Intervalo (teoría de la relatividad)

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 23 de octubre de 2021; la verificación requiere 1 edición .

Un intervalo en la teoría de la relatividad es un análogo de la distancia entre dos eventos en el espacio-tiempo , que es una generalización de la distancia euclidiana entre dos puntos. El intervalo es invariante de Lorentz , es decir, no cambia al pasar de un marco de referencia inercial a otro , y, más aún, es un invariante ( escalar ) en relatividad especial y general.

Esta propiedad del intervalo lo convierte en un concepto fundamental a partir del cual, de acuerdo con el principio de relatividad , se puede realizar una formulación covariante de leyes físicas. En particular, las transformaciones de Lorentz (transformaciones de coordenadas, incluido el tiempo, que dejan sin cambios el registro de todas las ecuaciones fundamentales de la física cuando se cambia el marco de referencia) se pueden encontrar formalmente como un grupo de transformaciones que mantienen invariable el intervalo.

La invariancia del intervalo sirvió de base para la introducción del espacio de Minkowski , en el que el cambio de marcos de referencia inerciales corresponden a las "rotaciones" de este espacio, que fue la primera formulación explícita del concepto de espacio-tiempo .

Definición

Un cuadrado de intervalo es una forma bilineal simétrica en una variedad de espacio-tiempo configuracional de 4 dimensiones . Con coordenadas elegidas correctamente (galileanas - marco de referencia localmente inercial con coordenadas espaciales cartesianas y tiempo ) para un desplazamiento infinitamente pequeño en el espacio-tiempo, tiene la forma $x, y, z$ $t$

{\displaystyle ds^{2}=c^{2}\,dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2))

(localmente , un espacio-tiempo pseudo-euclidiano , un espacio de Menkowski en el orden principal, en otras palabras, una variedad con una métrica de firma pseudo-riemanniana indefinida (+−−−)).

En el caso de un espacio-tiempo plano, es decir, un espacio-tiempo sin curvatura , que en la física moderna se refiere al caso de la ausencia (o pequeñez despreciable) de la gravedad, la misma expresión vale para diferencias finitas en coordenadas:

s^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^ {2}

(tal espacio ya es exactamente y globalmente un espacio de Minkowski, si, por supuesto, es topológicamente equivalente en su topología natural). ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$

Normalmente, el intervalo se indica con una letra latina . $s$

La teoría general de la relatividad utiliza el concepto generalizado de intervalo, que da una generalización natural de la distancia entre dos puntos. Se introduce un tensor métrico , del que solo se requiere simetría y no degeneración . La expresión para el cuadrado del intervalo entre dos puntos infinitamente cercanos toma la forma ${\ Displaystyle g_ {ik}}$

ds^{2}=g_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j},\quad i,j=0\dots 3,\quad x^{0}=ct,\ x^{1}=x,\ x^{2}=y,\ x^{3}=z,

donde son diferenciales de coordenadas, y la suma está implícita sobre índices repetidos , es decir, esta expresión significa $dx^{i}$

\sum_{i,j=0}^{3}g_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}.

Tenga en cuenta que la métrica así definida no será una forma cuadrática definida positiva, como generalmente se requiere en el caso de las variedades riemannianas adecuadas. Por el contrario, se entiende que siempre o casi siempre localmente las coordenadas espacio-temporales (marco de referencia) pueden elegirse de tal forma que el intervalo para una pequeña región del espacio-tiempo en estas coordenadas se escriba de la misma forma que está escrito para coordenadas Lorentzianas (marcos de referencia) en un espacio plano de Minkowski: ${\ estilo de visualización t, x, y, z}$

ds^{2}=c^{2}\,dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2},

de modo que a través de un punto del espacio-tiempo hay infinitas líneas que tienen "longitud" cero (al definir la longitud en el espacio-tiempo a través de su "métrica física" - es decir, como una integral de ) - formando un cono de luz ; hay infinitas líneas cuya longitud es real: todas están en la región interior del cono de luz; y hay infinitos de aquellos cuya longitud es puramente imaginaria: cerca de un punto dado, todos están en la región exterior del cono de luz con un vértice en él si son lisos. ${\displaystyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}\,dt^{2))))$

