Función casi periódica

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Una función casi periódica es una función en el conjunto de números reales que es periódica con cualquier precisión deseada, dados "casi períodos" distribuidos uniformemente lo suficientemente grandes. El concepto fue estudiado por primera vez por Harald Bohr y posteriormente generalizado, entre otros, por Vyacheslav Vasilyevich Stepanov , Herman Weyl y Abram Samoylovich Besikovich . También existe la noción de funciones casi periódicas en grupos abelianos localmente compactos , que fue estudiada por primera vez por John von Neumann .

La casi periodicidad es una propiedad de los sistemas dinámicos que se manifiesta al trazar la trayectoria del sistema a través del espacio de fases . Un ejemplo sería un sistema planetario con planetas en órbitas que se mueven con periodos dispares (es decir, con un vector de periodos que no es proporcional a un vector de enteros ). El teorema de Kronecker de la teoría de las aproximaciones diofánticas se puede usar para mostrar que cualquier configuración particular, una vez encontrada, se repetirá con cualquier precisión especificada; si esperamos lo suficiente, podemos observar que todos los planetas regresarán en segundos de arco . , en el que estaban.

Motivación

Hay varias definiciones no equivalentes de funciones casi periódicas. La primera definición fue dada por Harald Bohr . Inicialmente se interesó por la serie finita de Dirichlet . De hecho, si cortamos la serie de la función zeta de Riemann para hacerla finita, obtenemos sumas finitas de miembros del tipo $\zeta (s)$

e^{(\sigma +it)\log n}\,

con s escrito como , la suma de las partes real e imaginaria . Si fijamos , que limita la atención a una sola línea vertical en el plano complejo, podemos representar esto como ${\ estilo de visualización (\ sigma + it)}$ $\sigma$ $\sigma$

n^{\sigma }e^{(\log n)it}.\,

Si tomamos una suma finita de dichos términos, las dificultades con la continuación analítica van al dominio . Aquí las "frecuencias" no son comparables (todas son linealmente independientes sobre números racionales). ${\ estilo de visualización \ sigma <1}$ $\log{n}$

Por estas razones, consideramos tipos de polinomios trigonométricos con frecuencias independientes y usamos cálculo para discutir el cierre de este conjunto de funciones base en varias normas .

Para otras normas, la teoría fue desarrollada por Besikovich , Stepanov , Weil , von Neumann , Turing , Bochner y otros en las décadas de 1920 y 1930.

Funciones casi periódicas uniformes (Bohr, Bochner)

Bohr (1925) [1] definió funciones uniformemente casi periódicas como el cierre de polinomios trigonométricos en la norma uniforme

\|f\|_{\infty}=\sup _{x}|f(x)|

(para funciones acotadas f en R ). En otras palabras, una función f es uniformemente casi periódica si para alguna hay una combinación lineal finita de ondas sinusoidales a una distancia menor que f en la norma uniforme. Bohr probó que esta definición es equivalente a la existencia de un conjunto relativamente denso de períodos cercanos para todos . Es decir, la existencia de traslaciones paralelas en la variable t para la cual $\epsilon > 0$ $\epsilon$ ${\ estilo de visualización \ epsilon-}$ ${\ estilo de visualización \ épsilon > 0}$ ${\ estilo de visualización T (\ épsilon) = T}$

\left|f(t+T)-f(t)\right|<\varepsilon .

La definición alternativa de Bochner (1926) es equivalente a la de Bohr y se expresa de manera relativamente simple:

Una función f es casi periódica si cualquier secuencia de traslaciones paralelas f tiene una subsecuencia que converge uniformemente en t en . ${\ estilo de visualización \ {(t+T_{n})\}}$ $(-\infty,+\infty)$

Las funciones de Bohr casi periódicas son esencialmente las mismas que las funciones continuas en la compactación de Bohr de números reales.

Funciones casi periódicas de Stepanov

El espacio de funciones de Steanov casi periódicas (para ) fue introducido por V.V. Stepanov (1925) [2] [3] Contiene el espacio de funciones de Bohr casi periódicas. El espacio es la norma de cierre de polinomios trigonométricos. ${\ Displaystyle S ^ {p}}$ $p\geqslant 1$

\|f\|_{S,r,p}=\sup _{x}\left({1 \over r}\int _{x}^{x+r}|f(s)| ^{p}\,ds\right)^{1/p}

para cualquier r fija positiva . Para diferentes valores de r , esta norma da la misma topología y el mismo espacio de funciones casi periódicas (aunque la norma en este espacio depende de la elección de r ).

