Presheaf (teoría de categorías)
Un presheaf en la teoría de categorías es una construcción que generaliza el concepto topológico de un presheaf .
Formalmente, un prehaz en una categoría con valores en la categoría es un funtor , es decir, un funtor contravariante de a . La mayoría de las veces, se consideran poleas con valores en la categoría de conjuntos . Si es un conjunto parcialmente ordenado de conjuntos abiertos de un espacio topológico por inclusión, entonces una pregavilla categórica define una pregavilla en un espacio topológico en el sentido usado en la teoría de las gavillas .
Los morfismos entre pregavillas se pueden definir como transformaciones naturales de funtores. Esto nos permite considerar la categoría de funtores . Un funtor en se llama profunctor .
Un prehaz naturalmente isomorfo al funtor Hom para algún objeto de la categoría se llama un prehaz representable .
Un ejemplo ampliamente utilizado de un presheaf en el sentido teórico de la categoría es un conjunto simplicial que es un presheaf en una categoría simplicial con valores en la categoría de conjuntos.
Propiedades
- Si es una categoría pequeña , entonces la categoría de poleas en ella es cartesiana cerrada , e incluso un topos . También es completo y completo .
- Una categoría localmente pequeña admite un empotramiento completo y univalente en la categoría de poleas sobre ella con valores en — el empotramiento de Yoneda .
Literatura
- McLane S. Capítulo 3. Construcciones y límites universales // Categorías para el matemático en activo = Categorías para el matemático en activo / Per. De inglés. edición V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 págs. — ISBN 5-9221-0400-4 .
- Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk , "Poleas en geometría y lógica" (1992) Springer-Verlag - ISBN 0-387-97710-4