Forma espacial

La forma espacial es una variedad riemanniana completa conexa de curvatura seccional constante . $k$

Una forma espacial se llama esférica , euclidiana o hiperbólica si, respectivamente , , , . $k>0$ $k=0$ $k<0$

Con la ayuda de la renormalización métrica, la clasificación de las formas espaciales se puede reducir a tres casos: . $k=-1,0,+1$

Ejemplos

Formas espaciales euclidianas:
- espacio euclidiano .
- Toro plano , donde está la red dimensional en ,. $\mathbb {T} ^{n}=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma$ $\Gama$ $norte$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {E} ^ {n}}$
- Botella de Klein con métrica plana.
- Para , hay clases de formas espaciales euclidianas compactas afines y no equivalentes no orientables y una clase de orientables $n=3$ $6$ $cuatro$
- Una forma espacial euclidiana bidimensional no compacta distinta de , es homeomorfa a un cilindro o una cinta de Möbius . ${\ estilo de visualización \ mathbb {E} ^ {2}}$
Formas espaciales esféricas:
- Una esfera en el radio es una forma espacial esférica de curvatura . ${\ matemáticas {S}}^{n}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {E} ^ {n + 1}}$ $r>0$ $k=1/r^{2}$
- Espacio de la lente con métrica de curvatura constante
- Esfera de Poincaré con métrica de curvatura constante
- Espacio proyectivo real con métrica de curvatura constante
Formas espaciales hiperbólicas:
- espacio de Lobachevsky . ${\ estilo de visualización \ mathbb {H} ^ {n}}$
- Una forma espacial hiperbólica compacta orientada bidimensional del género se puede unir desde un convexo - gon en el plano de Lobachevsky con lados iguales por pares y suma de ángulos igual a . La familia de formas espaciales hiperbólicas compactas no isomorfas de dimensión de género depende de parámetros reales. $metro$ ${\ estilo de visualización 4m}$ $2\pi$ $2$ $metro$ ${\ estilo de visualización 6m-6}$
- En [1] se dan ejemplos de formas espaciales hiperbólicas .

Propiedades generales

Para arbitraria y , hay una única, hasta isometría, forma de curvatura espacial -dimensional simplemente conectada . Si entonces esta es una esfera bidimensional de radio , si este es un espacio euclidiano , y si este es un espacio bidimensional de Lobachevsky . $norte$ $k$ $norte$ ${\displaystyle M_{k}^{n))$ $k$ $k>0$ $norte$ ${\ estilo de visualización 1/{\ sqrt {k))}$ $k=0$ $k<0$ $norte$
- La cobertura universal de cualquier forma de curvatura espacial bidimensional con métrica elevada es isométrica . $norte$ $k$ ${\displaystyle M_{k}^{n))$
- En otras palabras, cualquier forma espacial bidimensional de curvatura puede obtenerse por factorización sobre un grupo discreto de movimientos que actúan libremente (es decir, sin puntos fijos); además, dos espacios y son isométricos si y sólo si y son conjugados en el grupo de todos los movimientos . Así, el problema de la clasificación de las formas espaciales se reduce al problema de describir todos los grupos no conjugados de movimientos de los espacios , y , actuando discreta y libremente. $norte$ $k$ ${\displaystyle M_{k}^{n))$ $\Gama$ $L=M_{k}^{n}/\Gamma$ $L'=M_{k}^{n}/\Gamma '$ $\Gama$ $\gamma '$ ${\displaystyle M_{k}^{n))$ ${\ matemáticas {S}}^{n}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {E} ^ {n}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {H} ^ {n}}$

Propiedades de las formas espaciales esféricas

Una clasificación exhaustiva de las formas espaciales esféricas se obtuvo en [2]

Si es par, entonces el único movimiento de una esfera sin puntos fijos es la simetría central, que transforma cada punto de la esfera en uno diametralmente opuesto. El espacio cociente sobre el grupo generado por este movimiento es el plano proyectivo real con una métrica de curvatura constante (también llamado espacio de Riemann o espacio elíptico ). En particular $norte$ ${\ matemáticas {S}}^{n}$ $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}=\mathbb {S} ^{n}/\Gamma$ $\Gama$
- Cualquier forma de espacio esférico de dimensión uniforme es isométrica o , o . $norte$ ${\ matemáticas {S}}^{n}$ $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$
Cualquier grupo cíclico finito puede servir como grupo fundamental de una forma de espacio esférico (ver espacio de lente ).
Para que un grupo de orden no cíclico sirva como grupo fundamental de una forma espacial esférica bidimensional, es necesario (pero no suficiente) que c sea coprimo y divisible por el cuadrado de algún número entero. $norte$ $norte$ $norte$ $n+1$

Propiedades de las formas espaciales euclidianas

Los grupos fundamentales de formas espaciales euclidianas compactas son un caso especial de grupos cristalográficos .