Funciones de Weyl casi periódicas

El espacio de funciones de Weyl casi periódicas (para ) fue introducido por Weil (1927) [4] . Contiene el espacio de funciones de Stepnov casi periódicas. Es la clausura de polinomios trigonométricos en la seminorma ${\ estilo de visualización W^{p}}$ $p\geqslant 1$ ${\ Displaystyle S ^ {p}}$

{\displaystyle \|f\|_{W,p}=\lim _{r\to \infty}\|f\|_{S,r,p))

Advertencia: existen funciones distintas de cero con , así como cualquier función limitada en un soporte compacto, por lo que para obtener un espacio de Banach se debe tomar el espacio cociente sobre estas funciones. $F$ ${\lVert}f{\rVert}_{W,p}=0$

Funciones de Besicovitch casi periódicas

El espacio de funciones casi periódicas de Besikovich fue introducido por Besikovich (1926) [5] . Es la clausura de polinomios trigonométricos en la seminorma ${\ Displaystyle B ^ {p}}$

\|f\|_{B,p}=\limsup _{x\to \infty }\left({1 \over 2x}\int _{-x}^{x}|f(s) |^{p}\,ds\right)^{1/p}

Las funciones casi periódicas de Besicovitch tienen una expansión (no necesariamente convergente) ${\ estilo de visualización B^{2}}$

{\displaystyle \sum a_{n}e^{i\lambda _{n}t))

con suma finita y real . Por el contrario, cualquier serie de este tipo es una extensión de alguna función periódica de Besicovitch (no única). ${\ estilo de visualización \ suma {a_ {n} ^ {2}}}$ $\lambda_n$

El espacio de las funciones de Besicovitch casi periódicas (por ) contiene el espacio de las funciones de Weyl casi periódicas. Si creamos un espacio cociente sobre el subespacio de funciones "cero", se puede identificar con el espacio de funciones en la compactación de números reales de Bohr. ${\ Displaystyle B ^ {p}}$ $p\geqslant 1$ ${\ estilo de visualización W^{p}}$ $L^{p}$

Funciones casi periódicas sobre grupos abelianos localmente compactos

Con el desarrollo teórico y el advenimiento de los métodos abstractos ( teorema de Peter-Weil , dualidad de Pontryagin y álgebras de Banach ), se hizo posible una teoría general. La idea básica de casi periodicidad con respecto a un grupo abeliano localmente compacto G se reduce a la idea de una función F en la que las traslaciones paralelas en G forman un conjunto relativamente compacto . De manera equivalente, el espacio de funciones casi periódicas es el cierre normativo de combinaciones lineales finitas de caracteres del grupo G. Si G es compacto, las funciones casi periódicas son lo mismo que las funciones continuas. $L^{\infty}(G)$

La compactación de Bohr de G es el grupo abeliano compacto de todos los caracteres posiblemente discontinuos del grupo dual a G , y es un grupo compacto que contiene a G como un subgrupo denso. El espacio de funciones uniformemente casi periódicas en G se puede identificar con el espacio de todas las funciones continuas en la compactación de Bohr de G . De manera más general, la compactación de Bohr se puede definir para cualquier grupo topológico G , y los espacios de funciones continuas o en la compactación de Bohr se pueden considerar funciones casi periódicas en G. Para grupos G conectados localmente compactos , una aplicación de G a su compactación de Bohr es inyectiva si y solo si G es una extensión central de un grupo compacto o, de manera equivalente, un producto de un grupo compacto por un espacio vectorial de dimensión finita. $L^{p}$

Señales cuasi-periódicas en procesamiento de audio y síntesis musical

En el procesamiento de señales de voz , el procesamiento de señales de audio y la síntesis de música , una señal cuasi -periódica tiene una forma de onda microscópicamente periódica , pero no necesariamente macroscópicamente periódica. Esto no da una función cuasi-periódica en el sentido del artículo de Wikipedia del mismo nombre, sino algo más parecido a una función casi periódica, siendo una función casi periódica, donde cualquier período es virtualmente idéntico a los períodos adyacentes, pero no necesariamente similares a períodos más que lejanos en el tiempo. Esto es cierto para los tonos musicales (después del transitorio inicial) donde todos los armónicos o sobretonos son armónicos (es decir, todos los sobretonos tienen una frecuencia que es un múltiplo de la frecuencia de referencia del tono).

