderado significado geometrico ponderado Promedio ponderado media cuadrática cúbico promedio media móvil Media aritmético-geométrica Función Media media de Kolmogorov
Geometría	centro geométrico Baricentro
Teoría de la probabilidad y estadística matemática	Media Winsorizada muestra promedio Valor esperado Mediana Moda Desviación Estándar Media truncada expectativa condicional
Tecnologías de la información	medoide método de k-mediana
teoremas	Primer teorema de la media Segundo teorema de la media Desigualdad sobre la media aritmética, geométrica y armónica
Otro	Métricas del centro de distribución