El signo del cuadrado del intervalo es una cuestión de convención. Puede optarse (e históricamente lo fue) por lo contrario. Hoy en día, quizás, la elección del signo como se indica arriba en este artículo es más común. Sin embargo, a veces lo contrario es más conveniente si se utiliza la interpretación de Minkowski , ya menudo conveniente, de la coordenada temporal como puramente imaginaria.
La numeración de las coordenadas también es un tema de acuerdo, pero en la literatura moderna se numeran con mayor frecuencia como aquí, de 0 a 3, y el índice 0 se asigna a la coordenada de tiempo. $x^yo$
En construcciones teóricas que utilizan el espacio-tiempo de una dimensión superior, la definición de un intervalo se generaliza naturalmente agregando un cierto número de coordenadas espaciales a la suma. En este caso, la mayoría de las veces (aunque no siempre) se supone que la coordenada de tiempo sigue siendo única, es decir, generalmente solo un término ingresa con un signo opuesto a todos los demás.
Una variedad con un intervalo no degenerado (o, en otras palabras, una métrica no degenerada) dada en ella se llama pseudo-Riemannian , más precisamente, pseudo-Riemannian, para enfatizar la diferencia con la variedad de Riemann , en la que la métrica - a diferencia del intervalo - es definida positiva, como la distancia euclidiana habitual.
Las definiciones de intervalo son algo diferentes en relatividad especial y general. Esto se debe al hecho de que el intervalo entre dos puntos arbitrarios del espacio-tiempo de Minkowski se puede ingresar, sin encontrar dificultades, como la longitud de una línea recta (geodésica) que los conecta, como se hizo anteriormente. Sin embargo, para la forma general del espacio-tiempo curvo, esto ya no se puede hacer tan simplemente, ya que los puntos pueden estar conectados por varias geodésicas diferentes (o incluso un número infinito de ellas). Por lo tanto, el intervalo en la teoría general de la relatividad generalmente se determina en una vecindad infinitamente pequeña de un punto dado, donde las diversas geodésicas que emanan de él aún no se cruzan, y la distancia a lo largo de las líneas geodésicas de un punto a otro se llama el mundo . función _

Invariancia de intervalo en relatividad especial

Postulados usados

Directamente del principio de la relatividad , la homogeneidad e isotropía del espacio, así como la homogeneidad del tiempo, se deduce que al pasar de un IFR (marco de referencia inercial) a otro IFR, el intervalo permanece invariable. Es esta propiedad la que hace posible derivar formalmente las transformaciones de Lorentz y fundamenta la justificación para introducir el espacio de Minkowski y la métrica no riemanniana.

La invariancia de la velocidad de la luz importa aquí porque se sabe que la velocidad de la luz es siempre la misma en al menos un marco de referencia, y de esto y del principio de relatividad se deduce que debe ser la misma en cualquier IFR. . Sin embargo, en lugar de la velocidad de la luz, se podría tomar la velocidad máxima del movimiento de los cuerpos o de la propagación de las interacciones, que además, por el principio de la relatividad, debería ser la misma en todos los marcos de referencia inerciales. Si la velocidad máxima de propagación de las interacciones es finita, por el principio de relatividad debe coincidir con la velocidad de la luz, que denotaremos aquí, como es habitual, . $C$

Para la demostración que se presenta a continuación, es fundamental que consideremos pequeños (infinitamente pequeños) todos los cambios en las coordenadas espaciales y en el tiempo, es decir, todo estará formulado para el intervalo entre dos eventos infinitamente próximos en el espacio y el tiempo.

Prueba

Probablemente, dadas algunas de las trampas señaladas en las notas, en la prueba del libro de texto de Landau a continuación, es más fácil obtener primero explícitamente las transformaciones de Lorentz , de las cuales simplemente se sigue la invariancia del intervalo.

Primero mostremos que si el intervalo entre dos eventos es igual a cero en una IFR, entonces es igual a cero en cualquier IRF. De hecho, suponga que en IFR K el evento 1 ocurre en un punto en el tiempo y el evento 2 en un punto en el tiempo . Por condición, el intervalo entre ellos es igual a 0, es decir ${\ estilo de visualización x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}}$ $t_{1}$ ${\ estilo de visualización x_ {2}, y_ {2}, z_ {2})$ $t_{2}$

c^{2}(t_{1}-t_{2})^{2}-(x_{1}-x_{2})^{2}-(y_{1}-y_{2} )^{2}-(z_{1}-z_{2})^{2}=0.

Esto significa que si se emite una señal que se mueve a la velocidad de la luz desde el punto 1 al punto 2, estará en el punto 2 después de un tiempo . Pero, debido a la invariancia de la velocidad de la luz, para los eventos 1 y 2, considerados en el marco de referencia K' , podemos escribir de manera similar ${\ estilo de visualización t_{2}-t_{1}}$

c^{2}(t_{1}^{'}-t_{2}^{'})^{2}-(x_{1}^{'}-x_{2}^{'} )^{2}-(y_{1}^{'}-y_{2}^{'})^{2}-(z_{1}^{'}-z_{2}^{'})^ {2}=0.

Esto prueba que la igualdad del intervalo a cero no depende del ISO.

Para más propósitos, recuerda que estamos considerando el intervalo entre eventos infinitamente cercanos , por lo tanto, debe ser un valor infinitesimal. Debido a la homogeneidad e isotropía del espacio y la homogeneidad del tiempo al cambiar la IFR, el nuevo intervalo solo puede ser función del antiguo intervalo y la velocidad de la nueva IFR en la antigua IFR, no puede depender de las coordenadas de un punto o tiempo. Al cambiar la IFR, no se puede agregar al intervalo un término que no dependa del intervalo en la IFR anterior, ya que si en una IFR el intervalo es 0, entonces en la otra IFR también es 0. Por lo tanto, ambos intervalos serán ser infinitamente pequeño. Como los intervalos son infinitamente pequeños, deben ser proporcionales [1] , como infinitesimales del mismo orden, dado que uno de ellos se anula si y sólo si el segundo, como ya averiguamos al principio. Esto quiere decir que al cambiar el ISO, el intervalo se transforma de acuerdo a la regla

ds_{2}^{2}=k({\vec {V)))\,ds_{1}^{2}.

