Grupo de simetría de puntos cristalográficos

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Un grupo de simetría puntual cristalográfica es un grupo de simetría puntual que describe la macrosimetría de un cristal . Dado que solo se permiten 1, 2, 3, 4 y 6 órdenes de ejes (rotación rotacional e impropia) en los cristales, solo 32 del número infinito de grupos de simetría puntual son cristalográficos.

Notación

Simbolismo de Bravais

Se utiliza principalmente con fines educativos y se reduce a enumerar todos los elementos de un grupo de puntos. Los ejes rotatorios de simetría se denotan con la letra L con un subíndice n correspondiente al orden del eje ( ) — , , y . Los ejes invertidos (una combinación de rotación con inversión) se denotan con la letra Ł con un subíndice n correspondiente al orden del eje ( Ł n ) - Ł 2 , Ł 3 , Ł 4 y Ł 6 . El eje de inversión de primer orden (centro de inversión) se denota con el símbolo C. El eje de inversión de segundo orden es simplemente el plano de simetría y generalmente se denota con el símbolo P. Para refinar la orientación del plano con respecto al eje principal, se pueden usar diferentes índices, por ejemplo, || y ⊥. Por ejemplo, el símbolo L 2 P ⊥ C denota un grupo formado por un eje de segundo orden y un plano perpendicular a él (y, como consecuencia de su interacción, el centro de inversión), y el símbolo L 2 2 P | | - un conjunto formado por un eje de segundo orden y dos planos paralelos a él (aunque en el caso de planos solo paralelos, se suele omitir el símbolo || y será L 2 2 P ). Símbolo L 4 4 L 2 4 P || P ⊥ C denota un grupo que consta de un eje de cuarto orden, cuatro ejes de segundo orden perpendiculares a él, cuatro planos paralelos, uno perpendicular al plano y el centro de inversión. $L_{n}$ $L_{1}$ $L_{2}$ $L_{3}$ $L_{4}$ $L_{6}$

Simbolismo de Schoenflies

El simbolismo de Schoenflies se basa en la clasificación de grupos de puntos por familias y se usa ampliamente para denotar todos los grupos de puntos en general, y no solo los cristalográficos.

Una familia de grupos con un solo eje giratorio se denota con la letra latina C con un índice que indica el orden del eje. Los cristalográficos incluyen C 1 , C 2 , C 3 , C 4 y C 6 .

La adición de un plano horizontal a los grupos C n se denota por el índice adicional h . Obtenemos los grupos C 2h , C 3h , C 4h y C 6h .

La adición de planos verticales a los grupos C n se denota por el índice adicional v . Grupos C 2v , C 3v , C 4v y C 6v .

Dado que no hay direcciones especiales en el grupo C 1 , el plano agregado no puede caracterizarse como vertical u horizontal. Tal plano se denota por el índice s . Por lo tanto, el símbolo de un grupo que consta de un plano de simetría es C s ( alemán spiegel - espejo).

Los grupos con ejes de segundo orden, perpendiculares al eje principal, se indican con la letra D con un índice que muestra el orden del eje de rotación principal. Los cristalográficos son D 2 , D 3 , D 4 y D 6 .

La adición de un plano horizontal a los grupos D n se denota, como en el caso de C n , por un índice adicional h . Los grupos son D 2h , D 3h , D 4h y D 6h .

La adición de planos verticales a los grupos D n es ambigua, ya que los planos pueden ubicarse tanto entre los ejes horizontales de segundo orden como coincidir con ellos. En el primer caso, se suma el índice d , que denota la disposición diagonal de los planos (en diagonal entre las direcciones de los ejes de segundo orden). Se obtienen los grupos cristalográficos D 2d y D 3d . En los grupos D nd , la interacción de los ejes horizontales de segundo orden y los planos especulares verticales conduce a la aparición de un eje especular de orden 2n . Por tanto, los grupos D 4d y D 6d no son cristalográficos, ya que contienen ejes de espejo de orden 8 y 12, respectivamente. Sumando a los grupos D n planos verticales a lo largo de los ejes de segundo orden se genera un plano de simetría horizontal y se obtienen los grupos D nh descritos anteriormente

