Un compuesto de poliedros es una figura formada por algunos poliedros que tienen un centro común. Las conexiones son las contrapartes tridimensionales de las conexiones poligonales como el hexagrama .
Los vértices exteriores de una conexión se pueden conectar para formar un poliedro convexo , llamado casco convexo . La conexión es una faceta del casco convexo.
Dentro del compuesto, se forma un poliedro convexo más pequeño como parte común de todos los miembros del compuesto. Este poliedro se llama núcleo de los poliedros en estrella .
Las conexiones poliédricas regulares se pueden definir como conexiones que, como en el caso de los poliedros regulares, son transitivas de vértice , transitivas de borde y transitivas de cara [ . Hay cinco conexiones regulares de poliedros.
| Compuesto | Imagen | representación esférica | casco convexo | Núcleo | Simetría | Subgrupo para un componente |
Doble |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Dos tetraedros ( octaedro estrellado ) |
Cubo | Octaedro | *432 [4,3 ] Oh |
*332 [3,3 ] Td |
Auto-dual | ||
| Cinco tetraedros | Dodecaedro | icosaedro | 532 [5,3] + yo |
332 [3,3] + T |
gemelo quiral enantiomórfico | ||
| Diez tetraedros | Dodecaedro | icosaedro | *532 [5,3] Yo h |
332 [3,3] T |
Auto-dual | ||
| Cinco cubos | Dodecaedro | Rombotriacontaedro | *532 [5,3] Yo h |
3*2 [3,3 ] Jue |
Cinco octaedros | ||
| Cinco octaedros | icosidodecaedro | icosaedro | *532 [5,3] Yo h |
3*2 [3,3 ] Jue |
cinco cubos |
El más conocido es el compuesto de dos tetraedros . Kepler llamó a este compuesto en latín stella octangula (octaedro estrellado). Los vértices de los dos tetraedros definen un cubo , y su intersección es un octaedro , cuyas caras se encuentran en los mismos planos que las caras de los tetraedros componentes. Así, la conjunción es una reducción a la estrella del octaedro y, de hecho, su única reducción posible.
El octaedro estrellado también se puede ver como un compuesto regular dual.
Un compuesto de cinco tetraedros tiene dos versiones especulares, que juntas dan un compuesto de diez tetraedros. Todos los compuestos de tetraedros son autoduales, y el compuesto de cinco cubos es dual al compuesto de cinco octaedros.
Un compuesto dual es un compuesto de un poliedro y su dual, ubicados mutuamente opuestos con respecto a una esfera inscrita o semiinscrita común, de modo que el borde de un poliedro se cruza con el borde dual del poliedro dual. Hay cinco de estos compuestos de poliedros regulares.
| Componentes | Imagen | casco convexo | Núcleo | Simetría |
|---|---|---|---|---|
| Dos tetraedros ( octaedro estrellado ) |
Cubo | Octaedro | *432 [4,3 ] Oh | |
| cubo y octaedro | dodecaedro rómbico | cuboctaedro | *432 [4,3 ] Oh | |
| dodecaedro e icosaedro | Rombotriacontaedro | icosidodecaedro | *532 [5,3] Yo h | |
| gran icosaedro y gran dodecaedro estrellado | Dodecaedro | icosidodecaedro | *532 [5,3] Yo h | |
| pequeño dodecaedro estrellado y gran dodecaedro | icosaedro | Dodecaedro | *532 [5,3] Yo h |
El tetraedro es autodual, por lo que el compuesto dual de un tetraedro con su dual también es un octaedro estrellado.
Los compuestos duales cubo-octaedro y dodecaedro-icosaedro son reducciones en estrella del cuboctaedro y el icosidodecaedro , respectivamente.
La conjunción del pequeño dodecaedro estrellado y el gran dodecaedro se ve exteriormente como el mismo pequeño dodecaedro estrellado, ya que el gran dodecaedro está contenido completamente dentro de él. Por esta razón, la imagen del pequeño dodecaedro estrellado de arriba se muestra como una estructura alámbrica.
En 1976, John Skilling publicó Compuestos uniformes de poliedros uniformes [1] en el que enumeró 75 compuestos (incluidos 6 conjuntos infinitos de compuestos prismáticos , #20-25) obtenidos a partir de poliedros uniformes mediante rotaciones. (Cada vértice es transitivo de vértice ). La lista incluye cinco compuestos de politopos regulares de la lista anterior. [una]
Estos 75 compuestos homogéneos se enumeran en la siguiente tabla. En la mayoría de los compuestos, diferentes colores corresponden a diferentes constituyentes. Algunos pares quirales están coloreados según la simetría especular.
| La conexión de los cuatro cubos (a la izquierda) no es ni derecha, ni dual, ni homogénea. Su doble compuesto de cuatro octaedros (a la derecha) es homogéneo. | |
Dos poliedros que son compuestos, pero sus elementos están estrictamente encerrados en un pequeño icosidodecaedro compuesto (un compuesto de un icosaedro y un gran dodecaedro ) y un gran icosidodecaedro compuesto (un compuesto de un pequeño dodecaedro estrellado y un gran icosaedro ). Si aceptamos la definición generalizada de un poliedro homogéneo , serán homogéneos.
