Teorema de la esfera (geometría diferencial)

El teorema de la esfera  es un nombre general para los teoremas que dan condiciones suficientes en la métrica de Riemann para garantizar que una variedad sea homeomorfa o difeomorfa a la esfera estándar .

Formulaciones

Sea una variedad de Riemann de n dimensiones , cerrada , simplemente conectada , con alguna condición de curvatura (ver comentarios), entonces es homeomorfa / difeomorfa a una esfera de n dimensiones .

Notas

• Las formulaciones con homeomorfismo y difeomorfismo se denominan respectivamente teorema de la esfera topológica y teorema de la esfera lisa .

• La condición de curvatura más conocida es la denominada curvatura de cuarto de pinado, lo que significa que la curvatura de la sección en cada dirección de la sección de cada punto se encuentra en .
  • La condición de quarter-pinning es óptima, el teorema deja de ser cierto si la curvatura de la sección puede tomar valores en un intervalo cerrado . El contraejemplo estándar es un espacio proyectivo complejo con una métrica canónica; la curvatura seccional de la métrica toma valores entre 1 y 4, incluidos los extremos. Otros contraejemplos se pueden encontrar entre los espacios simétricos de rango 1 .
  • Una condición más general es la fijación en cuartos puntual. Esto significa que la curvatura de la sección es positiva y para cada punto fijo la relación entre el máximo y el mínimo de las curvaturas de la sección en todas las direcciones de la sección no excede de 4.

• Otra condición bien conocida sobre la curvatura es la positividad del operador de curvatura .
  • Una condición más general es la llamada 2-positividad del operador de curvatura , es decir, la positividad de la suma de los dos valores propios más pequeños del operador de curvatura.

Historia

Teorema topológico

• El primer teorema de la esfera fue demostrado por Rauch en 1951. Demostró que las variedades simplemente conectadas con curvatura de sección en el intervalo [3/4,1] son ​​homeomorfas a una esfera.

• En 1960, Marcel Berger y Wilhelm Klingenberg demostraron una versión topológica del teorema de la esfera para un cuarto de presión.

• En 1988, Micalef y Moore probaron una versión topológica para variedades cerradas con curvatura compleja positiva en direcciones isotrópicas.
  • En particular, esto implica el teorema de la esfera topológica para un operador de curvatura positivo.
    • Que las variedades cerradas con un operador de curvatura positivo sean esferas de homología racional se sigue fácilmente de la fórmula de Bochner .
  • Su prueba utiliza un análogo bidimensional del lema de Sing .

Teorema de la suavidad

Los métodos clásicos permitieron probar el teorema de la esfera lisa solo para un pinzamiento muy rígido; los pinzamientos óptimos se lograron utilizando el flujo de Ricci

• En 1982, Richard Hamilton demostró el teorema de la esfera lisa en el caso tridimensional con curvatura de Ricci positiva .
  • Esta fue la primera aplicación del flujo de Ricci, el resto de las demostraciones del teorema de la suavidad siguieron el mismo esquema, pero requirieron serias mejoras técnicas.

• En 1985, Gerhard Huysken usó el flujo de Ricci para demostrar el teorema de la esfera lisa en todas las dimensiones.
  • La condición de curvatura preposicional que proponía era óptima en cierto sentido. En particular, el tensor de curvatura del producto de un círculo y una esfera se encuentra en el límite de la condición de curvatura.

• En 2008, Burchard Wilking y Christoph Böhm demostraron el teorema de la esfera suave para la doble positividad del operador de curvatura. En particular, el teorema de la esfera lisa es cierto bajo la condición de que el operador de curvatura sea positivo.

• En 2009 , Simon Brende y Richard Schoen demostraron el teorema de la esfera lisa con división en cuartos. Su prueba hizo un uso significativo de las ideas de Wilking y Boehm.

Literatura

• Rauch, HE, Una contribución a la geometría diferencial en grande, Ann. de Matemáticas. 54 (1951), 38-55
• Klingenberg, W., Contribuciones a la geometría riemanniana en grande, Ann. de Matemáticas. 69 (1959), 654-666.
• Berger, M., Les variétes Riemannienes (1/4)-pincées, Ann. Escuela Norma. Sorber. Pisa, Ser. III, 14 (1960), 161-170.
• Micallef, M., Moore, JD, Dos esferas mínimas y la topología de variedades con curvatura positiva en dos planos totalmente isotrópicos. Ana. de Matemáticas. (2) 127 (1988), 199-227.
• Huisken, G., Deformación de Ricci en la métrica en una variedad de Riemann. J. Geom diferencial. 21 (1985), 47-62.
• B. Wilking, C. Böhm: Las variedades con operadores de curvatura positivos son formas espaciales. Ana. de Matemáticas. (2) 167 (2008), n. 3, 1079-1097.
• Simon Brandle y Richard Schoen. Las variedades con curvatura pellizcada de 1/4 son formas espaciales  //  Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense : diario. - 2009. - Vol. 22 , núm. 1 . - pág. 287-307 . -doi : 10.1090/ s0894-0347-08-00613-9 .