Los grupos que consisten en un eje de espejo se indican con el símbolo S n . Para n impar , el eje del espejo equivale a la presencia de un eje de rotación de orden n y un plano perpendicular a él, es decir, el grupo C nh , por lo tanto, en los grupos S n , el índice n es siempre par. Estos incluyen S 2 (un grupo que consta únicamente del centro de inversión), S 4 y S 6 . Cualquier eje de espejo se puede describir de la misma manera que el eje de inversión, por lo tanto, una designación alternativa para estos grupos es C ni , donde n es el orden del eje de inversión. Se obtienen C i = S 2 , C 4i = S 4 y C 3i = S 6 .

Los grupos de puntos cristalográficos en los que hay varios ejes de orden superior (es decir, más de dos órdenes) se denotan con los símbolos T u O , dependiendo de los ejes de rotación presentes en ellos. Los índices adicionales h y d indican la presencia de planos de simetría horizontales (y verticales) y diagonales. Si el grupo contiene solo ejes de rotación de segundo y tercer orden, entonces el grupo se denota con el símbolo T (ya que tal combinación de ejes de rotación está presente en el tetraedro). Si el grupo contiene solo ejes de rotación de 2, 3 y 4 órdenes, entonces el grupo se denota con el símbolo O (ya que tal combinación de ejes de rotación está presente en el octaedro). La suma de planos horizontales de simetría conduce a los grupos T h y O h ( O h es el grupo de simetría del cubo y el octaedro). Ambos grupos contienen planos horizontales y verticales. Al agregar planos diagonales al grupo T , se obtiene el grupo T d (el grupo de simetría del tetraedro). El grupo O d no existe, ya que agregar planos diagonales al grupo O conducirá al grupo de simetría límite de una bola que contiene todas las rotaciones y reflexiones posibles.

La notación Schoenflies se utiliza en teoría de grupos , física y cristalografía . En el simbolismo de Schoenflies, solo se utilizan elementos de simetría generativa (es decir, de los que se pueden derivar todos los demás elementos de simetría del grupo). Las designaciones son invariantes con respecto a la elección del sistema de coordenadas, lo que es tanto una ventaja cuando estamos simplemente interesados en la simetría del sistema, como una desventaja si la orientación de los elementos de simetría del grupo de puntos es importante con respecto a otros objetos, por ejemplo, el sistema de coordenadas del cristal, o con respecto a los ejes del grupo espacial de las celosías de Bravais . Por lo tanto, los símbolos de Hermann-Mogen se usan con mayor frecuencia en cristalografía, especialmente para describir grupos espaciales.

Simbolismo de Hermann - Mogen (simbolismo internacional)

El símbolo de Herman-Mogen denota elementos de simetría simétricamente no equivalentes. Los ejes de rotación de simetría se indican con números arábigos: 1, 2, 3, 4 y 6. Los ejes de inversión se indican con números arábigos con un guión en la parte superior: 1 , 3 , 4 y 6 . En este caso, el eje 2 , que es simplemente un plano de simetría, se denota con el símbolo m (inglés mirror - espejo). La dirección del plano es la dirección perpendicular a él (es decir, el 2 eje ). Los ejes de espejo no se utilizan en símbolos internacionales. La orientación del elemento relativa a los ejes de coordenadas viene dada por la posición del elemento en el símbolo del grupo. Si la dirección del eje de simetría coincide con la dirección del plano, entonces se escriben en la misma posición que una fracción. Si el eje de inversión tiene una simetría mayor que el eje de rotación coincidente con él, entonces se indica en el símbolo (es decir, no escriben , sino 6 ; si hay un centro de inversión en el grupo, no 3, sino 3 ). $\color {Negro}{\tfrac {3}{m}}$