Debido a la isotropía del espacio, k no puede depender de la dirección de la velocidad, solo de su módulo.

Esto significa [2] que, habiendo considerado el cambio en el intervalo durante la transición del sistema 1 al sistema 2, y luego de regreso, dado que V es el mismo para transformaciones directas e inversas de la isotropía del espacio y el principio de relatividad ( el segundo sistema se ve indistinguible del primero, cómo se ve el primer sistema del segundo), tenemos

ds_{2}^{2}=K(V)\,ds_{1}^{2},

ds_{1}^{2}=K(V)\,ds_{2}^{2},

y por lo tanto (porque ) ${\displaystyle ds_{1}=ds_{1))$

K^{2}(V)=1

para cualquier V.

Queda por descartar el caso K = −1. Esto se puede hacer considerando tres ISO y cambiando el intervalo entre ellos. Haciendo una transición secuencial del primer CO al tercero, pasando por el segundo, tenemos

ds_{3}^{2}=K^{2}\,ds_{1}^{2},

y para una transición directa inmediata de la primera a la tercera:

ds_{3}^{2}=K\,ds_{1}^{2}.

Esto demuestra que , y por lo tanto solo queda la variante $K^{2}=K$

{\ Displaystyle k (V) = 1}

para cualquier V , es decir, el intervalo no cambia al cambiar ISO.

En conclusión, se puede señalar que la invariancia de los intervalos infinitesimales implica la invariancia de los finitos, ya que estos últimos se obtienen por integración simple de infinitesimales.

Significado del signo cuadrado de intervalo

Si , entonces el intervalo se llama temporal . El intervalo temporal entre eventos significa que existe un marco de referencia en el que ambos eventos ocurrieron en el mismo lugar. Más importante aún, el intervalo temporal entre eventos significa que pueden estar relacionados causalmente . Es fácil comprobar que para eventos causalmente relacionados , ya que toda interacción se propaga a una velocidad no mayor a c , y corresponde a eventos asociados a una señal que se propaga a la velocidad de la luz. Esta señal no tiene por qué ser exactamente luz, puede ser una onda gravitatoria , en general, cualquier partícula sin masa , o incluso una interacción que aún no se ha descubierto. Solo es esencial que exista una velocidad máxima de propagación de la interacción, que sea la misma para todos los marcos de referencia e igual, como se desprende de las ecuaciones de Maxwell , a la velocidad de la luz. $ds^{2}\geqslant0$ $ds^{2}\geqslant0$ $ds=0$
Si , entonces el intervalo se llama similar a un espacio , lo que significa que puede elegir un marco de referencia inercial en el que ambos eventos ocurrieron al mismo tiempo. Los eventos, cuyo intervalo es similar al espacio, como se indicó anteriormente, no pueden conectarse causalmente, ya que incluso una señal que se propaga en línea recta tendría que moverse más rápido que la velocidad de la luz para esto. $ds^{2}\leqslant0$
Si , entonces el intervalo se llama similar a la luz (a veces isótropo o cero). Las direcciones en el espacio de Minkowski a lo largo de las cuales el intervalo es 0 se dice que son isótropas . Las variedades también se denominan isotrópicas si la forma es idénticamente igual a 0. La luz siempre se propaga a lo largo de direcciones isotrópicas. $ds^{2}=0$ $ds^2$

comentario _ Dado que el intervalo mismo es invariante, es obvio que el signo de su cuadrado también resulta ser invariante. Por lo tanto, la clasificación de intervalos sobre esta base, dada aquí, no depende del sistema de referencia.

Véase también

Notas

↑ Este pasaje en la demostración que se da en el libro de texto de Landau y Lifshitz no es trivial a pesar de su aparente simplicidad. Quizá Landau, con su afición a los chistes, decidió aquí comprobar qué tan bien entienden los lectores la presentación, que aparentemente es simple, pero contiene trampas imperceptibles. Aunque, por supuesto, en algún sentido, la declaración bajo consideración debe ser verdadera, al menos en base al resultado correcto de la prueba. Sin embargo, se omite en esta prueba: se propone devolverla al lector.
↑ A partir de este punto, la prueba se simplifica un poco en comparación con la prueba de Landau, pero si damos por probado lo ya probado hasta aquí, según la exposición de Landau, basta con lo siguiente.

Literatura

Landau L. D. , Lifshits E. M. Teoría de campos. - 7ª edición, revisada. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Física Teórica ", Tomo II). — ISBN 5-02-014420-7 .