Teorema de la bisectriz

El teorema de la bisectriz es un teorema clásico de la geometría del triángulo .

Redacción

La bisectriz en el vértice de un triángulo divide el lado opuesto en partes proporcionales a los lados adyacentes. Es decir, si la bisectriz en el vértice del triángulo corta al lado en un punto, entonces $A$ $\triángulo ABC$ $antes de Cristo$ $D$

{\frac {DB}{DC}}={\frac {AB}{AC}}.

Notas

La misma igualdad vale para un punto que se encuentra en la intersección de la bisectriz exterior y la extensión del lado . $D$ $antes de Cristo$

Historia

El teorema de la bisectriz está formulado en el sexto libro de los Elementos de Euclides (proposición III) [1] , en particular, en griego en un manuscrito bizantino [2] . Una cita temprana de este teorema según Euclides en fuentes en idioma ruso se encuentra en uno de los primeros libros de texto rusos de geometría: el manuscrito de principios del siglo XVII " Synodal No. 42 " (libro 1, parte 2, capítulo 21 ).

Evidencia

Hay varios métodos de prueba. Por ejemplo, por el método de las áreas o trazando desde otro vértice una recta paralela a la bisectriz, hasta cortarla con la continuación de uno de los lados.

Método de área

Considere el triángulo ABC. Se deja caer una bisectriz AD desde el vértice A hasta el lado BC. Encuentra las áreas de los triángulos ABD y ACD:

${\frac {S_{ABD}}{S_{ACD}}}={\frac {{\frac {1}{2}}AB\cdot AD\cdot \sin \alpha }{{\frac { 1}{2}}AC\cdot AD\cdot \sin \alpha }}={\frac {AB}{AC}}.$

Por otra parte,

${\frac {S_{ABD}}{S_{ACD}}}={\frac {{\frac {1}{2}}BD\cdot AH}{{\frac {1}{2}} CD\cdot AH}}={\frac{BD}{CD}}.$

Medio,

${\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}.$

A través del teorema del seno

Considere el triángulo ABC con la bisectriz AD. Escribamos el teorema del seno para los triángulos ABD y ACD:

${\frac {AB}{\sin \gamma ))={\frac {BD}{\sin \alpha )),\quad (1)$

${\frac {AC}{\sin(180^{\circ }-\gamma )}}={\frac {CD}{\sin \alpha )).$

Pero en consecuencia, $\sin(180^{\circ }-\gamma )=\sin \gamma ,$

${\frac {AC}{\sin \gamma }}={\frac {CD}{\sin \alpha }}.\quad (2)$

Dividiendo la igualdad (1) por la igualdad (2), obtenemos:

${\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}.$

A través de la semejanza de triángulos

Este método de prueba se basa en la extensión de la bisectriz hasta la intersección con ella de la perpendicular que cae sobre ella desde uno de los vértices.

Considere el triángulo ABC con la bisectriz AD. Dejemos caer las perpendiculares BK y CT a él y su prolongación, respectivamente. Los triángulos KBD y DCT son similares en dos ángulos, entonces

${\frac {BD}{CD}}={\frac {BK}{CT}}.$

Los triángulos ABK y ACT también son similares en dos ángulos, lo que significa que la igualdad es verdadera:

${\frac {AB}{AC}}={\frac {BK}{CT}}.$

Por lo tanto obtenemos que ${\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}.$

Variaciones y generalizaciones

Si D es un punto arbitrario del lado BC del triángulo ABC , entonces ${\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|{\frac {\sin \angle DAB}{\sin \angle ADB}}}{|AC|{\ frac {\sin \angle DAC}{\sin \angle ADC))))={\frac {|AB|{\frac {\sin \angle DAB}{\sin \angle ADB})}{|AC|{ \frac {\sin \angle DAC}{\sin(180^{\circ }-\angle ADB))))))={\frac {|AB|\sin \angle DAB}{|AC|\sin \ ángulo DAC}}.$
- En el caso de que AD sea una bisectriz, . $\sin \angle DAB=\sin \angle DAC$

El plano bisector del ángulo diedro en el tetraedro (es decir, el plano que divide el ángulo diedro por la mitad) divide su borde opuesto en partes proporcionales a las áreas de las caras del tetraedro que son las caras de este ángulo diedro [3] :200 .

teorema de Steiner .

Véase también

Notas

↑ Comienzos euclidianos de ocho libros, a saber: los seis primeros, el 11 y el 12, que contienen los fundamentos de la geometría. / por F. Petrushevsky. - San Petersburgo. , 1819. - S. 205. - 480 p. Archivado el 10 de julio de 2020 en Wayback Machine .
↑ Teorema de la bisectriz en un manuscrito bizantino . Consultado el 24 de mayo de 2012. Archivado desde el original el 26 de mayo de 2012. (indefinido)
↑ Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Álgebra vectorial en ejemplos y problemas . - M. : Escuela Superior , 1985. - 232 p. Archivado el 10 de enero de 2014 en Wayback Machine .

Literatura

Ponarin Ya. P. Geometría elemental. En 2 tomos - M. : MTSNMO , 2004. - S. 18-19.