La categoría más baja son los grupos de puntos, en los que el orden máximo de cualquier eje (rotación o rotación impropia) es igual a dos. Incluye los grupos 1, 1 , 2, m, , 222, mm2 y . Si hay tres posiciones en el símbolo de grupo, entonces $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$

en la 1ra posición - dirección a lo largo del eje X

en la 2ª posición - dirección a lo largo del eje Y

en la 3ra posición - dirección a lo largo del eje Z

En una configuración personalizada, el grupo mm2 se puede escribir como m2m o como 2 mm. De manera similar, los grupos 2, m y se pueden escribir con más detalle, indicando a lo largo de qué eje de coordenadas va la dirección del eje y / o plano de segundo orden. Por ejemplo, 11m, 1m1 o m11. Esta característica del simbolismo se utiliza para describir sin ambigüedades grupos espaciales con una elección diferente de sistema de coordenadas, ya que los símbolos de los grupos espaciales se derivan de los símbolos de sus grupos de puntos correspondientes. $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$

Categoría media : grupos de puntos en los que hay un eje de orden por encima de dos (eje de orden más alto). Aquí cabe señalar que la cristalografía utiliza un sistema de coordenadas cristalográficas asociado con la simetría del cristal. En este sistema, los ejes seleccionan direcciones especiales en el cristal (las direcciones a lo largo de las cuales van los ejes de simetría o traslación). Por lo tanto, en presencia de un eje de orden 3 o 6, el ángulo [1] entre las direcciones X e Y es de 120°, y no de 90° como en el sistema de coordenadas cartesiano habitual .

en la primera posición: la dirección del eje principal, es decir, el eje Z

en la 2 posicion - la direccion lateral. Es decir, la dirección a lo largo del eje X y el eje Y equivalente

en la 3ra posición - una dirección diagonal entre direcciones laterales simétricamente equivalentes

Esta categoría incluye los grupos 3, 4, 6, 3 , 4 , 6 , 32, 422, 622, 3m, 4mm, 6mm, 3 , 4 2m, 6 m2 , , y . $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {4}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {6}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$

Como el eje 3 y el plano perpendicular a él equivalen al eje 6 , entonces = 6 y m2 = 6 m2, pero se recomienda utilizar la notación con el eje invertido 6 , ya que su simetría es mayor que la del 3 eje Los grupos 4 2m y 6 m2 se pueden escribir como 4 m2 y 6 2m. Arriba estaban las designaciones adoptadas en la literatura en idioma ruso. La secuencia de símbolos 2 y m en estos grupos se vuelve importante cuando se describen grupos espaciales derivados de ellos, ya que el elemento en la segunda posición está dirigido a lo largo del eje de la celda de Bravais, y el elemento en la tercera posición está dirigido a lo largo de la diagonal de la cara. Por ejemplo, los símbolos P 4 2m y P 4 m2 representan dos grupos espaciales diferentes. El grupo 32 también se puede escribir con mayor detalle como 321 o 312 para diferentes orientaciones del eje 2. Asimismo, diferentes orientaciones dan como resultado dos grupos espaciales diferentes P321 y P312. Lo mismo se aplica a los grupos 3m (entradas alternativas 3m1 y 31m) y 3 (entradas alternativas 3 1 y 3 1 ). $\color {Negro}{\tfrac {3}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {3}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$

La categoría más alta son los grupos de puntos en los que hay varios ejes de orden superior.

en la primera posición - direcciones equivalentes X, Y, Z

en 2ª posición - siempre presente allí cuatro ejes 3 o 3

en la 3ra posición - la dirección diagonal entre los ejes de coordenadas

Esta categoría incluye cinco grupos - 23, 432, 3 , 4 3m y 3 $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {4}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$

Los símbolos internacionales generalmente se simplifican reemplazándolos con m si el eje n es generado por otros elementos de simetría indicados en el símbolo. No puede eliminar solo la designación del eje principal en la categoría intermedia. Por ejemplo, escriben como mmm, como mm y 3 como m 3 m. $\color {Negro}{\tfrac {n}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {4}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {4}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$

