Nudo tórico

Un nudo toroide es un tipo especial de nudo que se encuentra en la superficie de un toroide no anudado en . $\mathbb{R} ^{3}$

Un enlace tórico es un enlace que se encuentra en la superficie de un toro. Cada nudo toroide está definido por un par de números enteros coprimos y . El enlace tórico ocurre cuando y no son coprimos (en este caso, el número de componentes es igual al máximo común divisor y ). Un nudo toroide es trivial si y solo si , o son iguales a 1 o −1. El ejemplo no trivial más simple es el nudo (2,3)-torus, también conocido como nudo de trébol . $pags$ $q$ $pags$ $q$ $pags$ $q$ $pags$ $q$

Representación geométrica

El nudo toroide se puede representar de formas geométricamente diferentes, topológicamente equivalentes pero geométricamente diferentes.

La convención comúnmente utilizada es que el nudo -torus gira una vez sobre el eje circular del toro y una vez sobre el eje de rotación del toro. Si y no son coprimos, entonces obtenemos un enlace tórico con más de un componente. Las convenciones sobre la dirección en la que las roscas giran alrededor del toroide también son diferentes, la mayoría de las veces se asume un tornillo a la derecha para [1] [2] [3] . $(p, q)$ $q$ $pags$ $pags$ $q$ $pq>0$

$(p, q)$ -nudo tórico se puede dar por parametrización :

x = r

\cos(p\phi )

y = r

\sin(p\phi )

z=-\sin(q\phi )

donde y . Se encuentra en la superficie del toro dado por la fórmula (en coordenadas cilíndricas ). $r=\cos(q\phi )+2$ $0<\fi <2\pi$ $(r-2)^{2}+z^{2}=1$

También son posibles otras parametrizaciones, ya que los nudos se definen hasta una deformación continua. Se pueden obtener ejemplos de nudos tóricos (2,3) y (3,8) tomando , y en el caso de un nudo tórico (2,3), restando y de las parametrizaciones anteriores y . $r=\cos(q\phi )+4$ $3\cos((pq)\phi )$ $3\sin((pq)\phi )$ $X$ $y$

Propiedades

Un nudo toroide es trivial si y solo si , o son iguales a 1 o −1 [2] [3] . $pags$ $q$

Todo nudo toroide no trivial es simple y quiral .

$(p, q)$ -nudo tórico es equivalente a -nudo tórico [1] [3] . -nudo tórico es el inverso (imagen especular) de -nudo tórico [3] . -nudo tórico es equivalente a -nudo tórico excepto por la orientación. $(q,p)$ $(p, -q)$ $(p, q)$ $(-p, -q)$ $(p, q)$

Cualquier nudo tórico se puede construir a partir de una trenza cerrada con hilos. Palabra adecuada para trenzas [4] : $(p, q)$ $pags$

(\sigma_{1}\sigma_{2}\cdots \sigma_{{p-1}})^{q}

Esta fórmula usa la convención de que los generadores de trenzas usan rotaciones a la derecha [2] [4] [5] [6] .

El número de intersecciones del nudo -tórico con viene dado por la fórmula: $(p, q)$ $pq>0$

c=\min((p-1)q,(q-1)p)

El género del nudo tórico c es: $pq>0$

g={\frac{1}{2}}(p-1)(q-1).

El polinomio de Alexander del nudo toroide es [1] [4] :

{\frac{(t^{{pq}}-1)(t-1)}{(t^{p}-1)(t^{q}-1)))

El polinomio de Jones del nudo toroide (diestro) viene dado por:

t^{{(p-1)(q-1)/2}}{\frac {1-t^{{p+1}}-t^{{q+1}}+t^{{p+ q }}}{1-t^{2}}}

El complemento de un nudo toroide en una esfera de 3 es una variedad de Seifert .

Sea una gorra de tonto -dimensional con un disco removido adentro, una gorra de tonto bidimensional con un disco interno removido, y sea el espacio cociente obtenido al identificar y a lo largo del límite del círculo. El complemento del nudo -tórico es una deformación retraída del espacio . Así, el grupo de nudos de un nudo toroide tiene la representación : $Y$ $pags$ $Z$ $q$ $X$ $Y$ $Z$ $(p, q)$ $X$

\langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle

Los nudos toroidales son los únicos nudos cuyos grupos de nudos tienen centros no triviales (que son los infinitos grupos cíclicos formados por un elemento de esta representación). $x^{p}=y^{q}$

Lista

Trivial nudo , 3 1 -nudo (2,3) , Potentilla nudo (5,2), 7₁-nudo (7,2), 8 19 -nudo (4,3), 9 1 -nudo ( 9.2) , 10 124 - nudo (5.3).

Véase también

Nodo alternativo
Nudo "Cinquefoil"
Envoltura irracional alrededor del toro

Notas

↑ 1 2 3 Livingston, 1993 .
↑ 1 2 3 Murasugi, 1996 .
↑ 1 2 3 4 Kawauchi, 1996 .
↑ 1 2 3 Lickorish, 1997 .
↑ Dehornoy, P. et al. (2000). ¿Por qué se pueden ordenar las trenzas? http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/Books/Why/Dgr.pdf Archivado el 15 de abril de 2012 en Wayback Machine .
↑ Birmania, Brendle, 2005 .

Literatura

Carlos Livingston. Teoría del nudo. - Asociación Matemática de América, 1993. - ISBN 0-88385-027-3 .
Kunio Murasugi. Teoría de nudos y sus aplicaciones . - Birkhäuser, 1996. - ISBN 3-7643-3817-2 .
Akio Kawauchi. Un estudio de la teoría de nudos. - Birkhäuser, 1996. - ISBN 3-7643-5124-1 .
Lickorish de WBR. Introducción a la teoría de nudos. - Springer, 1997. - ISBN 0-387-98254-X .
JS Birman, TE Brandle. Manual de teoría de nudos / W. Menasco, M. Thistlethwaite. - Elsevier, 2005. - ISBN 0-444-51452-X ..
J. Milnor. Puntos singulares de hipersuperficies complejas. - Prensa de la Universidad de Princeton, 1968. - ISBN 0-691-08065-8 .

Enlaces

36 Torus Knots , El atlas de nudos.
Weisstein, Eric W. Torus Knot (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
Renderizador de nudo toroide en Actionscript
Diversión con el nudo PQ-Torus