Curva pseudo-holomórfica

Una curva pseudoholomórfica (o curva J -holomórfica ) es un mapeo suave de una superficie de Riemann en una variedad casi compleja que satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann .

Historia

Las curvas pseudo-holomórficas fueron introducidas en 1985 por Mikhail Gromov , desde entonces han revolucionado el estudio de las variedades simplécticas . En particular, el teorema del camello simpléctico se demostró utilizando curvas pseudoholomórficas.

También se utilizan en la definición Gromov-Witten , la homología de Floer papel importante en la teoría de cuerdas

Definición

Sea una variedad casi compleja con una estructura casi compleja . Sea una superficie de Riemann suave (también llamada curva compleja ) con una estructura compleja . Una curva pseudoholomórfica en es un mapeo que satisface la condición $X$ $j$ $C$ $j$ $X$ ${\ estilo de visualización f: C \ a X}$

J\circ df=df\circ j,

Es decir, el diferencial es complejo-lineal. $d.f.$

Notas

En particular, muestra espacios tangentes $j$ $T_{x}f(C)\subseteq T_{x}X$

a mí mismo.

Aunque las curvas pseudoholomórficas se definen para una variedad casi compleja arbitraria, las principales aplicaciones de las curvas pseudoholomórficas son para variedades simplécticas con una estructura casi compleja compatible . $j$
- Es decir, tal que la siguiente desigualdad se cumple para todos los vectores tangentes distintos de cero $v$ ${\displaystyle\omega(v,Jv)>0,}$

donde denota la forma simpléctica .

\omega

En particular

(v,w)={\frac {1}{2}}\left(\omega (v,Jw)+\omega (w,Jv)\right)

define la métrica de Riemann .

Dado , el espacio de todas las estructuras casi complejas compatibles es no vacío y

contráctil .

\omega

j

Propiedades

Si una estructura pseudocompleja es para una forma simpléctica con una métrica riemanniana asociada , entonces cualquier curva holomorfa es una superficie mínima . ${\displaystyle J\dos puntos T_{p}\to T_{p))$ $gramo$ $j$
- Además, cualquier curva holomorfa minimiza el área en su clase de homología y es su
forma de calibre . $j$ $\omega$

Referencias

Editado por Eliashberg J. y Treynor L. Conferencias sobre geometría simpléctica y topología . - MTsNMO, 2008. - 424 p. - 1000 copias. — ISBN 978-5-94057-130-8 .
Dusa McDuff y Dietmar Salamon, J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology , publicaciones del coloquio de la American Mathematical Society, 2004. ISBN 0-8218-3485-1 .
M. Gromov. Curvas pseudoholomórficas en variedades simplécticas // Inventiones Mathematicae. - 1985. - vol. 82 . - pág. 307-347 . Archivado desde el original el 13 de abril de 2018.
Donaldson, Simon K. ¿Qué es... una curva pseudoholomórfica? (inglés) // Avisos de la American Mathematical Society : revista. - 2005. - Octubre ( vol. 52 , no. 9 ). - Pág. 1026-1027 .