Símbolos de Shubnikov

Los símbolos de Shubnikov ocupan una posición intermedia entre los símbolos de Schoenflies y los símbolos de Hermann-Mogen. En apariencia, son más similares a estos últimos, pero en significado están más cerca de los símbolos de Schoenflies. Al igual que en los símbolos de Herman-Mogen, los ejes se indican con números arábigos y el plano con el símbolo m . Sin embargo, para designar el eje de rotación impropia se elige el eje del espejo, y no el de inversión, como en el símbolo internacional. El eje del espejo se indica mediante un número arábigo con un signo de tilde: un eje de espejo de segundo orden (igual que el centro de inversión 1 ), un eje de espejo de cuarto orden (también conocido como eje de inversión de cuarto orden 4 ) y un eje de espejo de sexto orden ( equivalente al eje de inversión de tercer orden 3 ). Al igual que en los símbolos de Schoenflies, solo se denotan elementos generadores de simetría. Por ejemplo, el símbolo de Shubnikov 4 : 2, así como la D 4 de Schoenflies , significa que el grupo está formado por un eje de 4° orden y un eje de 2° orden perpendicular a él, mientras que el símbolo internacional 422 también indica la presencia en el grupo ejes simétricamente no equivalentes de segundo orden. La dirección de los ejes laterales y de los planos se indica mediante el signo : si son perpendiculares al eje principal, • - si son paralelos al eje principal y / - si están inclinados con respecto al eje principal. Preste atención a las designaciones de los grupos y . Así como en los símbolos internacionales correspondientes 4 2m y 3 m, designan los ejes de rotación impropia, mientras que en los símbolos de Schoenflies D 2d y D 3d solo se denotan los ejes de rotación que forman parte de los ejes de rotación impropia (se incluye el eje 2 y el eje 3 está incluido en ). ${\ tilde {2}}$ ${\ tilde {4}}$ ${\ tilde {6}}$ ${\tilde {4}}\cpunto m$ ${\tilde {6}}\cpunto m$ ${\ tilde {4}}$ ${\ tilde {6}}$

Notación Orbifold

La notación orbifold fue propuesta por William Thurston y popularizada por John Conway . [2] [3] En principio, se introdujo para describir grupos de simetría en superficies bidimensionales de curvatura constante (por ejemplo, 17 grupos cristalográficos bidimensionales en un plano, grupos de simetría en un plano hiperbólico, grupos de simetría en una esfera) , pero dado que los grupos de simetría en una esfera son grupos de puntos tridimensionales equivalentes, estas notaciones también se pueden usar para este último. Aquí el significado de la notación orbifold se explica en la descripción de grupos de puntos tridimensionales.

Como en el sistema internacional, la presencia de ejes de simetría se indica con números arábigos, y ambas designaciones indican no solo elementos generadores, sino también simétricamente no equivalentes. Aquí, sin embargo, hay una ligera diferencia: en el sistema orbifold, no solo se denotan ejes de simetría no equivalentes, sino direcciones no equivalentes. Cada eje tiene dos direcciones ("arriba y abajo" para vertical o "izquierda y derecha" para horizontal). Por ejemplo, en grupos con un solo eje ( C n según Schoenflies), estas direcciones no son equivalentes, por lo que dichos grupos se denotan como nn. Los grupos cristalográficos incluyen los grupos 11, 22, 33, 44 y 66. En los grupos con ejes de segundo orden perpendiculares al eje principal ( D n según Schoenflies), los ejes de segundo orden "invierten" el eje principal en 180 grados, haciendo así que ambos direcciones son equivalentes. Sin embargo, hay dos tipos de direcciones de segundo orden en dichos grupos, por lo que los grupos se denotan como n22. El orden de los números no es importante, solo es importante su posición en relación con el símbolo del plano de simetría (si está presente en el grupo), que se discutirá a continuación. Los grupos 222, 322, 422 y 622 serán cristalográficos (también puedes escribir 222, 223, 224 y 226). Es interesante comparar estos símbolos con los correspondientes símbolos internacionales 222, 32, 422 y 622. En grupos con un eje principal de orden par, hay dos clases de ejes horizontales simétricamente no equivalentes de segundo orden (por lo tanto, dos 2s en el símbolo internacional), pero para cada uno de los ejes, ambas direcciones son equivalentes. En grupos con un eje principal de orden impar, todos los ejes de segundo orden son equivalentes (por lo tanto, el símbolo internacional es 32, no 322), pero las direcciones "izquierda" y "derecha" de estos ejes horizontales son diferentes, por lo que todavía obtenemos dos clases de direcciones simétricamente no equivalentes de segundo orden, y en la notación orbifold obtenemos 322 (522, 722, etc.).

