Trapecio

Un trapecio (del otro griego τραπέζιον - " mesa " de τράπεζα - " mesa ") es un cuadrilátero convexo , en el que dos lados son paralelos , y los otros dos lados no son paralelos [1] . A menudo, la última condición se omite en la definición de un trapezoide (ver más abajo). Los lados opuestos paralelos se llaman bases del trapezoide, y los otros dos se llaman lados. La línea mediana es un segmento que conecta los puntos medios de los lados.

Variantes de definición

Hay otra definición de trapezoide.

Un trapezoide es un cuadrilátero convexo con dos lados paralelos [2] [3] . Según esta definición, un paralelogramo y un rectángulo son casos especiales de un trapezoide. Sin embargo, al usar esta definición, la mayoría de los signos y propiedades de un trapezoide isósceles dejan de ser ciertos (ya que el paralelogramo se convierte en su caso especial). Las fórmulas dadas en la sección Propiedades generales de la fórmula son verdaderas para ambas definiciones de un trapezoide.

Definiciones relacionadas

Elementos del trapezoide

Los lados opuestos paralelos se llaman bases de un trapezoide.
Los otros dos lados se llaman lados .
El segmento que une los puntos medios de los lados se llama línea media del trapezoide.
El ángulo en la base de un trapezoide es su ángulo interno formado por la base con el lado.

Tipos de trapecios

Un trapezoide cuyos lados son iguales se llama trapezoide isósceles (con menos frecuencia un trapezoide isósceles [4] o isósceles [5] ).
Un trapezoide que tiene ángulos rectos en los lados se llama rectangular .

Trapecio isósceles
Trapezoide rectangular

Propiedades

La línea mediana del trapezoide es paralela a las bases e igual a la mitad de su suma. [7]
El segmento que conecta los puntos medios de las diagonales del trapezoide es igual a la mitad de la diferencia de las bases y se encuentra en la línea media.
Un segmento paralelo a las bases y que pasa por el punto de intersección de las diagonales se divide por esta última por la mitad y es igual a la media armónica de las longitudes de las bases del trapezoide. ${\frac{2xy}{x+y}}$
Se puede inscribir un círculo en un trapezoide si la suma de las longitudes de las bases del trapezoide es igual a la suma de las longitudes de sus lados.
El punto de intersección de las diagonales de un trapezoide, el punto de intersección de las prolongaciones de sus lados y los puntos medios de las bases se encuentran en la misma línea recta.
Si la suma de los ángulos en una de las bases del trapezoide es 90°, entonces las extensiones de los lados laterales se cortan en ángulo recto, y el segmento que conecta los puntos medios de las bases es igual a la mitad de la diferencia de las bases .
Las diagonales de un trapezoide lo dividen en 4 triángulos. Dos de ellos, adyacentes a las bases, son similares. Los otros dos, adyacentes a los lados, tienen la misma área.
Si la razón de las bases es , entonces la razón de las áreas de los triángulos adyacentes a las bases es . $k$ $K^{2}$
La altura del trapezoide está determinada por la fórmula:

h={\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {c^{2}-d^{2}}{ba}}+ba\right) ^{2}}}

donde es la base mayor, es la base menor, y son los lados.

b

a

C

d

Las diagonales de un trapecio y están relacionadas con los lados por la razón: $d_{1}$ $d_{2}$

d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2ab+c^{2}+d^{2}

Se pueden expresar explícitamente:

d_{1}=AC={\sqrt {ab+d^{2}+{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{ba))))

d_{2}=BD={\sqrt {ab+c^{2}-{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{ba))))

Si, por el contrario, se conocen los lados y las diagonales, entonces las bases se expresan mediante las fórmulas:

a={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{1}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{2}^{2})^ {2}}{2(c^{2}-d^{2}+d_{1}^{2}-d_{2}^{2})}}}

b={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{2}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{1}^{2})^ {2}}{2(c^{2}-d^{2}-d_{1}^{2}+d_{2}^{2})}}}

y con bases y diagonales conocidas, los lados son como sigue:

c={\sqrt {\frac {a(d_{2}^{2}-b^{2})+b(d_{1}^{2}-a^{2})}{a +b}}}

d={\sqrt {\frac {a(d_{1}^{2}-b^{2})+b(d_{2}^{2}-a^{2})}{a +b}}}

Si se conoce la altura , entonces

h

d_{1}={\raíz cuadrada {b^{2}+d^{2}-2b{\raíz cuadrada {d^{2}-h^{2))))}={\raíz cuadrada {h^{2 }+\izquierda(b-{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}\derecha)^{2}}}

d_{2}={\raíz cuadrada {b^{2}+c^{2}-2b{\raíz cuadrada {c^{2}-h^{2))))}={\raíz cuadrada {h^{2 }+\izquierda(b-{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}\derecha)^{2}}}

La recta de Newton para un trapezoide coincide con su línea media .

Trapezoide isósceles

Un trapezoide es isósceles si y solo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

la recta que pasa por los puntos medios de las bases es perpendicular a las bases (es decir, es el eje de simetría del trapezoide);
la altura bajada de la parte superior a la base mayor la divide en dos segmentos, uno de los cuales es igual a la mitad de la suma de las bases, el otro es la mitad de la diferencia de las bases;
los ángulos en cualquier base son iguales;
la suma de los ángulos opuestos es 180°;
las longitudes de las diagonales son iguales;
se puede describir un círculo alrededor de este trapezoide;
los vértices de este trapezoide son también los vértices de algún antiparalelogramo .

Además

si en un trapezoide isosceles las diagonales son perpendiculares entonces la altura es la mitad de la suma de las bases.

