Álgebra de mentira

El álgebra de mentira es un objeto del álgebra general , que es un espacio vectorial con una operación bilineal anticonmutativa definida en él (llamada paréntesis de mentira o conmutador) que satisface la identidad de Jacobi . En general, un álgebra de Lie es un álgebra no asociativa. Lleva el nombre del matemático noruego Sophus Lie ( 1842-1899 ).

El álgebra de Lie aparece naturalmente en el estudio de las propiedades infinitesimales de los grupos de Lie . En física, los grupos de Lie aparecen como grupos de simetría de sistemas físicos, y sus álgebras de Lie (vectores tangenciales cercanos a la unidad) pueden considerarse como movimientos de simetría infinitesimal. Los grupos de mentiras y las álgebras se utilizan ampliamente en la física cuántica.

Definición

Un álgebra de Lie (de lo contrario, un álgebra de Lie) es un espacio vectorial sobre un campo equipado con un mapeo bilineal $\mathfrak{L}$ $k$

{\mathfrak {L}}^{2}\to {\mathfrak {L}},\ \ (x,y)\mapsto [x,y],

satisfaciendo los siguientes dos axiomas :

$[x,x]=0$ ;
$[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$ ( identidad jacobi ).

En otras palabras, al álgebra de Lie se le da una operación anticonmutativa que satisface la identidad de Jacobi . Esta operación se llama conmutador , o corchete de mentira .

Notas

La identidad implica la anticonmutatividad del operador, . De hecho, la identidad se sigue de la bilinealidad del operador . $[x,x]=0$ ${\ estilo de visualización [x, y] = - [y, x]}$ $[x,y]+[y,x]=[x+y,x+y]-[x,x]-[y,y]$
Si la característica del campo es , entonces lo contrario también es cierto: la identidad se sigue de la anticonmutatividad . ${\mathrm {char}}(K)\neq 2$ $[x,y]+[y,x]=0$ $[x,x]=0$
Los conceptos de subálgebra , ideal , álgebra de cociente y homomorfismo se definen de la forma habitual.
A veces, en la definición de un álgebra de Lie, un espacio vectorial se reemplaza por un módulo (sobre un anillo conmutativo con una unidad).

Ejemplos

Espacio vectorial tridimensional

El espacio vectorial tridimensional habitual es un álgebra de Lie con respecto a la operación de producto cruzado .

Álgebras de mentira lineales

También se utiliza el término álgebra matricial de Lie .

Si es un espacio vectorial de dimensión finita sobre ( ) , entonces el conjunto de sus transformaciones lineales también es un espacio vectorial sobre . Tiene dimensión y se puede representar como un espacio de matrices . En este espacio vectorial se da una operación natural de multiplicación (composición de transformaciones). Definamos la operación del corchete de Lie por la fórmula . El espacio con el corchete de Lie introducido de esta manera satisface todos los axiomas del álgebra de Lie. $V$ $k$ ${\mathrm {dim}}\;V=n$ ${\mathrm {Fin}}\;V$ $k$ ${\mathrm {dim}}({\mathrm {Fin}}\;V)=n^{2}$ $n\veces n$ $[x,y]=xy-yx$ ${\mathrm {Fin}}\;V$

Para distinguir el álgebra de Lie resultante del álgebra asociativa original de transformaciones lineales, se denota . Esta álgebra de Lie se llama álgebra de Lie lineal completa . En el caso de un espacio V de dimensión infinita, también se utiliza la notación . Cualquier subálgebra en se llama álgebra de Lie lineal ${\mathfrak{gl}}\;(V)$ ${\mathfrak{gl}}\;(V)$ ${\mathfrak{gl}}\;(V)$

Álgebras asociativas y álgebras de Lie

Sea un álgebra asociativa arbitraria con multiplicación: → . Tiene la estructura natural de un álgebra de Lie sobre , si definimos el paréntesis de Lie mediante la multiplicación asociativa por la fórmula: , esta expresión se llama conmutador . ${\mathfrak {A}}$ $k$ $(x,y)$ $xy$ $k$ $[x,y]=xy-yx$

La operación inversa, según el álgebra de Lie, se construye un álgebra asociativa, llamada álgebra envolvente universal . El álgebra de Lie original está integrada en el álgebra asociativa construida.

Álgebra de mentiras de campos vectoriales

Si M es una variedad suave , entonces el espacio de todos los campos vectoriales diferenciables definidos en ella forma un álgebra de Lie de dimensión infinita. La operación que transforma campos vectoriales en un álgebra de Lie se puede describir de varias formas equivalentes.