La presencia de uno o más planos de simetría en un grupo se indica con un solo asterisco *. Además, si el símbolo del eje está ubicado a la derecha del asterisco, entonces los planos de simetría pasan por el eje (n planos a través del eje de orden n), si el número está ubicado a la izquierda del asterisco, entonces el Los planos no pasan por el eje. Por ejemplo, en el grupo *332 ( T d según Schoenflies), los planos pasan por todos los ejes, y en el grupo 3 * 2 ( T h según Schoenflies) los planos pasan solo por los ejes de segundo orden, pero no por los ejes de tercer orden.

Algunos ejemplos más:

En grupos con un plano de simetría perpendicular al eje principal de simetría ( C nh según Schoenflies), ambas direcciones del eje se vuelven equivalentes y los grupos se denotan con el símbolo n*. Los grupos cristalográficos serán 2*, 3*, 4* y 6*. Si el plano de simetría pasa por el eje ( C nv según Schoenflies), entonces, como se mencionó anteriormente, el asterisco se coloca a la izquierda del número y obtenemos los grupos *22, *33, *44, *66 . Los números vuelven a duplicarse, ya que las direcciones del eje principal ("arriba y abajo") vuelven a ser no equivalentes.

No solo los planos de simetría pueden traducir partes de una figura (fragmentos de un motivo) en simétricas especulares. Por ejemplo, tales elementos incluyen ejes de espejo e inversión. Para grupos cristalográficos bidimensionales en un plano, dicho elemento es una reflexión rasante (es decir, una reflexión con un desplazamiento simultáneo a lo largo de la línea de reflexión). La presencia de dicho elemento en un grupo se denota con el icono x ("milagro" según Conway). Este ícono se usa solo si la acción del elemento no se puede representar de ninguna manera como una combinación de otros elementos del símbolo del grupo. En el caso de grupos de puntos tridimensionales, esto se refiere a grupos que consisten en un solo eje de espejo de orden par, S 2 = C i , S 4 y S 6 . Se etiquetarán como 1x, 2x y 3x, respectivamente.

Notación de Coxeter

Inicialmente, Coxeter utilizó estas notaciones para grupos formados por un conjunto de planos de simetría. Cuando dos planos de simetría se intersecan en un ángulo de grados, se forma un eje de simetría de n-ésimo orden y se obtiene un grupo de puntos C nv , que se denotará como [n]. Si un grupo es generado por tres planos, entonces el símbolo del grupo consta de dos dígitos [n, m], donde nuevamente cada dígito denota el orden del eje de rotación formado en la intersección de los planos. Estos grupos incluyen los grupos D nh , que se denotarán como [n,2], así como los grupos de simetría de los poliedros regulares T h ( tetraedro ), O h (cubo) e I h ( icosaedro ), que serán denotados como [3,3], [4,3] y [5,3]. Los grupos de simetría restantes se pueden considerar como subgrupos de los descritos anteriormente, y para describirlos se complementó la notación de Coxeter con un signo +. Si + está detrás de corchetes, los planos de simetría se eliminan de todo el grupo y solo queda el complejo axial del grupo. Por ejemplo, [3,3] + , [4,3] + y [5,3] + denotan los grupos T , O e I . Si + está dentro de los corchetes sobre uno de los números, entonces los dos planos de simetría generadores correspondientes se eliminan (pero el eje generado por ellos permanece), y algunos otros elementos del grupo desaparecen con ellos. En ambos casos, el orden del grupo se reduce a la mitad. Los grupos de tipo [n + ,m + ] son la intersección de los grupos [n + ,m] y [n, m + ], es decir, consisten en elementos de simetría que están presentes en ambos grupos originales. El orden del grupo [n + ,m + ] es cuatro veces menor que el orden del grupo [n, m]. Los grupos de puntos de este tipo siempre tienen la forma [2n + ,2 + ] y corresponden a los símbolos S 2n Schoenflies. $\color {Negro}{\tfrac {180}{n}}$