La sección de pares entianomórficos en la lista de Skilling no contiene un compuesto de dos grandes dodecicosidodecaedros chatos porque las caras del pentagrama coinciden. Eliminar las caras coincidentes dará como resultado una conexión de veinte octaedros .
| 75 {4,3,3} | 75 {3,3,4} |
|---|
En el espacio de cuatro dimensiones, hay una gran cantidad de conexiones regulares de poliedros regulares. Coxeter enumeró algunos de ellos en su libro Regular Polyhedra [2] .
Auto-dual:
| Compuesto | Simetría |
|---|---|
| 120 de cinco celdas | [5,3,3], pedido 14400 |
| 5 veinticuatro celdas | [5,3,3], pedido 14400 |
Pares duales:
| Compuesto 1 | Compuesto 2 | Simetría |
|---|---|---|
| 3 celdas hexagonales [3] | 3 teseractos | [3,4,3], pedido 1152 |
| 15 dieciséis celdas | 15 teseractos | [5,3,3], pedido 14400 |
| 75 dieciséis celdas | 75 teseractos | [5,3,3], pedido 14400 |
| 300 dieciséis celdas | 300 teseractos | [5,3,3] + , pedido 7200 |
| 600 dieciséis celdas | 600 teseractos | [5,3,3], pedido 14400 |
| 25 veinticuatro celdas | 25 veinticuatro celdas | [5,3,3], pedido 14400 |
Conexiones homogéneas con poliedros tetradimensionales convexos:
| La conexión 1 es transitiva de vértice |
Compuesto 2 celular transitivo |
Simetría |
|---|---|---|
| 2 celdas hexagonales [4] | 2 teseractos | [4,3,3], pedido 384 |
| 100 veinticuatro celdas | 100 veinticuatro celdas | [5,3,3] + , pedido 7200 |
| 200 veinticuatro celdas | 200 veinticuatro celdas | [5,3,3], pedido 14400 |
| 5 seiscientas celdas | 520 celdas | [5,3,3] + , pedido 7200 |
| 10 seiscientas celdas | 10 ciento veinte celdas | [5,3,3], pedido 14400 |
Posiciones duales:
| Compuesto | Simetría |
|---|---|
| 2 cinco celdas {{3,3,3}} |
[[3,3,3]], pedido 240 |
| 2 veinticuatro celdas [5] {{3,4,3}} |
[[3,4,3]], pedido 2304 |
Conexiones en estrella auto-dual:
| Compuesto | Simetría |
|---|---|
| 5 {5.5/2.5} | [5,3,3] + , pedido 7200 |
| 10 {5.5/2.5} | [5,3,3], pedido 14400 |
| 5 {5/2,5,5/2} | [5,3,3] + , pedido 7200 |
| 10 {5/2,5,5/2} | [5,3,3], pedido 14400 |
Dobles pares de conjunciones de estrellas:
| Compuesto 1 | Compuesto 2 | Simetría |
|---|---|---|
| 5 {3,5,5/2} | 5 {5/2,5,3} | [5,3,3] + , pedido 7200 |
| 10 {3,5,5/2} | 10 {5/2,5,3} | [5,3,3], pedido 14400 |
| 5 {5,5/2,3} | 5 {3,5/2,5} | [5,3,3] + , pedido 7200 |
| 10 {5,5/2,3} | 10 {3,5/2,5} | [5,3,3], pedido 14400 |
| 5 {5/2,3,5} | 5 {5,3,5/2} | [5,3,3] + , pedido 7200 |
| 10 {5/2,3,5} | 10 {5,3,5/2} | [5,3,3], pedido 14400 |
Compuestos homogéneos de estrellas :
| La conexión 1 es transitiva de vértice |
Compuesto 2 celular transitivo |
Simetría |
|---|---|---|
| 5 {3,3,5/2 | 5 {5/2,3,3 | [5,3,3] + , pedido 7200 |
| 10 {3,3,5/2 | 10 {5/2,3,3 | [5,3,3], pedido 14400 |
En términos de teoría de grupos , si G es el grupo de simetría de un compuesto de politopos y el grupo actúa transitivamente sobre un politopo (por lo que cualquier politopo puede estar en cualquier otro, como en compuestos homogéneos), entonces si H es el estabilizador de uno elegido politopo, los politopos se pueden definir mediante la órbita G / H .
Hay dieciocho familias de dos parámetros de conexiones regulares de mosaico en el plano euclidiano. En el espacio hiperbólico se conocen cinco familias de un parámetro y diecisiete mosaicos aislados, pero la lista no está completa.
Las familias euclidianas e hiperbólicas 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞, p es un número entero) son similares a los octaedros esféricos estrellados , 2 {3,3}.
| Auto-dual | Doble | Auto-dual | |
|---|---|---|---|
| 2 {4,4} | 2 {6,3} | 2 {3,6} | 2 {∞,∞} |
| 3 {6,3} | 3 {3,6} | 3 {∞,∞} | |
Una familia bien conocida de conexiones de panal euclidianas regulares en espacios de dimensión cinco y superiores es una familia infinita de panales hiperbólicos que tienen vértices y caras comunes. Tal conexión puede tener un número arbitrario de celdas en la conexión.
También hay conexiones de mosaico regulares duales . Un ejemplo simple es la conexión E 2 de un mosaico hexagonal y su mosaico triangular dual . La conexión euclidiana de dos panales hiperbólicos es regular y dualmente regular.