Objetos triviales en álgebra

En álgebra (una rama de las matemáticas), muchas estructuras algebraicas son triviales , es decir, los objetos más simples . Al igual que los conjuntos, constan de un solo elemento , indicado con el símbolo " 0 ", y el objeto mismo, como " {0} ", o simplemente "0" según el contexto (por ejemplo, en secuencias exactas ). Los objetos correspondientes a casos triviales son importantes para la unificación del razonamiento: por ejemplo, es más conveniente decir que “las soluciones de la ecuación T  x = 0 siempre forman un espacio lineal” que hacer la reserva “... o un conjunto { 0 }”.

Los más importantes de estos objetos son:

En los últimos tres casos, la multiplicación por un escalar se define como κ0 = 0  , donde κ ∈ R.

Cualquier álgebra cero también es trivial como un anillo. El álgebra nula sobre un campo es un espacio lineal nulo, y sobre un anillo es un módulo nulo.

Interpretación con teoría de categorías

En términos de teoría de categorías , un objeto trivial es un objeto terminal y, a veces (dependiendo de la definición de un morfismo ), un objeto nulo (es decir, tanto terminal como inicial ).

Un objeto trivial es único salvo isomorfismo .

La terminalidad de un objeto trivial significa que el morfismo A → {0} existe y es único para cualquier objeto A en la categoría. Este morfismo asigna cada elemento del objeto A a 0 .

2↕ _  = [ ]  ‹0
↔
1 		^
0 		↔
1
El elemento de espacio nulo, escrito como un vector de columna vacío (derecha), se multiplica por una matriz vacía de 2 × 0 para obtener un vector nulo bidimensional (izquierda). Se observan las reglas de multiplicación de matrices .

En las categorías Rng (anillos sin unidad obligatoria), R - Mod y Vect R , un anillo trivial, un módulo nulo y un espacio, respectivamente, son objetos nulos. El objeto nulo es, por definición, inicial, es decir, el morfismo {0} → A existe y es único para cualquier objeto A de la categoría. Este morfismo asigna 0 , el único elemento del objeto {0} , a cero 0 ∈ A . Este es un monomorfismo , y su imagen (un submódulo/subespacio en A generado por cero elementos ) es isomorfa a {0}.

Estructuras con una unidad

En estructuras con una unidad ( un elemento neutral de la multiplicación), las cosas no son tan simples. Cuando la definición de un morfismo en una categoría requiere su preservación, el objeto trivial es solo terminal (pero no inicial) o no existe en absoluto (por ejemplo, cuando la definición de una estructura requiere la desigualdad 1 ≠ 0 ).

En la categoría Anillo de anillos unitarios, el anillo de números enteros Z es el objeto inicial, no {0}.

Véase también

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