Expliquemos la notación usando el ejemplo de grupos con un eje de cuarto orden. Cuando dos planos se intersecan en un ángulo de 45°, se forma un eje de cuarto orden y el grupo resultante es C 4v (símbolo internacional 4 mm), que se denotará como [4]. Cuando se agrega un plano de simetría más, que es perpendicular a ambos planos de simetría, se forma el grupo D 4h ( ), que se denota como [4,2]. Si eliminamos los planos de simetría del grupo [4] (pero dejamos el eje de simetría generado por ellos), obtenemos el grupo C 4 (símbolo internacional 4), denotado como [4] + . Si eliminamos todos los planos de simetría del grupo [4,2], obtenemos el grupo D 4 (422), denotado como [4,2] + . $\color {Negro}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$

El grupo [4 + ,2] denota el grupo [4,2], en el que se eliminaron los planos verticales de simetría, que dieron lugar al eje de cuarto orden, mientras que el eje de cuarto orden permaneció y el plano horizontal también. se mantuvo. Pero los ejes horizontales de segundo orden desaparecieron. El grupo resultante es C 4h ( ). A partir de este ejemplo, puede ver que + encima de uno de los dígitos "mata" el eje de simetría correspondiente al dígito adyacente. $\color {Negro}{\tfrac {4}{m}}$

El grupo [4,2 + ] denota el grupo [4,2] en el que se han eliminado el plano horizontal y uno de los generadores verticales. Así, los ejes horizontales de segundo orden permanecieron parcialmente, pero el eje de cuarto orden desapareció. El grupo resultante consta de dos ejes horizontales de segundo orden y dos planos verticales que discurren entre ellos. Este es el grupo D 2d ( 4 2m).

Finalmente, el grupo [4 + ,2 + ] es la intersección de los grupos [4 + ,2] y [4,2 + ] y es simplemente el eje del espejo de cuarto orden S 4 ( 4 ) que está presente en ambos grupos y 4 2m. $\color {Negro}{\tfrac {4}{m}}$

