Equidnaedro
| Equidnaedro | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| grupo de simetría | Icosaédrico ( I h ) | ||||||
| Tipo de | icosaedro estrellado | ||||||
| Notación | Du Val: H Wenninger : W 42 | ||||||
| Elementos (en forma de poliedro estrella) |
G = 20, PAG = 90 V = 60 ( x = −10) | ||||||
| Elementos (en forma de constelación de icosaedro) |
G = 180, P = 270 V = 92 ( x = 2) | ||||||
| Propiedades (como un poliedro estrella) |
Transitivo de vértice, transitivo de borde | ||||||
| |||||||
Echidnahedron ( eng. echidnahedron ) es la última estelación del icosaedro [1] [2] , también llamada la forma completa o final del icosaedro, ya que incluye todas las celdas del diagrama de estelación icosaedro.
El equidnaedro fue descrito por primera vez por Max Brückner en 1900. El nombre equidnaedro fue dado por Andrew Hume, basándose en el hecho de que sus ángulos sólidos en los vértices son pequeños y esto hace que parezca un erizo espinoso o equidna [3] .
Presentación
Basado en el análisis de la literatura científica de Branko Grünbaum en el artículo “¿Puede cada plano de un poliedro tener muchos lados?” ("¿Cada cara de un poliedro puede tener muchos lados?") señala que existen al menos tres métodos diferentes para ver los poliedros. En el caso del equidnaedro, estos son:
- unión de 180 caras triangulares;
- intersección de 20 caras que se intersecan a sí mismas - eneagramas ;
- intersección de polígonos en estrella de 18 ágonos [4] .
Con la forma de la constelación icosaedro
Al igual que la superficie simple y visible de un poliedro, la forma exterior del equidnaedro consta de 180 caras triangulares que forman 270 aristas, que a su vez se encuentran en 92 vértices [5] .
Todos los vértices del equidnaedro se encuentran en la superficie de tres esferas concéntricas. El grupo interior de 20 vértices forman los vértices de un dodecaedro regular ; la siguiente capa de 12 vértices forma los vértices de un icosaedro regular ; y la capa exterior de 60 vértices forma los vértices de un icosaedro truncado [6] .
| Interno | Medio | Externo | Los tres |
|---|---|---|---|
| 20 picos | 12 picos | 60 picos | 92 picos |
Dodecaedro |
icosaedro |
Icosaedro truncado |
Equidnaedro |
En forma de poliedro estrellado
La estelación final del icosaedro también se puede ver como un poliedro estrellado que se corta a sí mismo y tiene 20 caras, correspondientes a las 20 caras del icosaedro. Cada cara es un polígono de estrella irregular (o eneagrama ) [7] . Cada tres caras forman un vértice, por lo que el equidnaedro tiene 20 × 9 ÷ 3 = 60 vértices (esta capa exterior de vértices forma las puntas de las "espinas") y 20 × 9 ÷ 2 = 90 aristas (cada arista de un poliedro estrellado incluye 2 de los 180 poliedros de aristas visibles).
Como la forma final del icosaedro
Esta forma de estrella del poliedro se forma uniendo al icosaedro todos los compartimentos obtenidos al extender las caras del icosaedro con infinitos planos [8] . Así, se crea un nuevo poliedro, delimitado por estos planos como caras, y las intersecciones de estos planos son aristas. El libro Fifty-nine Icosahedrons enumera las constelaciones del icosaedro (incluido el equidnaedro) de acuerdo con un conjunto de reglas presentadas por Geoffrey Miller [1] .
Propiedades
Nombres y clasificación
- El símbolo de Du Val [9] para el equidnaedro es H , porque incluye todas las celdas en el diagrama de la constelación, incluido el nivel más externo, el nivel "h" [10] .
- En el libro Models of Polyhedra de Magnus Wenninger , el equidnaedro tiene el índice W 42 [2] .
- Si las caras del equidnaedro fueran anagramas regulares, podría considerarse un poliedro regular con el símbolo de Schläfli {9/4,3}. Esto significa que 3 caras convergen en cada vértice, donde cada cara es un polígono de estrella irregular de 9/4 [7] .
