Toldo de exhibición

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El mapeo de toldos en la teoría de sistemas dinámicos se da de la siguiente manera: $f_{\mu}=\mu\min\{x,1-x\}$

Para valores , el mapa de la tienda transforma el segmento en sí mismo, siendo un sistema dinámico con tiempo discreto. En particular, la órbita de un punto a partir de un intervalo es la secuencia : $\mu\in[0;2]$ $[0;1]$ $x_0$ $[0;1]$ $x_{n}$

x_{n+1}=f_{\mu }(x_{n})={\begin{casos}\mu x_{n},&x_{n}<{\frac {1}{2)) ,\\\\\mu (1-x_{n}),&{\frac {1}{2}}\leq x_{n}.\end{casos}}

A pesar de que el mapeo de tiendas de campaña es un sistema dinámico no lineal bastante simple, presenta una serie de propiedades que también son características de sistemas más complejos: la densidad de órbitas periódicas , la mezcla , la sensibilidad a las condiciones iniciales , es decir, aleatoriedad [1] .

Propiedades

Si , es un punto fijo atractivo : el sistema tenderá a cero con el tiempo avanzando hasta el infinito para cualquier valor inicial del intervalo . $\mu\in[0;1)$ $x=0$ $X$ $[0;1]$
Si , todos son puntos fijos y son puntos preperiódicos del período unitario (después de una iteración se convierten en puntos fijos). $\mu=1$ $x\in[0;0.5]$ $x\in(0.5;1]$
Si , entonces el mapeo tiene dos puntos fijos: y . Además, ambos serán inestables, es decir, los valores que se encuentran en las cercanías de los puntos fijos se alejarán de ellos con las iteraciones posteriores. Además, para tales valores de , el intervalo contiene puntos tanto periódicos como no periódicos. $\mu\in(1;2]$ $x=0$ $x={\frac {\mu}{1+\mu}}$ $X$ $\mu$ $x\en [\mu-{\mu^2}/2;{\mu}/2 ]$
Si , entonces el sistema mapea el conjunto de intervalos del segmento hacia sí mismo, y su unión es el conjunto de Julia del mapeo de tiendas, es decir conjunto de puntos cuyas órbitas son inestables. $\mu\in(1;\sqrt2]$ $[\mu-{\mu^2}/2;{\mu}/2 ]$
- la ampliación muestra que para μ ≈ 1, el conjunto de Julia consta de varios intervalos. Los diagramas muestran intervalos de 4 y 8 con un aumento suficiente.

Diagrama de bifurcación que muestra el toldo. Una mayor densidad corresponde a una mayor probabilidad de que la variable x tome un valor dado para el parámetro $\mu$
Cuando se amplía cerca de la punta, se ven 4 intervalos
La ampliación adicional muestra 8 intervalos

Si , entonces los intervalos del segmento convergen y el conjunto de Julia es el intervalo completo (ver el diagrama de bifurcación). $\mu\in(\sqrt2;2]$ $[\mu-{\mu^2}/2;{\mu}/2 ]$ $[\mu-{\mu^2}/2;{\mu}/2 ]$

Si , entonces el sistema transforma el segmento [0;1] en sí mismo. En este caso, los puntos periódicos son densos en el segmento, por lo que el mapeo exhibe aleatoriedad [2] . El comportamiento no periódico es exclusivo de los números irracionales, lo que puede demostrarse por el mecanismo por el cual el mapeo actúa sobre el número representado en notación binaria : mueve la coma binaria a la derecha un lugar decimal, y luego, si lo que sucedió estar a la izquierda de la coma es una unidad, la descarta y convierte todos los unos en ceros y viceversa (excepto el último para números con notación binaria finita). Para un número irracional cuya notación binaria no es periódica, este es un proceso infinito. Además, vale la pena señalar que el mapeo de la tienda es topológicamente conjugado con el mapeo logístico y semiconjugado con el mapeo de duplicación , lo que indica la similitud de las propiedades dinámicas de estos mapeos [3] . De hecho, sea la órbita de la tienda de mapeo para , y la órbita del mapeo logístico para , entonces están relacionados por la relación: . $\mu=2$ $\mu=2$ $r=4$ $\mu=2$ $x_{n}$ $\mu=2$ $y_{n}$ $r=4$ $x_n = \tfrac{2}{\pi}\sin^{-1}(y_{n}^{1/2}).$
Si , el conjunto de Julia del mapeo todavía contiene un número infinito de puntos periódicos y no periódicos, pero casi en todas partes los puntos del segmento tienden a infinito. El propio conjunto se convierte en cantoriano . En particular, el conjunto Julia del mapa de toldos es el conjunto estándar de Cantor. $\mu\in(2;+\infty)$ $[0;1]$ $\mu=3$

Expositor de toldo asimétrico

Asimismo, el objeto de estudio de la teoría de los sistemas dinámicos es el despliegue asimétrico del toldo . Se puede considerar como una extensión de la vitrina estándar de la tienda: $f_\alpha: [0;1] \rightarrow [0;1], \alpha \in (1; +\infty)$ $\mu=2$

x_{n+1}=f_\alpha(x_n)=\begin{casos} \alpha x_n & \mathrm{for}~~ 0 \le x_n < \frac{1}{\alpha} \\ \\ \frac {\alpha}{\alpha-1} (1-x_n) & \mathrm{para}~~ \frac{1}{\alpha} \le x_n \le 1 \end{casos}

La visualización asimétrica del toldo conserva la forma de una función lineal por partes y puede utilizarse para representar números reales por analogía con la notación decimal [4] . $[0;1]$

Véase también

Literatura

↑ Lynch, Stephen. "Sistemas dinámicos discretos no lineales". Sistemas Dinámicos con Aplicaciones usando Maple. Birkhauser Boston, 2010. 263-295.
↑ Li, Tien-Yien y James A. Yorke. "El período tres implica caos". Mensual matemático estadounidense (1975): 985-992.
↑ Smale, Stephen, Morris W. Hirsch y Robert L. Devaney. "Sistemas dinámicos discretos". Ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos y una introducción al caos. vol. 60. Prensa Académica, 2003. 327-357.
↑ Lagarias, JC, HA Porta y KB Stolarsky. "Expansiones asimétricas del mapa de la tienda. I. Eventualmente puntos periódicos". Revista de la Sociedad Matemática de Londres 2.3 (1993): 542-556.