Teorema de la firma de Rokhlin

El teorema de la firma de Rokhlin es un teorema de topología de cuatro dimensiones . Probado por Vladimir Abramovich Rokhlin en 1952.

Redacción

Supongamos que una variedad 4- lisa, cerrada y simplemente conexa satisface una de las siguientes condiciones equivalentes: $METRO$

$METRO$ tiene una estructura espinora .
${\ estilo de visualización w_ {2} (M) = 0}$ ; es decir, la segunda clase de Stiefel-Whitney es cero.
La forma de las intersecciones es pareja. $METRO$

Entonces la firma de su forma de intersección es divisible por 16.

Notas

Según el teorema de Jahit Arf , cualquier retícula unimodular uniforme tiene una firma que es un múltiplo de 8, por lo que el teorema de Rokhlin implica solo dos adicionales que dividen la firma. Por esta razón, el teorema a veces se denomina teorema "Rokhlin 2".

La superficie K3 es compacta, de cuatro dimensiones y , y su firma es 16. En particular, la divisibilidad en el teorema de Rokhlin no se puede mejorar. ${\ estilo de visualización w_ {2} (M) = 0}$

Una superficie compleja en grado tiene firma , como se ve en el teorema de Friedrich Hirzebruch sobre el género de las variedades . Para , obtenemos una superficie K3 . ${\ estilo de visualización \ mathbb {CP} ^ {3}}$ $d$ ${\ estilo de visualización (4-d^{2}) d/3}$ $re=4$

La variedad E8 de Michael Friedman es una variedad topológica compacta simplemente conectada con y la intersección forma la firma 8. Del teorema de Rokhlin se deduce que esta variedad no tiene una estructura uniforme. En particular, el teorema de Rokhlin falla para variedades topológicas (no suaves). ${\ estilo de visualización w_ {2} (M) = 0}$ $E_8$

Si la variedad es simplemente conexa (o, más generalmente, si el primer grupo de homología no tiene 2-torsión), entonces es equivalente a la paridad de la forma de intersección. Este no es el caso de las variedades no simplemente conectadas: la superficie de Enriques es una 4-variedad compacta y lisa y tiene una forma de intersección uniforme, pero . $METRO$ ${\ estilo de visualización w_ {2} (M) = 0}$ ${\ Displaystyle w_ {2} (M) \ neq 0}$

Acerca de la evidencia

El teorema de Rokhlin se puede derivar del hecho de que el tercer grupo homotópico estable de esferas es cíclico de orden 24; este es el enfoque original de Rokhlin. ${\ estilo de visualización \ pi _ {3} ^ {S}}$

Se puede derivar del teorema del índice de Atiyah-Singer .

Robion Kirby dio otra prueba.

Enlaces

Alexander Alexandrovich Gaifullin , Rokhlinskaya deuce , lecciones (parte 1) + (parte 2) + (parte 3) en YouTube .