Características
- La característica de Euler del equidnaedro es 2 [5] . Esta característica se calcula según la fórmula donde Г, Р y В son los números de caras, aristas y vértices, respectivamente.
- Si consideramos al equidnaedro como un poliedro estrellado, entonces la forma final del icosaedro es un poliedro noble , ya que es isoédrico (cara-transitivo) e isogonal (vértice-transitivo) .
Fórmulas
- Si consideramos al equidnaedro como un cuerpo geométrico con longitudes de arista a , Φ a , Φ 2 a y Φ 2 a √2 (donde Φ es la proporción áurea ), entonces el área superficial del equidnaedro es [6]
- Los radios de las esferas en las que se encuentran los vértices del equidnaedro están en la proporción [6]
- El tensor de inercia del equidnaedro de densidad constante se puede representar como una matriz diagonal de 3×3 cuyos elementos diagonales principales son iguales (donde M es la masa total) [6] .
Reseña histórica
El equidnaedro pertenece a los poliedros estrellados , que fueron descritos por primera vez en la literatura científica en 1619 en el tratado Harmonices Mundi de Johannes Kepler . Kepler dio una justificación matemática para las propiedades de dos tipos de poliedros estrellados regulares : el dodecaedro estrellado pequeño y el dodecaedro estrellado grande [11] . Mucho más tarde, en 1809, Louis Poinsot redescubrió los poliedros de Kepler, y también descubrió otros dos poliedros estrellados: el gran dodecaedro y el gran icosaedro , que ahora se denominan sólidos de Kepler-Poinsot [12] . Y en 1812, Augustin Cauchy demostró que solo hay 4 tipos de poliedros estrellados regulares [7] [11] .
El equidnaedro fue descrito por primera vez en 1900 por Max Brückner en el trabajo clásico sobre poliedros titulado "Polygons and Polyhedra", donde además de él, se describían 9 formas estrelladas más del icosaedro [13] . Desde entonces, el equidnaedro comenzó a aparecer en los trabajos de otros matemáticos, y no tenía una sola designación. En 1924, Albert Willer publicó una lista de 20 estelaciones (22 copias incluidas), incluido el equidnaedro [14] . El estudio más sistemático y completo de los poliedros estrellados lo realizó Harold Coxeter , junto con Patrick du Val , Flaser y John Petrie, en 1938 en el libro Fifty-nine Icosahedrons , donde aplicaban las reglas de restricción establecidas por J. Miller. Coxeter demostró que solo hay 59 estelaciones del icosaedro, de las cuales 32 tienen simetría icosaédrica completa y 27 incompleta. Equidnaedro ocupa el octavo lugar en el libro [1] . En el trabajo Models of Polyhedra de Magnus Wenninger de 1974 , el equidnaedro se incluye como el modelo 17 del icosaedro con índice W 42 [2] .
El nombre moderno para la última estelación del icosaedro fue dado por Andrew Hume en 1995 en su base de datos Netlib como echidnahedron 15] ( el equidna u oso hormiguero puntiagudo, un pequeño mamífero cubierto de pelo duro y púas, se acurruca en una bola para defenderse ). sí mismo).
La base de datos de Netlib cubre todos los politopos regulares , sólidos de Arquímedes , una serie de prismas y antiprismas , todos los politopos de Johnson
(poliedros convexos donde cada cara es un polígono regular) y algunos poliedros extraños, incluido el equidnaedro (mi nombre, en realidad la forma final del icosaedro).
Texto original (inglés)[ mostrarocultar] "(Netlib) cubre todos los poliedros regulares, los sólidos de Arquímedes, varios prismas y antiprismas, y todos los poliedros de Johnson (todos los poliedros convexos con caras poligonales regulares) y algunos sólidos impares, incluido el equidnaedro (mi nombre; en realidad es el último estelación del icosaedro)". - [3]Notas
- ↑ 1 2 3 Coxeter y otros, 1999 .
