Símbolos de moscas de Schoen

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Los símbolos de Schoenflies son uno de los símbolos de los grupos de simetría de puntos , junto con los símbolos de Herman-Mogen . Propuesto por el matemático alemán Arthur Schoenflies en el libro "Kristallsysteme und Kristallstruktur" en 1891. [1] También se puede utilizar para denotar grupos espaciales ( grupo cristalográfico tridimensional ).

Notación de grupos de puntos

Con simetría de punto, al menos un punto conserva su posición. Los grupos de simetría de puntos en el espacio tridimensional se pueden dividir en varias familias. En los símbolos de Schoenflies, se describen de la siguiente manera:

Con n , los grupos cíclicos (grupos con una sola dirección especial representada por un eje de simetría de rotación ) se denotan con la letra C , con un subíndice n correspondiente al orden de este eje.

C nv (del alemán vertical - vertical) - grupos con n planos verticales de simetría ubicados a lo largo del eje de simetría, que siempre se considera vertical.
C nh (del alemán horizontal - horizontal) - grupos con un plano de simetría horizontal , perpendicular al eje de simetría.

S 2n (del alemán spiegel - espejo) - grupos con un solo eje de simetría de espejo. El índice del eje siempre es par, ya que en un índice impar el eje del espejo es simplemente una combinación del eje de simetría y el plano perpendicular a él, es decir, S n = C nh para n impar .

C s - para un plano de orientación indefinida, es decir, no fijo debido a la ausencia de otros elementos de simetría en el grupo.

Con ni - los grupos con un solo eje de simetría de inversión van seguidos de un subíndice i . Como regla general, solo se usa С i (para n = 1), pero a veces en la literatura hay designaciones como С 3i , С 5i .
D n - es un grupo C n con n ejes de simetría adicionales de segundo orden, perpendiculares al eje original (principal).

D nh - también tiene planos de simetría horizontales y verticales .
D nd (del alemán diagonal - diagonal) - también tiene n planos verticales de simetría que corren diagonalmente entre los ejes horizontales de segundo orden.

El grupo D 2 a veces se denominaba anteriormente V (del alemán Vierergruppe - grupo cuádruple ), y los grupos D 2h y D 2d como V h y V d , respectivamente.

T, O, I son grupos de simetría con varios ejes de orden superior (el orden del eje n es mayor o igual a 3). La adición del índice h indica la presencia de un plano horizontal y, en consecuencia, planos verticales de simetría y un centro de inversión. La adición del índice d al grupo T indica la presencia de planos diagonales de simetría. La diferencia entre el grupo T d y T h es que el primero no contiene un centro de inversión, mientras que el segundo sí, pero T d contiene tres ejes de inversión de cuarto orden, mientras que en T h no existen tales ejes.

T , T h , T d - conjunto de ejes de rotación en el tetraedro (solo ejes de rotación de segundo y tercer orden).
O , O h - conjunto de ejes de rotación en un octaedro o cubo (ejes de rotación de 2°, 3° y 4° orden).
I , I h - un conjunto de ejes de rotación en el icosaedro o dodecaedro (ejes de rotación de los órdenes 2, 3 y 5).

A veces, los grupos icosaédricos I e Ih se denotan como Y e Yh .

Los grupos con no más de un eje de orden superior se pueden organizar en la siguiente tabla

norte	una	2	3	cuatro	5	6	7	ocho	...	$\infty$
C norte	C1 _	C2 _	C3 _	C4 _	C5 _	C6 _	C7 _	C 8	…	C∞ _
Cnv _	do 1v = do s	C 2v	C 3v	C4v _	C5v _	C6v _	C 7v	c8v _	…	C∞v_ _
C nuevo	C 1h = C s	C 2h	C 3h	C4h _	C 5h	C6h _	C 7h	C 8h	…	C∞h _
S norte	S 1 = C s	S 2 \ u003d C yo	S 3 = C 3h	S4 _	S 5 = C 5h	S6 _	S 7 \ u003d C 7h	S8 _	…	S∞ = C∞h _ _
C ni	do 1i = do yo	C2i = Cs _ _	C 3i = S 6	C4i = S4 _ _	C 5i = S 10	C6i = C3h _ _	C 7i = S 14	C8i = S8 _ _	…	C∞i = C∞h _ _
Dn _	D1 = C2 _ _	D2 = V _	D3 _	D4 _	D5 _	D6 _	D7 _	D8 _	…	D∞ _
Dnh _	D 1h = C 2v	D2h = Vh _ _	D3h _	D4h _	D5h _	D6h _	D7h _	D8h _	...	D∞h _
No _	D1d = C2h _ _	D2d = Vd _ _	D3d _	D4d _	D5d _	D6d _	D7d _	D8d _	…	D∞d = D∞h _ _

Las marcas de color burdeos no utilizan variantes de designaciones de grupo.