Usando la derivada de Lie del campo Y en la dirección del campo X :

[X,Y]\equiv L_{X}Y

Si se da un sistema de coordenadas local en la variedad , entonces en la representación de coordenadas el conmutador de campos vectoriales es igual a $(t_{1},...,t_{n})$

[X,Y]^{i}=X^{j}\parcial_{j}Y^{i}-Y^{j}\parcial_{j}X^{i},

donde, como de costumbre, está implícita la suma sobre un índice j repetido y

\parcial _{j}Y^{i}(t_{1},...,t_{n})={\frac {\parcial }{\parcial t_{{j))))Y^{i} (t_{1},...,t_{n})

\parcial _ {j}X^{i}(t_{1},...,t_{n})={\frac {\parcial }{\parcial t_{{j))))X^{i} (t_{1},...,t_{n})

— derivadas parciales de funciones a lo largo de las direcciones t j .

Y^{i}(t_{1},...,t_{n}),X^{i}(t_{1},...,t_{n})

Al elegir una métrica riemanniana arbitraria en la variedad, se puede demostrar que

[X,Y]=\nabla_{X}Y-\nabla_{Y}X

, donde son campos vectoriales y es la derivada covariante con respecto a la dirección del campo vectorial X. La equivalencia con las definiciones anteriores muestra que el resultado es, de hecho, independiente de la elección de la métrica.

X,Y

\nabla _{X}

Los campos vectoriales uno a uno corresponden a derivaciones del álgebra de funciones sobre una variedad, el conmutador de derivaciones es nuevamente una derivación (ver la siguiente sección) y, por lo tanto, define un campo vectorial.

La identidad de Jacobi para el álgebra de campos vectoriales se puede reescribir como la regla de Leibniz para la derivada de Lie:

[X,[Y,Z]]=[[X,Y],Z]+[Y,[X,Z]]\Longleftrightarrow L_{X}[Y,Z]=[L_{X}Y,Z] +[Y,L_{X}Z]

Observación: El grupo de difeomorfismo de una variedad debe considerarse informalmente como un "grupo de Lie" para el álgebra de Lie de campos vectoriales en una variedad. Aunque en el caso de dimensión infinita, la correspondencia entre grupos y álgebras de Lie no es formal, sin embargo, muchas propiedades pueden generalizarse fácilmente (aunque algunas dejan de ser ciertas).

El conjunto de todas las derivaciones de K-álgebras y álgebras de Lie

Una derivación en álgebra es un mapeo linealque satisface la regla de Leibniz para derivar un producto. El conjunto de todas las derivacioneses un subespacio vectorial en. El conmutador de dos derivaciones es nuevamente una derivación, por lo que es una subálgebra en. ${\mathfrak {A}}$ $\delta :{\mathfrak {A}}\a {\mathfrak {A}}$ $\delta (ab)=a\delta (b)+\delta (a)b$ $\operatorname {Der}\;{\mathfrak {A}}$ $\operatorname {Fin}\;{\mathfrak {A}}$ $\operatorname {Der}\;{\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {gl(A)))$

Junto con las derivaciones de álgebras arbitrarias, se puede considerar un caso particular de derivación de un álgebra de Lie . En álgebras de Lie, algunas derivaciones surgen de forma natural. Los endomorfismos asociados son derivaciones de un álgebra de Lie de la forma . Tales derivaciones se denominan internas , el resto se denominan externas . El mapeo se llama la representación adjunta del álgebra de Lie . $L$ $L$ $\operatorname {anuncio}\;x\colon y\to [x,y];x,y\in L$ $L\to \operatorname {Der}\;L;\;x\mapsto \operatorname {anuncio}\;x$

Las derivaciones internas forman una subálgebra isomorfa al álgebra factorial del álgebra con respecto a su centro . $\operatorname {Der}(L)$ $\operatorname {anuncio}\;L$ $L/Z(L)$ $L$ $Z(L):=\{x\en L\mid [x,y]=0;\para todo y\en L\}$

Véase también

Literatura

Serre J.-P. Lie Algebras and Lie Groups Copia de archivo del 20 de febrero de 2007 en Wayback Machine
Recursos de la biblioteca de física y matemáticas Archivado el 14 de julio de 2007 en Wayback Machine del sitio web de EqWorld - "The World of Mathematical Equations" Archivado el 3 de octubre de 2008 en Wayback Machine .
Seminario "Sophus Lie". La teoría de las álgebras de Lie. Topología de los grupos de Lie. — M .: IL, 1962 (djvu) .
Nomizu K. Grupos de mentiras y geometría diferencial. — M. : IL, 1960 (djvu)
Bourbaki N. Lie grupos y álgebras. Capítulos I-III. M.: Mir, 1976. 496 p.
Bourbaki N. Lie grupos y álgebras. Capítulo IX. M.: Mir, 1986. 174 págs.
Humphries J. Introducción a la teoría de las álgebras de Lie y sus representaciones - M. : MTsNMO, 2003.

diccionarios y enciclopedias

En catálogos bibliográficos
BNE : XX535297 BNF : 119444791 TIERRA : 4130355-6 J9U : 987007529233905171 LCCN : sh85076782 NDL : 00567367 NKC : ph234835 SUDOC : 027392600