Circulo polar
La circunferencia polar de un triángulo es una circunferencia cuyo centro coincide con el ortocentro del triángulo, y el radio es igual a
donde A, B, C denotan tanto los vértices como los ángulos correspondientes , y el punto H es el ortocentro (la intersección de las alturas ). Los puntos D , E y F son las bases de las alturas caídas desde los vértices A , B y C respectivamente, R es el radio de la circunferencia circunscrita , y a , b y c son las longitudes de los lados del triángulo opuesto a los vértices A , B y C respectivamente[1] .
La primera parte de la fórmula refleja el hecho de que el ortocentro divide las alturas en segmentos cuyos productos son iguales. La parte trigonométrica de la fórmula muestra que el círculo polar solo existe cuando el triángulo es obtuso , de modo que uno de los cosenos es negativo.
Propiedades
Cualesquiera dos círculos polares de dos triángulos de un sistema ortocéntrico son ortogonales [2] .
Los círculos polares de los triángulos de un cuadrilátero completo forman un sistema coaxial (es decir, que tienen un eje común) [3] .
La circunferencia circunscrita de un triángulo, su circunferencia de nueve puntos , la circunferencia polar y la circunferencia circunscrita de su triángulo tangencial son coaxiales [4] .
Notas
- ↑ Johnson, 2007 , pág. 176.
- ↑ Johnson, 2007 , pág. 177.
- ↑ Johnson, 2007 , pág. 179.
- ↑ Altshiller-Court, 2007 , pág. 241.
Literatura
- Roger A. Johnson. Geometría euclidiana avanzada. - Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover, 2007. - ISBN 0-486-46237-4 .
- Nathan Altshiller-Court. Geometría universitaria. - Publicaciones de Dover, 2007. - (Dover Books on Mathematics). — ISBN 9780486458052 .