En cristalografía , debido a la simetría traslacional de la estructura cristalina, n solo puede tomar los valores 1, 2, 3, 4 y 6. Los grupos de puntos no cristalográficos se dan sobre un fondo gris. D 4d y D 6d tampoco son cristalográficos, ya que contienen ejes de espejo de orden 8 y 12, respectivamente. Los 27 grupos de puntos cristalográficos de la tabla y los cinco grupos T , Td , Th , O y Oh forman los 32 grupos de puntos de simetría cristalográfica .

Los grupos con se denominan grupos límite [2] o grupos de Curie . Estos incluyen dos grupos más que no se presentan en la tabla. Este es el grupo de todas las rotaciones posibles alrededor de todos los ejes que pasan por el punto, K (del alemán Kugel - bola) - el grupo de rotaciones, así como el grupo K h , que describe la simetría de la bola - el punto máximo posible simetría en el espacio tridimensional; todos los grupos de puntos son subgrupos del grupo K h . A veces, estos grupos también se denotan R (3) (del inglés rotación - rotación) y R h (3) . En matemáticas y física teórica , generalmente se denotan como SO (3) y O (3) ( grupo ortogonal especial en el espacio tridimensional y grupo ortogonal en el espacio tridimensional). $n=\infty$

Notación de grupo espacial

Si eliminamos los componentes de traslación en el grupo espacial (es decir, eliminamos las traslaciones y reemplazamos los ejes helicoidales con ejes ordinarios y los planos de reflexión rasante con planos de espejo), entonces obtenemos el grupo de puntos correspondiente al grupo espacial, uno de los 32 grupos puntuales cristalográficos . El símbolo de Schoenflies de un grupo espacial se forma a partir del símbolo del grupo de puntos correspondiente con un superíndice adicional, ya que normalmente varios grupos espaciales corresponden a un grupo de puntos a la vez (máximo: 28 grupos espaciales para el grupo D 2h ). Al mismo tiempo, el índice no proporciona ninguna información adicional sobre los elementos de simetría del grupo, sino que simplemente está relacionado con la secuencia en la que Schoenflies derivó 230 grupos espaciales . Por lo tanto, el símbolo de Schoenflies para el grupo espacial no solo no dice nada sobre la orientación de los elementos de simetría con respecto a los ejes de la celda, sino que ni siquiera proporciona información sobre el centrado de la celda y el componente de traslación de los ejes y la simetría. aviones Para obtener información completa sobre el grupo espacial del símbolo de Schoenflies, debe usar la tabla en la que se comparan estos símbolos con los símbolos de Herman-Mogen . Por ejemplo, dicha tabla se proporciona en la lista de grupos de espacio o aquí .

Véase también

Enlaces externos

Literatura

Yu. G. Zagalskaya, G. P. Litvinskaya, Cristalografía geométrica, Universidad Estatal de Moscú, 1973
Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya, Yu. G. Zagalskaya, Cristalografía, Universidad Estatal de Moscú, 1992
Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya, Teoría de la simetría cristalina, GEOS, 2000 (disponible en línea http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834 )
P. M. Zorkiy. Simetría de moléculas y estructuras cristalinas, Universidad Estatal de Moscú, 1986 (disponible en línea http://www.chem.msu.su/rus/teaching/zorkii2/welcome.html )
R. Flurry, Grupos de simetría. Teoría y aplicaciones químicas, M.: Mir, 1983
I. Hargitai, Simetría a través de los ojos de un químico. - M.: Mir, 1991 (página 99)

Notas

↑ Arthur Moritz Schönflies, "Krystallsysteme und Krystallstructur", Druck und Verlag von BG Teubner, 1891 . Consultado el 3 de octubre de 2017. Archivado desde el original el 24 de julio de 2017. (indefinido)
↑ Limitar grupos de puntos . Consultado el 18 de noviembre de 2011. Archivado desde el original el 23 de febrero de 2008. (indefinido)