Círculos inscritos y circunscritos

Si la suma de las bases de un trapezoide es igual a la suma de los lados, entonces se puede inscribir un círculo en él . La línea mediana en este caso es igual a la suma de los lados dividida por 2 (ya que la línea mediana del trapezoide es igual a la mitad de la suma de las bases).
En un trapezoide, su lado es visible desde el centro del círculo inscrito en un ángulo de 90°.
Si un trapezoide se puede inscribir en un círculo, entonces es isósceles.
Radio de la circunferencia circunscrita a un trapezoide isósceles:

R={\frac {bcd_{1}}{4{\sqrt {p(pb)(pc)(p-d_{1})))}}={\sqrt {\frac {ab+c^{2 }}{4-\izquierda({\frac {ba}{c}}\derecha)^{2}}}}

donde es el lado lateral, es la base mayor, es la base menor, son las diagonales de un trapezoide isósceles.

p={\frac{1}{2}}(b+c+d_{1})\,,\,c

b

a

d_{1}=d_{2}

Si , entonces se puede inscribir una circunferencia de radio en un trapezoide isósceles $a+b=2c$

r={\frac {h}{2}}={\frac {\sqrt {ab}}{2}}

Si un círculo con radio está inscrito en un trapezoide , y divide el lado lateral por el punto de contacto en dos segmentos, y entonces . $r$ $v$ $w$ $r={\raíz cuadrada {vw))$

Área

Estas son las fórmulas que son específicas para el trapezoide. Ver también fórmulas para el área de cuadriláteros arbitrarios .

Si y son bases y son alturas, la fórmula del área es : $a$ $b$ $h$

S={\frac{(a+b)}{2}}h

En el caso - línea media y - altura, fórmula del área : $metro$ $h$

S=\displaystyle mh

Nota: Las dos fórmulas anteriores son equivalentes porque la mitad de la suma de las bases es igual a la línea media del trapezoide:

m={\frac{(a+b)}{2}}

La fórmula, donde están las bases, y son los lados del trapezoide: $a<b$ $C$ $d$

S={\frac {a+b}{4(ba)}}{\sqrt {(a+c+db)(a+dbc)(a+cbd)(b+c+da)))).

S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {c^{2}-d^{ 2}}{ba}}+ba\derecha)^{2}}}

La línea media divide la figura en dos trapecios, cuyas áreas están relacionadas como [8] $metro$

{\frac {S_{1}}{S_{2}}}={\frac {3a+b}{a+3b}}

El área de un trapezoide isósceles con un círculo inscrito radio de y un ángulo en la base : $r$ $\alfa$

S={\frac{4r^{2}}{\sin {\alfa}}}

Área de un trapezoide isósceles:

S=(bc\cos {\gamma })c\sin {\gamma }=(a+c\cos {\gamma })c\sin {\gamma }

donde es el lado, es la base mayor, es la base menor, es el ángulo entre la base mayor y el lado [9] .

C

b

a

\gama

Área de un trapezoide isósceles por sus lados

S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}(ba)^{2}}}

Historia

La palabra "trapezoide" proviene de la palabra griega de otro griego. τραπέζιον "mesa" (abreviado de τράπεζα "mesa"), que significa mesa. En ruso, la palabra "comida" (comida) proviene de esta palabra.

Notas

↑ Diccionario enciclopédico matemático . - M .: Enciclopedia soviética , 1988. - S. 587 .
↑ Todas las Matemáticas Elementales . Consultado el 6 de julio de 2015. Archivado desde el original el 9 de julio de 2015. (indefinido)
↑ Wolfram MathWorld . Consultado el 6 de julio de 2015. Archivado desde el original el 19 de abril de 2015. (indefinido)
↑ Equipo de autores. Un libro de referencia para estudiantes moderno. 5-11 grados. Todos los artículos . — Litros, 2015-09-03. - S. 82. - 482 pág. — ISBN 9785457410022 .
↑ MI Skanavi. Matemáticas elementales . - 2013. - S. 437. - 611 p. — ISBN 9785458254489 .
↑ Cuadriláteros . Archivado el 16 de septiembre de 2015 en Wayback Machine .
↑ Geometría según Kiselyov . Archivado el 1 de marzo de 2021 en Wayback Machine , § 99.
↑ Zaitsev V.V., Ryzhkov V.V., Skanavi M.I. Matemáticas elementales. 2ª ed., revisada. y adicional — M.: Nauka, 1974. — 592 p.
↑ Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes de instituciones de educación superior 1986. S. 184

polígonos

Por número de lados

monógono
Grande en
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octágono
pentágono
Decágono
Endecágono
Dodecágono
Trece
tetradecágono
Pentágono
Hexágono
De diecisiete
octágono
Diecinueveagón
Dodecágono
Veintiún lados
Veintidós ángulo
veintetrigon
veinte cuadrangular
Veinte pentágono
Veinte octágono
Tridecágono
Thirty-Biagon
Cuarenta cuadrados
Cuarenta bicagón
pentecostal
pentecostal
Hexágono
Sesenta y cuatro
heptágono
octágono
nonágono
[ es
Millagón
Diezmil-gon
cienmilésima
Milliogon
infinito

correcto

convexo	Triángulo Cuadrado Pentágono Hexágono Heptágono Octágono pentágono tetradecágono De diecisiete 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
estrellado	Pentagrama hexagrama Heptagrama Octagrama ( Estrella de Lakshmi ) Eneagrama Decagrama Endecagrama dodecagrama

triangulos

cuadriláteros

ver también

Lista de polígonos
Punto perteneciente a un polígono
Teorema de Bolyai-Gervin
Teorema de Brahmagupta
Teorema de Gauss-Wanzel
Fórmula pico
Teorema de la suma de los ángulos del polígono
Relación Bretschneider