Si la señal es completamente periódica con período , entonces la señal satisface la identidad ${\ estilo de visualización x (t) \ }$ $P\$

x(t)=x(t+P)\qquad \forall t\in \mathbb {R}

{\Big |}x(t)-x(t+P){\Big |}=0\qquad \forall t\in \mathbb {R} .\

La representación en forma de serie de Fourier será

x(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\big [}a_{n}\cos(2\pi nf_{0}t)-b_{ n}\sin(2\pi nf_{0}t){\grande ]}

x(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty}r_{n}\cos(2\pi nf_{0}t+\varphi _{n})

donde es la frecuencia de referencia y los coeficientes de la serie de Fourier son $f_{0}={\frac{1}{P))$

a_{0}={\frac {1}{P}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+P}x(t)\,dt\

a_{n}=r_{n}\cos \left(\varphi _{n}\right)={\frac {2}{P}}\int _{t_{0}}^{t_{ 0}+P}x(t)\cos(2\pi nf_{0}t)\,dt\qquad n\geq 1

b_{n}=r_{n}\sin \left(\varphi _{n}\right)=-{\frac {2}{P}}\int _{t_{0}}^{t_ {0}+P}x(t)\sin(2\pi nf_{0}t)\,dt\

donde puede estar en cualquier momento en el rango .

{\ estilo de visualización t_ {0} \ }

-\infty <t_{0}<+\infty \

La frecuencia de referencia y los coeficientes de la serie de Fourier, ,o, son constantes, es decir, no dependen del tiempo. Las frecuencias armónicas son múltiplos de la frecuencia de referencia. ${\ estilo de visualización f_ {0} \ }$ $a_{n}\$ ${\ estilo de visualización b_ {n} \ }$ ${\ estilo de visualización r_ {n} \ }$ ${\ estilo de visualización \ varphi _ {n} \ }$

Si es cuasi-periódico , entonces ${\ estilo de visualización x (t) \ }$

x(t)\approx x{\big (}t+P(t){\big )}\

{\Big |}x(t)-x{\big (}t+P(t){\big )}{\Big |}<\varepsilon \

dónde

0<\epsilon \ll {\big \Vert }x{\big \Vert }={\sqrt {\overline {x^{2))))={\sqrt {\lim_{\tau \ a \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{-\tau /2}^{\tau /2}x^{2}(t)\,dt)).\

Ahora la representación de la serie de Fourier será

x(t)=a_{0}(t)\ +\ \sum _{n=1}^{\infty}\left[a_{n}(t)\cos \left(2\pi n \int _{0}^{t}f_{0}(\tau )\,d\tau \right)-b_{n}(t)\sin \left(2\pi n\int _{0}^ {t}f_{0}(\tau )\,d\tau \right)\right]

x(t)=a_{0}(t)\ +\ \sum _{n=1}^{\infty}r_{n}(t)\cos \left(2\pi n\int _ {0}^{t}f_{0}(\tau )\,d\tau +\varphi _{n}(t)\right)

x(t)=a_{0}(t)+\sum_{n=1}^{\infty}r_{n}(t)\cos \left(2\pi \int_{0} ^{t}f_{n}(\tau )\,d\tau +\varphi _{n}(0)\right)

donde , quizás, es la frecuencia de referencia variable en el tiempo, y los coeficientes variables en el tiempo de la serie de Fourier son $f_{0}(t)={\frac{1}{P(t)}}$

a_{0}(t)={\frac {1}{P(t)}}\int _{tP(t)/2}^{t+P(t)/2}x(\tau )\,d\tau \

a_{n}(t)=r_{n}(t)\cos {\big (}\varphi _{n}(t){\big )}={\frac {2}{P(t )}}\int _{tP(t)/2}^{t+P(t)/2}x(\tau )\cos {\big (}2\pi nf_{0}(t)\tau { \big )}\,d\tau \qquad n\geq 1

b_{n}(t)=r_{n}(t)\sin {\big (}\varphi _{n}(t){\big )}=-{\frac {2}{P( t)}}\int _{tP(t)/2}^{t+P(t)/2}x(\tau )\sin {\big (}2\pi nf_{0}(t)\tau {\grande)}\,d\tau\

y la frecuencia instantánea para cada armónico es

f_{n}(t)=nf_{0}(t)+{\frac {1}{2\pi }}\varphi _{n}^{\prime }(t).\,

A diferencia del caso cuasi-periódico, la frecuencia de referencia , las frecuencias armónicas y los coeficientes de la serie de Fourier , o no son necesariamente constantes y son funciones del tiempo, aunque cambian lentamente . $f_{0}(t)\$ ${\ estilo de visualización f_ {n} (t) \ }$ $a_{n}(t)\$ $b_{n}(t)\$ $r_{n}(t)\$ ${\ estilo de visualización \ varphi _ {n} (t) \}$

