El decimosexto problema de Hilbert

El decimosexto problema de Hilbert es uno de los 23 problemas que David Hilbert propuso el 8 de agosto de 1900 en el II Congreso Internacional de Matemáticos .

Inicialmente, el problema se denominó "El problema de la topología de las curvas y superficies algebraicas" (en alemán: Problem der Topologie algebraischer Kurven und Flächen ).

Ahora se considera que es divisible en dos problemas similares en diferentes áreas de las matemáticas:

Investigación de la disposición mutua de óvalos de curvas algebraicas reales de grado n (y una pregunta similar para superficies algebraicas ).
Obtención de un límite superior en el número de ciclos límite de un campo vectorial polinomial de grado n (y estudio de su disposición mutua).

Configuración original

Primera parte (algebraica)

Harnack { Math . _ Ann.10 (1876), 189-192}. <...> Encuentro interesante estudiar a fondo la disposición mutua del número máximo de ramas individuales, así como el estudio correspondiente sobre el número, naturaleza y disposición de las cavidades individuales de una superficie algebraica en el espacio ; después de todo, aún no se ha establecido cuál es en realidad el número máximo de cavidades de la superficie de cuarto grado en el espacio tridimensional. [1] .

Texto original (alemán)[ mostrarocultar] 16. Problema der Topologie algebraischer Curven und Flachen. Die Maximalzahl der geschlossenen und getrennt liegenden Züge, welche eine ebene algebraische Curve n -ter Ordnung haben kann, ist von Harnack {Mathematische Annalen, Bd. 10} palabras mejores; es entsteht die weitere Frage nach der gegenseitigen Lage der Curvenzüge in der Ebene. Was die Curven 6ter Ordnung angeht, so habe ich mich - freilich auf einem recht umständlichen Wege - davon überzeugt, daß die 11 Züge, die sie nach Harnack haben kann, keinesfalls sämtlich außerhalb von einander verlaufen dürfen, sondern existdaß ein Zuge ein Zug Innerem und in dessen Aeußerem neun Züge verlaufen oder umgekehrt. Eine gründliche Untersuchung der gegenseitigen Lage bei der Maximalzahl von getrennten Zügen scheint mir ebenso sehr von Interesse zu sein, wie die entsprechende Untersuchung über die Anzahl, Gestalt und Lage der Mäntel einer algebraischen Flächeiel im Raume - ist doch bisher noch nicht ein diemal Mkannt, wie entsprechende eine Fläche 4ter Ordnung des dreidimensionalen Raumes im Maximum wirklich besitzt. {Vgl. Rohn, Flächen vierter Ordnung, Preisschriften der Fürstlich Jablonowskischen Gesellschaft, Leipzig 1886} [2] .

La segunda parte (diferencial)

En relación con esta cuestión puramente algebraica, tocaré otra que, me parece, debería resolverse utilizando el método mencionado de cambio continuo de los coeficientes<...>, a saber, la cuestión del número máximo y ubicación de los ciclos límite de Poincaré para la ecuación diferencial del primer grado de vista

{\frac{dy}{dx}}={\frac {Y}{X}},

donde X , Y son funciones racionales enteras de grado n con respecto a x , y , o, en notación homogénea,

X\left(y{\frac {dz}{dt}}-z{\frac {dy}{dt}}\right)+Y\left(z{\frac {dx}{dt}}- x{\frac {dz}{dt}}\right)+Z\left(x{\frac {dy}{dt}}-y{\frac {dx}{dt}}\right)=0,

donde X , Y , Z son funciones enteras racionales homogéneas de grado n con respecto a x , y , z , que deben definirse como funciones del parámetro t . [una]

Texto original (alemán)[ mostrarocultar] Im Anschluß an dieses rein algebraische Problem möchte ich eine Frage aufwerfen die sich, wie mir scheint, mittelst der nämlichen Methode der continuirlichen Coficientenänderung in Angriff nehmen läßt, und deren Beantwortung für die Topologie der durch nach der Maximalzahl und Lage der Poeskelncaréschens limit (cycle Grenzchens limit ) für eine Differentialgleichung erster Ordnung und ersten Grades von der Form:

{\frac{dy}{dx}}={\frac {Y}{X}},

wo X , Y ganze raciocinio Funktionen nten Grados en x , y sind, oder en homogener Schreibweise

X\left(y{\frac {dz}{dt}}-z{\frac {dy}{dt}}\right)+Y\left(z{\frac {dx}{dt}}-x{\ fracción {dz}{dt}}\derecha)+Z\izquierda(x{\frac {dy}{dt}}-y{\frac {dx}{dt}}\derecha)=0

wo X , Y , Z ganze racionale homogene Functionen nten Grades von x , y , z bedeuten und diese als Funktionen des Parameters t zu bestimmen sind. [2]

Historia de la primera parte

En la época del informe de Hilbert, Newton y Descartes habían obtenido [3] descripciones topológicas de curvas de grado 3 y 4, y el teorema probado por Harnack permitía estimar el número de componentes conexas de una curva: no podía exceder de , donde esta su genero . ${\ estilo de visualización g+1}$ ${\ estilo de visualización g = (d-1) (d-2)/2}$

Gilbert dijo en su informe:

En cuanto a las curvas de sexto orden, me aseguré, sin embargo, en un camino bastante difícil, de que esas 11 ramas que se obtienen según Harnack nunca se ubican todas fuera una de la otra; siempre hay una rama, dentro de la cual hay otra, y fuera de la cual están las nueve restantes, o viceversa.