Comparación de varias notaciones para grupos de puntos

Categoría	Singonía	sistema de cristal	Herman-Mogen (símbolo completo)	Herman Mogen (abreviado)	Símbolos Shubnikov	Símbolos de moscas de Schoen	Símbolos valientes	Orbifold	coxeter	orden de grupo
Inferior	triclínica		una	una	$una\$	C1 _	L1 _	once	[ ] +	una
	triclínica		una	una	${\ tilde {2}}$	C yo \u003d S 2	C = l 1	X	[2 + ,2 + ]	2
	monoclínico		2	2	$2\$	C2 _	L2 _	22	[2] +	2
			metro	metro	$metro\$	do s = do 1h	P = £ 2	*	[ ]	2
			$\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$	2/m	$2:m\$	C 2h	L 2 PAG ⊥ C	2*	[ 2,2+ ]	cuatro
	Rómbico		222	222	$2:2\$	D2 = V	3L2 _ _	222	[2,2] +	cuatro
			mm2	mm2	$2\cpunto m\$	C 2v	L22P _ _ _	*22	[2]	cuatro
			$\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	mmm	$m\cdot 2:m\$	D2h _	3 L 2 3 PC	*222	[2,2]	ocho
Medio	tetragonal		cuatro	cuatro	$cuatro\$	C4 _	L 4	44	[4] +	cuatro
			cuatro	cuatro	${\ tilde {4}}$	S4 _	L 4	2x	[2 + ,4 + ]	cuatro
			$\color {Negro}{\tfrac {4}{m}}$	4/mes	$4:m\$	C4h _	L 4 PAG ⊥ C	cuatro*	[ 2,4+ ]	ocho
			422	422	$4:2\$	D4 _	L 4 4 L 2	422	[4,2] +	ocho
			4 mm	4 mm	$4\cpunto m\$	C4v _	L44P _ _ _	*44	[cuatro]	ocho
			42m _	42m _	${\tilde {4}}\cpunto m$	D2d _	L 4 2 L 2 2 P	2*2	[2 + ,4]	ocho
			$\color {Negro}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	4/mmm	$m\cpunto 4:m\$	D4h _	L 4 4 L 2 4 P \|\| PAG ⊥ C	*422	[4,2]	dieciséis
	Hexagonal	trigonal	3	3	$3\$	C3 _	L 3	33	[3] +	3
			3	3	${\ tilde {6}}$	S 6 = C 3i	£ 3 = L 3 C	3x	[2 + ,6 + ]	6
			32	32	$3:2\$	D3 _	L 3 3 L 2	322	[3,2] +	6
			3m	3m	$3\cpunto m\$	C 3v	L 3 3 P	*33	[3]	6
			3 $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$	3 metros	${\tilde {6}}\cpunto m$	D3d _	£ 3 3 L 2 3 P = L 3 3 L 2 3 PC	2*3	[2 + ,6]	12
		Hexagonal	6	6	$6\$	C6 _	L 6	66	[6] +	6
			6	6	$3:m\$	C 3h	L 3 PAGS ⊥ = Ł 6	3*	[ 2,3+ ]	6
			$\color {Negro}{\tfrac {6}{m}}$	6/mes	$6:m\$	C6h _	L 6 PAG ⊥ C	6*	[ 2,6+ ]	12
			622	622	$6:2\$	D6 _	L 6 6 L 2	622	[6,2] +	12
			6 mm	6 mm	$6\cpunto m\$	C6v _	L66P _ _ _	*66	[6]	12
			6 m2	6 m2	$m\cpunto 3:m\$	D3h _	L 3 3 L 2 3 P \|\| PAGS ⊥ = Ł 6 3 L 2 3 PAGS	*322	[3,2]	12
			$\color {Negro}{\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	6/mmm	$m\cdot 6:m\$	D6h _	L 6 6 L 2 6 P \|\| PAG ⊥ C	*622	[6,2]	24
Más alto	cúbico		23	23	$3/2\$	T	3 L 2 4 L 3	332	[3,3] +	12
			$\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$ 3	metro 3	${\ tilde {6}}/2$	jue _	3 L 2 4 L 3 3PC _	3*2	[3 + ,4]	24
			43m _	43m _	$3/{\ tilde {4}}$	Td _	3 £ 4 4 L 3 6 P	*332	[3,3]	24
			432	432	$3/4\$	O	3 L 4 4 L 3 6 L 2	432	[4,3] +	24
			$\color {Negro}{\tfrac {4}{m}}$ 3 $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$	metro 3 metro	${\ tilde {6}}/4$	oh _	3 L 4 4 L 3 6 L 2 9 PC	*432	[4,3]	48

Imagen de grupos de puntos. Proyecciones estereográficas de grupos de puntos

Los planos de simetría se indican con líneas dobles, los ejes de rotación se indican con el polígono correspondiente (los ejes de segundo orden se indican con un óvalo) y el centro de inversión se indica con un círculo abierto. Los ejes de inversión de cuarto y sexto orden se indican mediante un cuadrado vacío y un hexágono; a su vez, también se designan los ejes de segundo y tercer orden incluidos en ellos (el eje 2 pertenece al 4 , el eje 3 pertenece al 6 ).

