Trapecio isósceles

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Trapecio isósceles

Tipo de	cuadrilátero , trapezoide
costillas	cuatro
tipo de simetría	Dih 2 , [ ], (*), orden 2
polígono dual	deltoides
Propiedades
convexo , inscrito

En geometría euclidiana, un trapezoide isósceles es un cuadrilátero convexo con un eje de simetría que pasa por los puntos medios de dos lados opuestos. Este cuadrilátero es un caso especial de trapecios . En cualquier trapezoide isósceles, los dos lados opuestos (bases) son paralelos y los otros dos lados (lados) tienen la misma longitud (una propiedad que también cumple un paralelogramo ). Las diagonales también tienen la misma longitud. Los ángulos en cada base son iguales y los ángulos en diferentes bases son adyacentes (sumando 180º).

Ocasiones especiales

Los rectángulos y los cuadrados suelen tratarse como casos especiales de trapecios isósceles, aunque algunas fuentes no los consideran como tales.

Otro caso especial es un trapezoide con 3 lados iguales. En la literatura inglesa, se llama trapezoide trilateral (trapezoide de tres lados) [1] , trapezoide trisósceles (trapezoide triisosceles) [2] o, con menos frecuencia, symtra [3] . Tal trapecio se puede considerar como el corte de 4 vértices consecutivos de un polígono regular que tiene 5 o más lados.

Autointersecciones

Cualquier cuadrilátero que no se corte a sí mismo con un solo eje de simetría debe ser un trapezoide isósceles o un deltoides [3] . Sin embargo, si se permite la autointersección, el conjunto de cuadriláteros simétricos debe ampliarse para incluir trapecios isósceles autointersecantes, en los que los lados que se intersecan son iguales y los otros dos lados son paralelos, y antiparalelogramos , en los que los lados opuestos son iguales. longitud.

Para cualquier antiparalelogramo, el casco convexo es un trapezoide isósceles y se puede obtener un antiparalelogramo a partir de las diagonales de un trapezoide isósceles [4] .

Trapecio isósceles convexo	Trapecio isósceles que se corta a sí mismo	antiparalelogramo

Descripciones

Si el cuadrilátero es un trapezoide , no es necesario comprobar si los lados son iguales (y no es suficiente, ya que los rombos son casos especiales de trapecios con lados de igual longitud, pero no tiene simetría axial por los puntos medios de las bases) . Cualquiera de las siguientes propiedades distingue a un trapezoide isósceles de otros trapecios:

Las diagonales tienen la misma longitud.
Los ángulos de la base son iguales.
El segmento de línea que une los puntos medios de los lados paralelos es perpendicular a ellos.
Los ángulos opuestos son complementarios (hasta 180º), lo que, a su vez, implica que los trapecios isósceles son cuadriláteros inscritos .
Las diagonales se dividen por el punto de intersección en segmentos iguales por pares. En términos de la siguiente figura, AE = DE , BE = CE (y AE ≠ CE si se excluyen los rectángulos).

Si los rectángulos se incluyen en la clase de trapecios, entonces se puede definir un trapezoide isósceles como "un cuadrilátero inscrito con diagonales iguales" [5] , como "un cuadrilátero inscrito con un par de lados paralelos", o como "un cuadrilátero convexo con un eje de simetría que pasa por los puntos medios de los lados opuestos".

Ángulos

En un trapezoide isósceles, los ángulos en las bases son iguales en pares. En la siguiente figura, los ángulos ∠ABC y ∠DCB son los mismos ángulos obtusos , y los ángulos ∠BAD y ∠CDA son los mismos ángulos agudos .

Como las líneas AD y BC son paralelas, los ángulos que pertenecen a bases opuestas son complementarios, es decir, ∠ ABC + ∠ BAD = 180°.

Diagonales y altura

Las diagonales de un trapecio isósceles son iguales. Es decir, cualquier trapezoide isósceles es un cuadrilátero equidiagonal . Sin embargo, las diagonales de un trapezoide isósceles se dividen en la misma proporción. En la figura, las diagonales AC y BD tienen la misma longitud ( AC = BD ) y se dividen entre sí en segmentos de la misma longitud ( AE = DE y BE = CE ).

La razón en que se dividen las diagonales es igual a la razón de las longitudes de los lados paralelos, es decir

{\frac {AE}{EC}}={\frac {DE}{EB}}={\frac {AD}{BC}}.

La longitud de cada diagonal, según el corolario del teorema de Ptolomeo , viene dada por la fórmula

{\displaystyle p={\sqrt {ab+c^{2))))

donde a y b son las longitudes de los lados paralelos AD y BC y c es la longitud de cada lado de AB y CD .

La altura, según el teorema de Pitágoras , viene dada por la fórmula

h={\sqrt {p^{2}-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}}}={\tfrac {1}{2}} {\sqrt {4c^{2}-(ab)^{2}}}.

La distancia del punto E a la base AD viene dada por la fórmula

d={\frac{ah}{a+b))

donde a y b son las longitudes de las bases AD y BC , y h es la altura del trapezoide.

Área

El área de un trapezoide isósceles (así como cualquier) es igual a la mitad del producto de la suma de las bases y la altura. En la figura, si tomamos AD \ u003d a , BC \ u003d b , y la altura h es igual a la longitud del segmento entre las líneas AD y BC (perpendiculares a ellas), entonces el área K viene dada por la fórmula :

K={\frac {h}{2}}\left(a+b\right).

Si en lugar de la altura del trapezoide se conocen las longitudes de los lados AB = CD = c , entonces se puede calcular el área utilizando la fórmula de Brahmagupta para el área de los cuadriláteros inscritos. La igualdad de los dos lados simplifica la fórmula a

K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)^{2))},

donde es el semiperímetro del trapezoide. Esta fórmula es similar a la fórmula de Heron para calcular el área de un triángulo. La misma fórmula se puede reescribir como $s={\tfrac{1}{2}}(a+b+2c)$

K={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b)^{2}(a-b+2c)(b-a+2c))).

Radio del círculo circunscrito

El radio del círculo circunscrito viene dado por la fórmula [6]

R=c{\sqrt {\frac {ab+c^{2}}{4c^{2}-(ab)^{2}}}}.

Para un rectángulo donde a = b , la fórmula se simplifica a . $R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}$

Véase también

Trapecio isósceles circunscrito

Literatura

George Bruce Halsted. Geometría Sintética Elemental. - J. Wiley & hijos, 1896. .
William Dwight Whitney, Benjamín Eli Smith. Diccionario y enciclopedia del siglo. — The Century co., 1911. .

Notas

↑ Michael de Villiers, Hierarchical Quadrilateral Tree [1] Archivado el 22 de diciembre de 2014 en Wayback Machine .
↑ trapezoide isósceles . Consultado el 25 de septiembre de 2016. Archivado desde el original el 26 de agosto de 2016. (indefinido)
↑ 12 Halsted , 1896 , pág. 49–53.
↑ Whitney y Smith, 1911 , pág. 1547.
↑ Mzone.mweb.co.za . Consultado el 25 de septiembre de 2016. Archivado desde el original el 19 de julio de 2011. (indefinido)
↑ Trapezoid en Math24.net: Formulas and Tables [2] Archivado el 28 de junio de 2018 en Wayback Machine . Consultado el 1 de julio de 2014.

Enlaces

Algunas fórmulas de ingeniería que involucran trapecios isósceles