Las frecuencias están muy cerca del armónico, pero no necesariamente exactamente así. La derivada temporal de , es decir , tiene el efecto de un desajuste de frecuencia del valor armónico entero exacto . Una variación rápida significa que la frecuencia instantánea para ese armónico está muy alejada del valor del armónico entero, lo que significa que no es cuasi-periódica. ${\ estilo de visualización f_ {n} (t)}$ ${\ estilo de visualización \ varphi _ {n} (t)}$ ${\ estilo de visualización \ varphi _ {n} ^ {\ principal} (t)}$ ${\ Displaystyle nf_ {0} (t)}$ ${\ estilo de visualización \ varphi _ {n} (t)}$ $x(t)$

Función cuasi-periódica

En matemáticas, se dice que una función es cuasi-periódica cuando tiene cierta semejanza con una función periódica , pero no sigue la definición estricta. Para ser más precisos, esto significa que la función es cuasi-periódica con un cuasi-período si , donde es una función más simple que . $F$ $\omega$ ${\ estilo de visualización f (z + \ omega) = g (z, f (z))}$ $gramo$ $F$

Un caso simple (a veces llamado aritmético-cuasi-periódico) donde la función obedece a la ecuación:

{\ estilo de visualización f (z + \ omega) = f (z) + C}

Otro caso (a veces llamado geométricamente cuasi-periódico) es que la función obedece a la ecuación:

f(z+\omega )=Cf(z)

Otro ejemplo es la función:

f(z)=\sin(Az)+\sin(Bz)

Si la razón A/B es racional, la función tendrá un período, pero si A/B es irracional no existe tal período, aunque existe una secuencia de números , llamada "casi" períodos, tal que para cualquier , existe uno tal que ${\ estilo de visualización \ omega _ {i}}$ $\epsilon$ $i$

|f(z+\omega _{i})-f(z)|<\epsilon

Otro ejemplo de una función con casi períodos es la función theta de Jacobi , donde

\vartheta (z+\tau ;\tau )=e^{-2\pi iz-\pi i\tau }\vartheta (z;\tau )

Esto muestra que hay un cuasi-período para fijo ; también es periódico con período igual a uno. Otro ejemplo es la función Weierstrass Sigma , que es cuasi-periódica, con dos cuasi-períodos independientes correspondientes a las funciones Weierstrass Sigma. $\tau$ $\tau$

Funciones con ecuación funcional aditiva

f(z+\omega )=f(z)+az+b\

también llamado cuasi-periódico. Un ejemplo de esto es la función zeta de Weierstrass , donde

{\ estilo de visualización \ zeta (z + \ omega) = \ zeta (z) + \ eta \}

para una constante fija cuando es el período de la función de Weierstrass correspondiente. ${\ estilo de visualización \ eta}$ $\omega$

Véase también

Función cuasi-periódica
series de Fourier

Notas

↑ Bohr, 1925 , pág. 29–127.
↑ Stepanoff, 1925 , pág. 90–92.
↑ Stepánov, 1925 , pág. 473–498.
↑ Weyl, 1927 , pág. 338–356.
↑ Besicovitch, 1926 , p. 495–512.

Literatura

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H.Bohr. Funciones casi periódicas. - Chelsea, 1947. - (reimpresión).
W. Stepanoff (=VV Stepanov). Sur quelques generalizations des fonctions presque périodiques // CR Acad. Sci.. - París, 1925. - T. 181 .
W. Stepanoff (=VV Stepanov). Ueber einige Verallgemeinerungen der fastperiodischen Funktionen // Math. Ann.. - 1925. - Edición. 45 .
H.Weyl. Integralgleichungen und fastperiodische Funktionen // Math. Ann.. - 1927. - Edición. 97 .
AS Besicovitch. Sobre funciones casi periódicas generalizadas // Proc. Matemáticas de Londres. Soc.. - 1926. - Vol. 2 , núm. 25 .
AS Besicovitch. Funciones casi periódicas . — Universidad de Cambridge. Prensa, 1932.
Luigi Amerio, Giovanni Prouse. Funciones casi periódicas y ecuaciones funcionales. - Nueva York-Cincinnati-Toronto-Londres-Melbourne: Van Nostrand Reinhold , 1971. - P. viii+184. — ( La Serie Universitaria en Matemáticas Superiores ). - ISBN 0-442-20295-4 .
Bochner, S. Beitrage zur Theorie der fastperiodischen Funktionen, Math. Annalen. - 1926. - T. 96 . — S. 119–147 . -doi : 10.1007/ BF01209156 .
J. von Neumann. Funciones casi periódicas en un grupo I.—Trans. amer Matemáticas. Soc.. - 1934. - T. 36. - S. 445-492.
S. Bochner, J. von Neumann. Función casi periódica en un grupo II // Trans. amer Matemáticas. Soc.. - 1935. - T. 37 , núm. 1 . — P. 21–50 .
Bredikhina, EA (2001), Funciones casi periódicas , en Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
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