Cincuenta y nueve icosaedros

The Fifty -Nine Icosahedra es un  libro escrito e ilustrado por Harold Coxeter , Patrick du Val , H. T. Flaser y J. F. Petrie. El libro enumera algunas formas estelares de icosaedros regulares convexos ( platónicos ) , construidos de acuerdo con un conjunto de reglas propuestas por J. C. P. Miller .

El libro fue publicado por la University of Toronto Press en 1938. Springer-Verlag publicó una segunda edición en 1982. Keith y David Crennell reescribieron completamente el texto y redibujaron las fichas y tablas para la tercera edición (Tarquin) en 1999 y agregaron nuevo material de referencia y fotografías.

Contribuciones del autor

Reglas de Miller

Aunque J. C. P. Miller no escribió directamente el libro, fue un colega cercano de Coxeter y Petrie. Sus contribuciones están inmortalizadas en su conjunto de reglas para determinar qué estelaciones pueden considerarse "esenciales y distintas":

1. Las caras deben estar en veinte planos, es decir, en los planos límite de un icosaedro regular.
2. Todas las partes que forman las caras deben ser iguales en todos los planos, aunque estén completamente separadas.
3. Las partes pertenecientes a cualquier (un) plano deben tener simetría trigonal con o sin reflexión. Esto proporciona simetría icosaédrica para todo el cuerpo.
4. Las partes pertenecientes a cualquier plano deben estar todas "accesibles" en el cuerpo resultante (es decir, deben ser "externas". En algunos casos, tenemos que construir modelos enormes para ver todas las partes. Para modelos de tamaño normal, algunas partes, aunque son "externos", solo pueden ser detectados por insectos rastreros).
5. Se excluyen de consideración los casos en que las partes pueden dividirse en dos conjuntos, que individualmente dan un cuerpo con mayor simetría que la figura misma. Pero permitimos la unión de un par enantiomórfico que no tiene partes comunes (de hecho, esto solo ocurre en un caso).

Las tres primeras reglas corresponden a los requisitos de simetría de los planos frontales. La regla 4 excluye las cavidades internas, asegurando que no haya dos formas de estrella que parezcan idénticas. La regla 5 excluye cualquier componente incoherente de formas más simples.

Coxeter

Coxeter fue la principal fuerza impulsora detrás del trabajo. Realizó análisis basados ​​en las reglas de Miller, utilizando una serie de técnicas como la combinatoria y la teoría abstracta de grafos , cuya aplicación en geometría era nueva en ese momento.

Notó que el diagrama de una estrella contiene muchos segmentos. Luego desarrolló un procedimiento para trabajar con combinaciones de regiones planas adyacentes para enumerar formalmente las combinaciones que caen bajo las reglas de Miller.

El gráfico que se presenta aquí muestra la conectividad de las distintas caras representadas en el diagrama de estrella (ver más abajo). Las letras griegas definen un conjunto de posibles opciones:

Du Val

Du Val ideó la notación simbólica para conjuntos de celdas congruette basándose en la observación de que se encuentran en una "cáscara" alrededor del icosaedro original. Basándose en esto, probó todas las combinaciones posibles contra las reglas de Miller, confirmando los resultados del enfoque más analítico de Coxeter.

Flazer

La contribución de Flaser no fue directa: hizo modelos de cartón de los 59 poliedros. Antes de conocer a Coxeter, ya había creado muchas formas de estrellas, incluidos algunos poliedros que no se ajustaban a las reglas de Miller. Continuó trabajando en la creación de una serie completa, que se encuentra almacenada en la biblioteca matemática de la Universidad de Cambridge (Inglaterra). La biblioteca también tiene varios modelos no millerianos, pero no se sabe si fueron realizados más tarde por estudiantes de Flaser o Miller [1] .

petri

John Flinders Petrie, un viejo amigo de Coxeter, tenía una notable habilidad para representar figuras en un espacio de cuatro dimensiones. Él y Coxeter trabajaron juntos en muchos problemas matemáticos. Su contribución directa al libro radica en los muchos dibujos tridimensionales perfectos que proporcionan el encanto del libro.

Krennels

Para la tercera edición, Keith y David Crennell revisaron completamente el texto y volvieron a dibujar las ilustraciones y los insertos. También agregaron una sección de referencia que contenía tablas, diagramas y fotografías de algunos de los modelos de Cambridge (que en ese momento se pensaba que eran todos de Flazer). El índice incluía los 59 poliedros, numerados secuencialmente en el orden en que aparecían en el libro. Se produjeron varios errores durante el proceso de edición. Archivo PDF con páginas corregidas disponible en línea.

Lista de cincuenta y nueve icosaedros

Antes de Coxeter, solo Brückner y Wheeler describieron algunos conjuntos significativos de estelaciones, aunque algunos, como el gran icosaedro, se conocen antes. Tras la publicación de un libro sobre 59 icosaedros, Wenninger publicó instrucciones para construir algunos de los modelos de la serie. El esquema de numeración adoptado en su libro se usó ampliamente, aunque solo dio unas pocas formas de estrellas.

Notas

La numeración es de los Krennels a menos que se indique lo contrario.