El teorema del grupo cristalográfico de Bieberbach conduce a una teoría estructural de formas compactas del espacio euclidiano de dimensión arbitraria:

Para any , solo hay un número finito de clases diferentes de formas de dimensión del espacio euclidiano compacto afín no equivalente . $n\geq 2$ $norte$
Dos formas compactas del espacio euclidiano y son afinemente equivalentes si y sólo si sus grupos fundamentales y son isomorfos. $M=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma$ $M'=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma '$ $\Gama$ $\gamma '$
- Por ejemplo, cualquier forma espacial euclidiana compacta bidimensional es homeomorfa (y, por lo tanto, equivalente afín) a un toro plano o una botella de Klein plana .
Un grupo abstracto puede servir como el grupo fundamental de una forma espacial euclidiana compacta si y solo si $\Gama$ $M^{n}$
1. $\Gama$ tiene un subgrupo abeliano normal de índice finito isomorfo a ; ${\ estilo de visualización \ gamma ^ {*}}$ $\mathbb{Z} ^{n}$
2. ${\ estilo de visualización \ gamma ^ {*}}$ coincide con su centralizador en ; $\Gama$
3. $\Gama$ no tiene elementos de orden finito .
- Si tal grupo se realiza como un subgrupo discreto en el grupo de todos los movimientos del espacio , entonces coincide con el conjunto de desplazamientos paralelos pertenecientes a , y hay una cubierta normal del espacio por un toroide plano . $\Gama$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {E} ^ {n}}$ ${\ estilo de visualización \ gamma ^ {*}}$ $\Gama$ $METRO$ $\mathbb {T} ^{n}=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma ^{*}$
- El grupo finito es isomorfo al grupo de holonomía espacial . $\Gamma /\Gamma ^{*}$ $M^{n}$
Una forma de espacio euclidiana compacta siempre tiene un grupo de holonomía finito .
- La declaración inversa también es cierta: un espacio riemanniano compacto cuyo grupo de holonomía es finito es plano.
Cualquier grupo finito es isomorfo al grupo de holonomía de alguna forma espacial euclidiana compacta.
Cualquier forma espacial euclidiana no compacta admite una retracción real-analítica a una subvariedad plana compacta totalmente geodésica (ver teorema del alma ).
- En particular, la clase de grupos fundamentales de formas espaciales euclidianas no compactas coincide con la clase de grupos fundamentales de formas espaciales euclidianas compactas.

Propiedades de las formas espaciales hiperbólicas

Las formas de dimensión del espacio hiperbólico compacto , que tienen grupos fundamentales isomórficos , son isométricas. ${\ estilo de visualización n \ geq 3}$

Historia

El estudio de las formas espaciales hiperbólicas bidimensionales comenzó esencialmente en 1888, cuando Poincaré , al estudiar los grupos discretos de transformaciones lineales fraccionarias del semiplano complejo , los grupos fucsianos , notó que pueden tratarse como grupos de movimientos de Lobachevsky. avión _ $Im(z)>0$

El problema de clasificación para espacios riemannianos bidimensionales de curvatura constante arbitraria fue formulado por Killnig quien lo llamó el problema de las formas espaciales de Clifford-Klein ; la formulación moderna de este problema fue dada por Hopf (1925). $norte$

Variaciones y generalizaciones

Además de las formas espaciales riemannianas, se estudiaron sus generalizaciones: pseudo-riemannianas , formas espaciales afines y complejas y formas espaciales de espacios simétricos .

Literatura

↑ Vinberg E. B. “Mat. Se sentó." - 1969, v. 78, N° 4. - S. 633-39.
↑ Wolf J. Espacios de curvatura constante, trad. De inglés. - M. , 1982.