*-álgebra

*-álgebra ( álgebra con involución , álgebra con conjugación ) es un álgebra asociativa con involución , que tiene propiedades similares a la conjugación compleja .

*-anillo

*-anillo es un anillo con la operación unaria *, que es

un anti-automorfismo , es decir

\ (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}

\ (xy)^{*}=y^{*}x^{*}

\ 1^{*}=1

e involución , es decir

\ (x^{*})^{*}=x.

Tal anillo también se llama anillo de involución .

*-álgebra

*-álgebra A es un *-anillo, que es un álgebra asociativa sobre otro *-anillo R , con la operación de coincidencia * en $R\subconjunto A.$

El anillo base * suele ser un número complejo (donde * es una conjugación compleja).

Entonces * es conjugado-lineal, es decir

(\lambda x+\mu y)^{*}=\lambda ^{*}x^{*}+\mu ^{*}y^{*}\quad \lambda ,\mu \in R;\;\ ;x,y\en A

*-homomorfismo es un homomorfismo de álgebra que asigna una involución en A a una involución en B , es decir: $\f:A\a B$

f(x^{*})=f(x)^{*}\quad \forall x\in A.

Los elementos para los cuales se denominan autoadjuntos , simétricos o hermitianos . $\x^{*}=x$
Los elementos para los cuales se denominan conjugados sesgados , antisimétricos o antihermitianos . $\x^{*}=-x$
Es posible definir la forma hermítica usando la operación * en la forma . $\phi (x,y)=x^{*}\cdot y$

C*-álgebra

El álgebra C* es un álgebra * de Banach sobre el campo de los números complejos, para el cual se cumple la propiedad C* :

\|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|,

\|xx^{*}\|=\|x\|\|x^{*}\|.

Ambas condiciones son equivalentes.

También son equivalentes a la propiedad B*

\|xx^{*}\|=\|x\|^{2}.

Ejemplos

El ejemplo más famoso son los números complejos con conjugación. ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$
Matrices cuadradas con elementos complejos con la operación de conjugación hermitiana .
Conjugación hermítica de un operador lineal en un espacio de Hilbert .

Propiedades

Muchas propiedades de conjugación de números complejos se almacenan en *-álgebras:

Si el elemento 2 en el anillo es invertible , entonces y son idempotentes ortogonales . Como espacio vectorial , el álgebra se descompone en una suma directa de subespacios de elementos simétricos y antisimétricos (hermitianos y antihermitianos). ${\frac 12}(1-*)$ ${\frac 12}(1+*)$
Los elementos hermitianos del *-álgebra forman el álgebra de Jordan .
Los elementos antihermitianos del *-álgebra forman el álgebra de Lie .

Notación

La operación de involución generalmente se escribe como un símbolo de asterisco ( asterisco ), indicado después del operando, que está al nivel de la línea media o ligeramente elevado por encima de ella:

x ↦ x *

x ↦ x ∗ ( Τ Ε Χ :x^*),

pero no " x ∗ " porque el símbolo de asterisco para operaciones binarias está debajo de la línea media. A veces también se usa un acento x , como en la conjugación compleja, o x † (una cruz tipográfica en relieve ).

Véase también

Álgebras de operadores
El procedimiento de Cayley-Dixon a veces construye un *-álgebra

Bibliografía

H. G. Dales, Álgebras de Banach y continuidad automática , Clarendon Press, Oxford, 2000, p. 142-150.