Sin embargo, como descubrió [4] en la década de 1970 D.A. Gudkov, el caso también es posible cuando hay 5 óvalos dentro y fuera de una curva, un caso que Hilbert consideraba imposible. Analizando sus construcciones, Gudkov planteó una conjetura que afirmaba para M-polinomios de grado par el módulo de comparabilidad 8 de la característica de Euler de una región construida según el ejemplo con un número dado (a saber, con para polinomios de grado 2 k ); en particular, explicó que en las tres variantes de grado 6 que se realizan, los números de curvas interiores, 1, 5 y 9, pasan por 4. $k^{2}$

Esta hipótesis fue probada por el mismo Gudkov. En el caso general, fue demostrado por V. I. Arnold [5] en una forma debilitada de congruencia módulo 4, y luego por V. A. Rokhlin [6] [7] en total generalidad, al considerar variedades tetradimensionales especialmente construidas [4] . $k = 3$

La construcción de varios ejemplos llevó también a O. Ya . Viro a crear la técnica del patchwork , que permite “pegar curvas algebraicas a partir de piezas con un comportamiento determinado”.

En 1972, Vyacheslav Kharlamov dio la solución de la primera parte, relativa al número de componentes y topologías de superficies algebraicas de cuarto orden en tres dimensiones, y en 1976 completó un estudio sobre el problema de Hilbert.

Historia de la segunda parte

Teorema de finitud individual

El primer paso hacia el estudio del decimosexto problema de Hilbert con toda su generalidad fue el teorema de finitud individual : un campo vectorial polinomial en el plano tiene solo un número finito de ciclos límite . Este teorema fue publicado en 1923 por el matemático francés Henri Dulac [8] y se consideró probado durante mucho tiempo.

En la década de 1980, Yu. S. Ilyashenko descubrió una brecha significativa en la prueba de Dulac [9] [10] , y la cuestión de la finitud individual permaneció abierta hasta 1991-92, cuando Ilyashenko [11] y Ekal [12] simultáneamente e independientemente, usando diferentes enfoques, dio una respuesta positiva a la misma (la presentación de una prueba completa requería que cada uno de ellos escribiera un libro separado), ver también el esquema de la nueva prueba [13] .

Estrategia de Petrovsky-Landis

Campos vectoriales cuadráticos

Versiones relajadas del problema

Véase también

Problema de Hilbert-Arnold

Literatura

↑ 1 2 Traducción del informe de Hilbert del alemán - M. G. Shestopal y A. V. Dorofeev , publicado en el libro Hilbert's Problems / ed. P. S. Alexandrova . - M. : Nauka, 1969. - S. 39. - 240 p. — 10.700 copias. Copia archivada (enlace no disponible) . Fecha de acceso: 3 de enero de 2010. Archivado desde el original el 17 de octubre de 2011. (indefinido)
↑ 12David Hilbert . _ Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 (alemán) (enlace inaccesible) . — Texto del informe leído por Hilbert el 8 de agosto de 1900 en el II Congreso Internacional de Matemáticos de París. Consultado el 27 de agosto de 2009. Archivado desde el original el 17 de julio de 2009.
↑ V. I. Arnold, ¿Qué son las matemáticas? MTsNMO, 2002; Con. 39.
↑ 1 2 V. I. Arnold, ¿Qué son las matemáticas? MTsNMO, 2002; Con. 43.
↑ V. I. Arnold, "Sobre la disposición de óvalos de curvas algebraicas del plano real, involuciones de variedades suaves de cuatro dimensiones y aritmética de formas cuadráticas integrales", Funkts. análisis y sus aplicaciones, 5:3 (1971), 1–9.
↑ V. A. Rokhlin, "Prueba de la conjetura de Gudkov", Funct. análisis y sus aplicaciones, 6:2 (1972), 62–64.
↑ V. A. Rokhlin, "Comparaciones del módulo 16 en el decimosexto problema de Hilbert", Funct. análisis y sus aplicaciones, 6:4 (1972), 58–64.
↑ Dulac, H. Sur les ciclos límites. Toro. soc. Matemáticas. Francia , 51 : 45–188 (1923); // Traducción al ruso: Dulac A. Sobre ciclos límite - M .: Nauka, 1980
↑ Ilyashenko , Yu . _ _ 4, pág. 127.
↑ Yu . S. Iliashenko . "Memorias de Dulac "Sobre los ciclos límite" y cuestiones relacionadas de la teoría local de las ecuaciones diferenciales", Uspekhi Mat. Nauk, 40 :6(246) (1985), 41-78
↑ Yu. Ilyashenko, Teoremas de finitud para ciclos límite, American Mathematical Society, Providence, RI, 1991.
↑ J. Ecalle, Introducción a las funciones analizables y previas a la construcción de la conjetura de Dulac, Hermann, París, 1992.
↑ Yu. S. Ilyashenko. Teoremas de finitud para ciclos límite: un esquema de una prueba actualizada. Izv. CORRIÓ. Ser. Mat., 80:1 (2016), 55–118

V. I. Arnold, ¿Qué son las matemáticas? MTsNMO, 2002; Con. 39-45.
M. E. Kazaryan, Geometría tropical , notas de clase.
Yu. S. Ilyashenko, Cien años de historia del decimosexto problema de Hilbert. En la colección “Globo: Seminario Matemático General. Tema. 1” , M.: MTsNMO, 2004. // Historia centenaria del problema número 16 de Hilbert, Bull AMS, v 39, no 3, 2002, 301-354.
Problemas de Hilbert. Se sentó. edición P. S. Alexandrova. Moscú: Nauka, 1969.

problemas de hilbert
una 2 3 cuatro 5 6 7 ocho 9 diez once 12 13 catorce quince dieciséis 17 Dieciocho 19 veinte 21 22 23 ( 24 )