- ↑ 1 2 3 Wenninger, 1971 .
- ↑ 1 2 Base de datos de poliedros .
- ↑ Branko Grünbaum, 2008 , pág. quince.
- ↑ 12 Polyhedra.org._ _ _
- ↑ 1 2 3 4 5 Equidnaedro en MathWorld .
- ↑ 1 2 3 Peter Cromwell, 1997 .
- ↑ Modelo Wenninger n.º 42 .
- ↑ Du Val inventó una notación simbólica para identificar conjuntos de celdas congruentes basándose en la observación de que están ubicadas en "cáscaras" alrededor del icosaedro original.
- ↑ Peter Cromwell, 1997 , pág. 259.
- ↑ 12 MathWorld._ _ _
- ↑ Luis Poinsot, 1810 .
- ↑ Max Brückner, 1900 .
- ↑ Albert Willer, 1924 .
- ↑ Modelo 141 de Andrew Hume .
Literatura
- Harold Scott MacDonald Coxeter , P. Du Val , H. T. Flather , JF Petrie. Cincuenta y Nueve Icosaedros = Los Cincuenta y Nueve Icosaedros. - 3ra ed. — Tarquin, 1999. — P. 30–31 . — 72p. - ISBN 978-1-899618-32-3 .
- Magnus J. Wenninger. Modelos de poliedro = Modelos de poliedro . - Cambridge University Press, 1971. - Pág. 65. - ISBN 0-521-09859-9 .
- Luis Pointot. Notas sobre polígonos y poliedros = Memoria sobre los polígonos y los poliedros. - J. de l'École Polytechnique, 1810. - P. 16-48.
- Peter R. Cromwell. Poliedros = Poliedros. - Cambridge University Press, 1997. - Pág. 268. - ISBN 0-521-66405-5 .
- Max Brukner. Polígonos y poliedros: teoría e historia = Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte. - Leipzig: BG Teubner Verlag, 1900. - ISBN 978-1-4181-6590-1 .
- A. H. Wheeler. Ciertas formas del icosaedro y un método para derivar y designar poliedros superiores // Proc . Intern. Matemáticas. Congreso. - Toronto, 1924. - Vol. 1.- Pág. 701-708.
- Gerald Jenkins, Magdalena Oso. La estelación final del icosaedro: un modelo matemático avanzado para recortar y pegar. - Norfolk, Inglaterra: Tarquin Publications, 1985. - ISBN 978-0-906212-48-6 .
- Branko Grunbaum. ¿Cada cara de un poliedro puede tener muchos lados? (Español) = ¿Todas las caras de un poliedro pueden tener muchos lados?. - 2008. - Pág. 15.
Enlaces
- Andrés Hume. Geometry.research › Base de datos de poliedros . Google.com. Consultado: 26 de octubre de 2014.
- Andrés Hume. Base de datos de poliedros Netlib, modelo 141 . Recuperado: 7 de noviembre de 2014.
- Eric Weistein. Kepler- Poinsot Sólido . Mathworld.wolfram.com. Consultado: 26 de octubre de 2014.
- Eric Weistein. Equidnaedro (inglés) . Mathworld.wolfram.com. Consultado: 26 de octubre de 2014.
- Eric Weistein. Estelaciones de icosaedro . Mathworld.wolfram.com. Recuperado: 7 de noviembre de 2014.
- Ralph Jones. Instrucciones para construir un modelo del equidnaedro ( Microsoft Word(.doc)). Consultado el 26 de octubre de 2014. Archivado desde el original el 4 de octubre de 2011.
- Guy Inchbald. Hacia estelar el icosaedro y facetar el dodecaedro . Recuperado: 7 de noviembre de 2014.
- Equidnaedro (inglés) . Sistemas de medios Honeylocust (2006). Consultado el 26 de octubre de 2014. Archivado desde el original el 7 de octubre de 2008.
- La estelación final del icosaedro . Wenninger.narod.ru. Recuperado: 3 de noviembre de 2014.
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