sistema de cristal	Proyecciones estereográficas [4]
triclínica	1 , C1	1 , C yo
monoclínico	2 , C2	m , Cs _	$\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$ , C 2h
Rómbico				222 , D2	mm2 , C2v _		$\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ , D 2h
tetragonal	4 , C4	4 , S4 _	$\color {Negro}{\tfrac {4}{m}}$ , C 4h	422 , D4	4 mm , C 4v	4 2 m , D 2d	$\color {Negro}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ , D 4h
trigonal	3 , C3	3 , S6 _		32 , D3	3m , C 3v _	3 , D 3d $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$
Hexagonal	6 , C6	6 , C 3h	$\color {Negro}{\tfrac {6}{m}}$ , C 6h	622 , D6	6 mm , C 6v _	6m2 , D3h _ _	$\color {Negro}{\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ , D 6h
cúbico	23, T		$\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$ 3 , jue _	432, O		4 3 m , Td _	$\color {Negro}{\tfrac {4}{m}}$ 3 , oh _ $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$

Esquema de conexión entre grupos de puntos

En este diagrama, los grupos están ordenados desde los menos simétricos (abajo) hasta los grupos con mayor simetría (arriba). Grupos del mismo orden se encuentran a la misma altura. Cada grupo subyacente es un subgrupo del grupo superior asociado a él por una línea. Para facilitar la percepción, las líneas se dan en diferentes colores.

Historia

La primera conclusión de los 32 grupos de puntos cristalográficos la dio en 1830 Johann Hessel en su tratado "Cristalometría o cristalonomía y cristalografía", desarrollado de forma original sobre la base de una nueva doctrina general de las figuras propiamente dichas, con una revisión completa de las más importantes obras y métodos de otros cristalógrafos". Sin embargo, esta derivación de grupos puntuales pasó desapercibida. Auguste Bravais dio la siguiente conclusión en 1849 en sus memorias An Inquiry into Polyhedra of Symmetrical Shape. Sin embargo, Bravais no tuvo en cuenta los ejes de rotación impropia (espejo-rotación o inversión) y, en consecuencia, omitió el grupo S 4 . Todos los otros 31 grupos cristalográficos se pueden derivar como una combinación de solo los ejes de simetría, los planos de reflexión y el centro de inversión. Finalmente, en 1867, Axel Gadolin en las "Notas de la Sociedad Mineralógica de Petersburgo" publicó "Derivación de todos los sistemas cristalográficos y sus subdivisiones a partir de un comienzo común". Fue en el trabajo de Gadolin que por primera vez se informó explícitamente que el número de tipos de simetría para poliedros cristalinos (es decir, grupos de simetría de puntos cristalográficos) es 32. En este trabajo, Gadolin introdujo el concepto de un eje de inversión en Ciencias. También es en este artículo donde aparecen por primera vez las proyecciones estereográficas de 32 grupos de puntos.

Véase también

Notas

↑ Ver Ley de constancia de ángulos ( Stensen, Niels )
↑ Conway J., Smith D. Sobre cuaterniones y octavas, sobre su geometría, aritmética y simetrías. M.: MTSNMO, 2009.
↑ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Las simetrías de las cosas 2008
↑ Proyección estereográfica , véase, por ejemplo, Symmetry of crystals - an article from the Physical Encyclopedia

Literatura

Sistema hexagonal // Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.
Yu. G. Zagalskaya, G. P. Litvinskaya, Cristalografía geométrica, Universidad Estatal de Moscú, 1973
Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya, Yu. G. Zagalskaya, Cristalografía, Universidad Estatal de Moscú, 1992
Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya, Teoría de la simetría cristalina, GEOS, 2000 (disponible en línea )
P. M. Zorkiy. Simetría de moléculas y estructuras cristalinas , Universidad Estatal de Moscú, 1986 (disponible en línea )
A. V. Shubnikov. Simetría y antisimetría de figuras finitas, Editorial de la Academia de Ciencias de la URSS, 1951
I. I. Shafranovsky. Historia de la cristalografía. Siglo XIX, L., "Nauka", 1980