Krennels

• En la numeración que Krennel agregó en la tercera edición, los primeros 32 modelos (números 1-32) son simétricos especularmente , y los últimos 27 (números 33-59) son quirales , y solo se da la forma de la mano derecha en el libro. La numeración corresponde al orden en que aparecen los poliedros en el libro.

VRML

• Enlace a archivos de gráficos 3D VRML creados por Hart .

células

• Si conecta cualquier punto en el espacio por un segmento con el centro del icosaedro y cuenta el número de intersecciones del segmento con los planos de las caras del icosaedro, obtiene el nivel del punto (sin contar el plano en el que el el punto mismo puede ser). Todos los puntos con un nivel que no exceda un cierto valor forman algún poliedro . Para un icosaedro regular, son posibles 8 de estos poliedros, que se denotan con letras mayúsculas A , B , C , …, H , donde A  es el icosaedro original (nivel 0). Hay puntos con niveles 8 y superiores, pero los rayos correspondientes van al infinito y tales puntos no se consideran.
• Los puntos del mismo nivel forman una concha . En la notación de Du Val, las conchas se numeran con las mismas letras que los poliedros, pero en mayúsculas. Las conchas están formadas por células .
• Algunas celdas se dividen en dos tipos, se les asignan índices. Por ejemplo, el grupo e incluye las celdas e 1 y e 2 . El conjunto f 1 se subdivide en formas derecha e izquierda, que se denotan por f 1 (letra ordinaria) y f 1 (oblicua). Cuando todos los niveles están presentes, se escriben con mayúscula, reemplazando la secuencia completa, por ejemplo, a + b + c + e 1 se escribe como Ce 1 .

facetas

• Todas las formas de estrellas se pueden definir mediante un diagrama de estrellas . En el diagrama anterior, las áreas numeradas coloreadas muestran las partes que deben aparecer juntas como un todo si se quiere lograr una simetría icosaédrica completa. El diagrama contiene 13 de estos conjuntos. Algunos de ellos se subdividen en pares quirales (no mostrados), dando formas de estrella con simetría rotacional pero sin simetría especular. En la tabla, las caras que son visibles desde abajo se indican con un apóstrofe, por ejemplo, 3' .

Wenninger

• Los números y los nombres numerados corresponden al orden de aparición en el libro Models of Polyhedra de M. Wenninger . El orden es generalmente aleatorio (elegido arbitrariamente por los editores del libro) y no tiene ningún sentido matemático. Solo unos pocos modelos en el libro de Wenninger son icosaedros. Sus nombres se dan en forma abreviada, se omiten las palabras "... icosaedro" (por ejemplo, en lugar de "La segunda estelación del icosaedro" en la tabla es "La segunda estelación del icosaedro").

Rodador

• Wheeler encontró sus cifras seleccionando segmentos de un diagrama estelar. Distanció cuidadosamente este proceso de la estelación clásica de Kepler . Coxeter et al ignoraron estas diferencias.

Brückner

• Brückner hizo y fotografió modelos de muchos poliedros, de los cuales solo unos pocos eran icosaedros.

notas

• El número 8 se llama Equidnaedro debido a su parecido superficial con el equidna cubierto de agujas . Este nombre no está relacionado con la descripción de Kepler de los cuerpos de Kepler -Poinsot como equidnas .

Tabla de cincuenta y nueve icosaedros

Véase también

• Lista de modelos de poliedros de Wenninger  : el libro Modelos de poliedros de Wenninger incluye 21 modelos de esta lista.
• Cuerpos con simetría icosaédrica

Notas

1. ↑ Estelaciones perdidas verdaderas . Consultado el 14 de noviembre de 2015. Archivado desde el original el 13 de marzo de 2016. (indefinido)

Literatura

• Max Brukner. Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte . - Leipzig: BG Treubner, 1900. - ISBN 978-1-4181-6590-1 .  (Alemán) Edición en inglés: Polygons and Polyhedra: Theory and History .
• HSM Coxeter , Patrick du Val HT Flather, JF Petrie. Los cincuenta y nueve icosaedros. - Estudios de la Universidad de Toronto , 1938. - (serie matemática 6: 1-26.). Tercera edición (1999) TarquinISBN 978-1-899618-32-3. (Inglés)
• Magnus J. Wenninger . Modelos de poliedros. — Edición en rústica (2003). - Prensa de la Universidad de Cambridge , 1983. - ISBN 978-0-521-09859-5 .  (Inglés)
• M. Wenninger. modelos de poliedros. - "Mir", 1974.
• A. H. Wheeler. Ciertas formas del icosaedro y un método para derivar y designar poliedros superiores. — Actas del Congreso Internacional de Matemáticos . - Toronto, 1924. - T. 1. - S. 701-708.  (Inglés)

Enlaces

• Ejemplos de estelaciones del  icosaedro
•  Las cincuenta y nueve estelaciones del icosaedro regular
• Weisstein, Eric W. Cincuenta y nueve estelaciones de icosaedro  (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. Echidnahedron  (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
•  Stellaciones del icosaedro
• George Hart, 59 estelaciones del icosaedro  - archivos 3D VRML. (Inglés)