Undécimo problema de Hilbert

El undécimo problema de Hilbert es uno de los 23 problemas de David Hilbert presentados en el Segundo Congreso Internacional de Matemáticos en París en 1900. Continuando con la teoría de la forma cuadrática , Hilbert formuló el problema de la siguiente manera:

Nuestro conocimiento de la teoría de los campos numéricos cuadráticos nos permite estudiar con éxito la teoría de las formas cuadráticas con cualquier número de variables y cualquier coeficiente numérico algebraico. Esto conduce, en particular, a un problema interesante: resolver una ecuación cuadrática dada con coeficientes numéricos algebraicos con cualquier número de variables, números enteros o fraccionarios relacionados con el conjunto algebraico de números racionales, definido por los coeficientes.

Texto original  (inglés)[ mostrarocultar] Nuestro conocimiento actual de la teoría de los campos numéricos cuadráticos nos coloca en posición de abordar con éxito la teoría de las formas cuadráticas con cualquier número de variables y con cualquier coeficiente numérico algebraico. Esto conduce en particular al interesante problema: resolver una ecuación cuadrática dada con coeficientes numéricos algebraicos en cualquier número de variables por números enteros o fraccionarios pertenecientes al reino algebraico de la racionalidad determinada por los coeficientes.

Como dijo el matemático estadounidense y canadiense Irving Kaplansky , "El undécimo problema es simplemente este: clasificar formas cuadráticas a partir de cuerpos numéricos algebraicos". Esto es exactamente lo que hizo el matemático alemán Hermann Minkowski para una forma cuadrática con coeficientes fraccionarios. Una forma cuadrática (no una ecuación cuadrática) es cualquier polinomio en el que cada término tiene variables que aparecen exactamente dos veces. La forma general de tal ecuación es: (todos los coeficientes deben ser números enteros ).

Se considera que una forma cuadrática dada es un número natural , si en lugar de sustituir variables por números específicos, se da este número. El matemático y físico alemán Karl Gauss y sus seguidores descubrieron que si cambias las variables de cierta manera, la nueva forma cuadrática será la misma de los números naturales que los anteriores, pero en una forma diferente y más comprensible. Usó esta teoría de formas cuadráticas equivalentes para probar los resultados de la teoría de los números enteros. El astrónomo y matemático francés Joseph Lagrange , por ejemplo, demostró que cualquier número natural puede expresarse como la suma de cuatro cuadrados. Gauss probó esto usando su teoría de las relaciones de equivalencia , mostrando que la fórmula cuadrática corresponde a todos los números naturales. Como se mencionó anteriormente, Minkowski creó y probó una teoría similar para formas cuadráticas que usaban fracciones como coeficientes. El undécimo problema de Gilbert ofrece una teoría similar. En otras palabras, este es un método de clasificación en el que podemos determinar si una forma es equivalente a otra, pero si los coeficientes son números algebraicos . El matemático alemán Helmut Hasse demostró esto usando su principioy el hecho de que la teoría es relativamente simple para los sistemas p-ádicos en octubre de 1920. Publicó su obra en 1923 y 1924. El principio local-global dice que a menudo se puede obtener un resultado general sobre un número racional, o incluso sobre todos los números racionales, verificando que el resultado sea verdadero para cada uno de los sistemas numéricos p-ádicos.

Véase también

 problemas de hilbert