Un poliedro dual (o dual) a un poliedro dado es un poliedro en el que cada cara del poliedro original corresponde a un vértice del dual, y cada vértice del poliedro original corresponde a una cara del dual. El número de aristas del poliedro original y dual es el mismo. El poliedro dual al dual es homotético al original.
La forma más sencilla de construir un politopo dual es la siguiente:
| Poliedro | Doble |
|---|---|
| tetraedro | tetraedro |
| Octaedro | Cubo |
| icosaedro | Dodecaedro |
| cuboctaedro | dodecaedro rómbico |
| icosidodecaedro | Rombotriacontaedro |
Para politopos uniformes, la cara del politopo dual se puede encontrar a partir de la figura del vértice del politopo original utilizando la construcción de Dorman Luke . Esta construcción fue descrita originalmente por Cundy y Rollett (1961) y luego generalizada por Wenninger (1983).
Como ejemplo, tomemos la figura del vértice (rojo) del cuboctaedro , que se usa para obtener la cara del dodecaedro rómbico (azul) .
Antes de comenzar la construcción, obtenemos la figura del vértice ABCD cortando cada borde adyacente en el medio.
La construcción de Dorman Luke procede de la siguiente manera:
En este ejemplo, el tamaño de la figura del vértice se elige de modo que su círculo circunscrito se encuentre en la esfera semi-inscrita (la esfera que toca todos los bordes) del cuboctaedro, que también se convierte en la esfera semi-inscrita de su doble rómbico. dodecaedro.
La construcción de Dorman Luke solo se puede usar cuando el poliedro tiene una esfera semi-inscrita y la figura del vértice es cíclica, es decir para poliedros uniformes .
Topológicamente, los politopos autoduales son aquellos cuyos duales tienen exactamente la misma relación entre vértices, aristas y caras. En abstracto, estos son poliedros con diagramas de Hasse idénticos .
Un politopo geométricamente autodual no solo es topológicamente autodual, una transformación polar de un politopo con respecto a algún punto, generalmente su centroide, es una figura congruente . Por ejemplo, el poliedro dual de un tetraedro regular es otro tetraedro regular ( centralmente simétrico con respecto al centro del tetraedro).
Cualquier polígono es topológicamente autodual (tiene el mismo número de vértices y aristas, y cambian de lugar como resultado de la dualidad), pero, en general, no es geométricamente autodual (si se considera como un cuerpo rígido). Los polígonos regulares son geométricamente autoduales: todos los ángulos son iguales, al igual que los bordes.
La representación geométrica más aceptada de un poliedro convexo es una representación en forma canónica, cuando todas sus aristas deben tocar una esfera determinada, cuyo centro coincide con el centro de gravedad de los puntos tangentes. Si tal figura es autodual, la transformación polar es congruente con ella.
Hay un número infinito de poliedros geométricamente autoduales. La familia infinita más simple son las pirámides con n lados en forma canónica. Otra familia infinita, las pirámides alargadas , consta de poliedros, que se pueden considerar como pirámides asentadas sobre prismas (con el mismo número de lados). Agregue una pirámide truncada en la parte inferior del prisma y tendrá otra familia infinita.
Hay muchos otros poliedros autoduales convexos. Por ejemplo, hay 6 poliedros diferentes con 7 vértices y 16 con 8 vértices [1]
También se pueden encontrar poliedros autoduales no convexos, como el dodecaedro con muescas
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