Deltaedro

El deltaedro es un poliedro cuyas caras son todos triángulos regulares . El nombre se toma de la letra mayúscula griega delta ( ), que tiene forma de triángulo equilátero. Hay infinitos deltaedros, pero solo ocho de ellos son convexos y tienen 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 y 20 caras [1] .

El número de caras, aristas y vértices se enumeran a continuación para cada uno de los ocho deltaedros.

Deltaedros convexos

En total, hay 8 deltaedros convexos [2] , 3 de los cuales son sólidos platónicos y 5 son poliedros de Johnson .

En un deltaedro de 6 caras, algunos vértices son de grado 3 y otros de grado 4. En un deltaedro de 10, 12, 14 y 16 caras, algunos vértices son de grado 4 y otros de grado 5. Estos cinco deltaedros irregulares pertenecen a la clase de poliedros de caras regulares - poliedros convexos con polígonos regulares como caras.

No hay deltaedro convexo con 18 caras [3] . Sin embargo, un icosaedro con un borde contraído da un ejemplo de un octaedro , que puede hacerse convexo con 18 caras irregulares, o con dos conjuntos de tres triángulos equiláteros que se encuentran en el mismo plano.

Deltaedros regulares
Nombre Imagen Número
de vértices 		Número de
costillas 		Número de
caras 		Configuración de
vértice 		grupo de simetría
tetraedro regular cuatro 6 cuatro 4x3 3 Td , [3,3]
Octaedro regular (bipirámide cuadrangular) 6 12 ocho 6 × 34 Oh , [ 4,3 ]
icosaedro regular 12 treinta veinte 12 × 35 Yo h , [5,3]
Deltaedros de Johnson
bipirámide triangular 5 9 6 2x3 3
3x3 4 		D 3h , [3,2]
Bipirámide pentagonal 7 quince diez 5x3 4
2x3 5 		D 5h , [5,2]
biclinoide escamoso ocho Dieciocho 12 4x3 4
4x3 5 		D2d , [2,2 ]
Prisma triangular triple extendido 9 21 catorce 3x3 4
6x3 5 		D 3h , [3,2]
Bipirámide cuadrangular alargada retorcida diez 24 dieciséis 2x3 4
8x3 5 		D4d , [4,2 ]

Casos no estrictamente convexos

Hay infinitos deltaedros con triángulos coplanares (que se encuentran en el mismo plano). Si se considera que los conjuntos de triángulos coplanares son una sola cara, se pueden contar menos caras, aristas y vértices. Las caras triangulares coplanares se pueden fusionar en caras rómbicas, trapezoidales, hexagonales u otras caras poligonales equiláteras. Cada cara debe ser un polígono convexo , como , , , , , , y , ... [4]

Algunos pequeños ejemplos

Deltaedros coplanares
Imagen Nombre caras costillas picos Configuraciones de vértice grupo de simetría
Octaedro extendido
Ampliación
1 tetra. + 1 de octubre 		diez quince 7 1x3 3 3x3 4 3x3 5 0x3 6


 C 3v , [3]
4 3
 12
Trapezoedro triangular
Ampliación
2 tetra. + 1 de octubre 		12 Dieciocho ocho 2x3 3
0x3 4
6x3 5
0x3 6 		C 3v , [3]
6 12
Extensión
2 tetra. + 1 de octubre 		12 Dieciocho ocho 2x3 3
1x3 4
4x3 5
1x3 6 		C 2v , [2]
2 2 2

 once 7
Pirámide troncocónica triangular
Extensión
3 tetra. + 1 de octubre 		catorce 21 9 3x3 3
0x3 4
3x3 5
3x3 6 		C 3v , [3]
1 3 1

 9 6
Octaedro alargado
Extensión
2 tetra. + 2 de octubre 		dieciséis 24 diez 0x3 3 4x3
4 4x3 5 2x3 6

 D 2h , [2,2]
4 4
 12 6
Tetraedro
Extensión
4 tetra. + 1 de octubre 		dieciséis 24 diez 4x3 3
0x3 4
0x3 5
6x3 6 		Td , [3,3]
cuatro 6 cuatro
Extensión
3 tetra. + 2 de octubre 		Dieciocho 27 once 1x3 3 2x3 4 5x3 5 3x3 6


 D 2h , [2,2]
2 1 2 2


 catorce 9
Icosaedro con borde contraído Dieciocho 27 once 0x3 3 2x3 4 8x3 5 1x3 6


 C 2v , [2]
12 2
 22 diez
Bipirámide bittruncada
Extensión
6 tetra. + 2 de octubre 		veinte treinta 12 0x3 3
3x3 4
6x3 5
3x3 6 		D 3h , [3,2]
26 _
 quince 9
Cúpula de tres aguas
Ampliación
4 tetra. + 3 de octubre 		22 33 13 0x3 3 3x3 4 6x3 5 4x3 6


 C 3v , [3]
3 3 1 1


 quince 9

Extensión bipirámide triangular
8 tetra. + 2 de octubre 		24 36 catorce 2x3 3
3x3 4
0x3 5
9x3 6 		D 3h , [3]
6 9 5
Antiprisma hexagonal 24 36 catorce 0x3 3
0x3 4
12x3 5
2x3 6 		D 6d , [12,2 + ]
12 2
 24 12
Tetraedro truncado
Extensión
6 tetraedro. + 4 de octubre 		28 42 dieciséis 0x3 3
0x3 4
12x3 5
4x3 6 		Td , [3,3]
4 4
 Dieciocho 12
Tetrakiskuboctahedron
Octaedro
Extensión
8 tetra. + 6 de octubre 		32 24 Dieciocho 0x3 3 12x3
4 0x3
5 6x3
6 		Oh , [ 4,3 ]
ocho 12 6

Deltaedros no convexos

Hay infinitos deltaedros no convexos y toroidales .

Un ejemplo de un deltaedro con caras que se intersecan a sí mismas

Se pueden obtener otros deltaedros no convexos agregando pirámides a las caras de los 5 poliedros regulares:

triaquistetraedro tetraquishexaedro Triakisoctaedro
( stella octangula ) 		pentakisdodecaedro triaquisicosaedro
12 triángulos 24 triángulos 60 triángulos

Otras extensiones de tetraedros:

Ejemplos: tetraedros aumentados
8 triángulos 10 triángulos 12 triángulos

También agregando pirámides invertidas a las caras:


Dodecaedro con muescas
deltaedro toroidal
60 triángulos 48 triángulos

Notas

  1. ↑ Freudenthal, van der Waerden, 1947 , p. 115–128.
  2. ↑ Deltaedros convexos . Consultado el 6 de junio de 2016. Archivado desde el original el 26 de septiembre de 2020.
  3. ↑ Trigg, 1978 , pág. 55–57.
  4. ↑ Los deltaedros convexos y la concesión de caras coplanares . Consultado el 13 de octubre de 2017. Archivado desde el original el 19 de octubre de 2015.

Literatura