Un politopo toroidal es un politopo que también es un toroide ( un toro con agujeros g ) que tiene un género topológico , g , igual o mayor que 1.
Los poliedros toroidales se definen como un conjunto de polígonos que comparten vértices y aristas, formando una variedad . Es decir, cada arista debe ser común a exactamente dos polígonos, la figura del vértice de cada vértice debe ser un ciclo de los polígonos a los que pertenece el vértice dado. Para poliedros toroidales, esta variedad será una superficie orientada [1] . Algunos autores limitan el concepto de "poliedro toroidal" a politopos que son topológicamente equivalentes (del género 1) toro [2] .
Aquí es necesario distinguir entre poliedros toroidales anidados , cuyas caras son polígonos planos que no se cortan entre sí en el espacio euclidiano tridimensional , de poliedros abstractos , superficies topológicas sin una realización geométrica específica [3] . El punto medio entre estos dos extremos se puede considerar poliedros toroidales inmersos , es decir, poliedros formados por polígonos o polígonos en estrella en el espacio euclidiano que se permiten intersecarse entre sí.
En todos estos casos, la naturaleza toroidal de los poliedros se puede comprobar por la orientación y la característica de Euler, que no es positiva para estos poliedros.
Los dos poliedros toroidales anidados más simples posibles son los poliedros Chasar y Silashi.
El poliedro Chasar es un poliedro toroidal con siete vértices, 21 aristas y 14 caras triangulares [4] . Solo este poliedro y el tetraedro (de los conocidos) tienen la propiedad de que cualquier segmento que conecta los vértices del poliedro es una arista del poliedro [5] . El politopo dual es el politopo Silashi , que tiene 7 caras hexagonales, cada par de las cuales es adyacente entre sí [6] , proporcionando la mitad del teorema de que el valor máximo de colores para colorear un mapa en un toro (género 1) es siete [7] .
El politopo Chasar tiene el menor número posible de vértices que puede tener un politopo toroidal anidado, y el politopo Silashi tiene el menor número posible de caras.
| Seis prismas hexagonales | Cuatro cúpulas cuadradas 8 tetraedros |
ocho octaedros |
Una categoría especial de poliedros toroidales se construye únicamente con caras poligonales regulares sin su intersección, con la restricción adicional de que las caras adyacentes no se encuentran en el mismo plano. Estos politopos se denominan toroides de Stewart [8] en honor a la profesora Bonnie Stewart quien investigó su existencia [9] . Son análogos a los sólidos de Johnson en el caso de los poliedros convexos , pero a diferencia de ellos, hay infinitos toroides de Stewart [10] . Estos poliedros también incluyen deltaedros toroidales , poliedros cuyas caras son triángulos equiláteros.
Una clase limitada de toroides de Stewart, también definidos por Stewart, son poliedros toroidales cuasi-convexos . Estos son los toroides de Stewart, que incluyen todos los bordes de sus cascos convexos . Para estos poliedros, cada cara del casco convexo se encuentra en la superficie del toroide o es un polígono cuyos bordes se encuentran en la superficie del toroide [11] .
Octahemioctaedro |
Pequeño cuboctaedro |
gran dodecaedro |
Un poliedro formado por un sistema de polígonos que se cortan en el espacio es una inmersión poliédrica de una variedad topológica abstracta formada por sus polígonos y su sistema de aristas y vértices. Los ejemplos incluyen el octahemioctaedro (género 1), el pequeño cuboctaedro (género 3) y el gran dodecaedro (género 4).
Un poliedro coronado (o estefanoide ) es un poliedro toroidal que es un poliedro noble , siendo tanto isogonal (mismo tipo de vértices) como isoédrico (mismas caras). El poliedro coronado se interseca a sí mismo y es topológicamente autodual [12] .