Alexandrova directa

La línea de Alexandrov (o línea larga ) es un espacio topológico , uno de los principales contraejemplos utilizados en topología [1] : una línea real ordinaria consta de un número contable de segmentos ubicados uno tras otro, y la línea de Alexandrov se construye a partir de un número incontable de tales segmentos. Construido por Pavel Alexandrov en 1924 [2] .

La línea cerrada de Alexandrov se define como el producto cartesiano del primer ordinal incontable y el semiintervalo , dotado de la topología de orden (es decir, su base son los intervalos ) inducida por el orden lexicográfico sobre . Una línea abierta se obtiene eliminando el elemento más pequeño .

La línea de Alexandrov es equivalente en potencia a la línea real y es un espacio normal , como cualquier espacio con la topología de orden, sin embargo, tiene una serie de propiedades inusuales. En particular, su topología es no metrizable , es secuencialmente compacta , pero no compacta, conectada por caminos, conectada localmente y simplemente conectada , pero no contráctil . Además, la línea de Aleksandrov tiene la estructura de una variedad topológica inseparable [3] , a pesar de ser no paracompacta , y satisface el primer axioma de numerabilidad , pero no el segundo . En él también se puede introducir la estructura de una variedad diferenciable [4] e incluso analítica [5] .

Notas

1. ↑ Steen, Lynn Arthur. Contraejemplos en Topología / Lynn Arthur Steen, J. Arthur Jr. Seebach. - Reimpresión de Dover de 1978. - Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , 1995. - P. 71–72. - ISBN 978-0-486-68735-3 .
2. ↑ P. Alexandroff. Uber die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Räume // Math. Ana. - 1924. - T. 92 . - S. 295-301 . -doi : 10.1007/ BF01448011 .
3. ↑ Algunos autores requieren que la base sea separable y numerable en la definición de una variedad topológica, véase Shastri, Anant R. (2011), Elements of Differential Topology , CRC Press, p. 122, ISBN 9781439831632 , < https://books.google.com/books?id=-BrOBQAAQBAJ&pg=PA122 >  .
4. ↑ Nyikos, Peter J. (1992). "Varios suavizados de la línea larga y sus haces tangentes". Avances en Matemáticas . 93 : 129-213. DOI : 10.1016/0001-8708(92)90027-I . MR  1164707 .
5. ↑ Kneser, Hellmuth; Kneser, Martín (1960). "Reell-analytische Strukturen der Alexandroff-Halbgeraden und der Alexandroff-Geraden". Archivo der Mathematik . 11 :104-106. DOI : 10.1007/BF01236917 .