Centro de masa

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El centro de masa (también el centro de inercia ) es un punto geométrico, cuya posición está determinada por la distribución de masa en el cuerpo, y el desplazamiento caracteriza el movimiento del cuerpo o sistema mecánico como un todo [1] . El radio vector de un punto dado viene dado por la fórmula

{\vec {r}}_{c}=\left(\int \rho ({\vec {r}})dV\right)^{-1}\int \rho ({\vec {r }}){\vec {r}}dV,

donde es la densidad dependiente de coordenadas, y la integración se realiza sobre el volumen del cuerpo. El centro de masa puede estar dentro o fuera del cuerpo. ${\ estilo de visualización \ rho ({\ vec {r)))}$

El uso del concepto de centro de masa, así como el sistema de coordenadas asociado con el centro de masa, es conveniente en muchas aplicaciones de la mecánica y simplifica los cálculos. Si las fuerzas externas no actúan sobre un sistema mecánico, entonces su centro de masa se mueve con una velocidad constante en magnitud y dirección.

Giovanni Ceva aplicó la consideración de centros de masa a la solución de problemas geométricos, como resultado se formularon los teoremas de Menelao y los teoremas de Ceva [2] .

En el caso de sistemas de puntos y cuerpos materiales en un campo gravitatorio homogéneo, el centro de masa coincide con el centro de gravedad, aunque en el caso general se trata de conceptos diferentes.

Centro de masa en mecánica clásica

Definición

La posición del centro de masa (centro de inercia) de un sistema de puntos materiales en la mecánica clásica se determina de la siguiente manera [3] :

{\vec r}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}{\vec r}_{i}}{\sum \limits _{i}m_{i}} },

donde es el radio vector del centro de masa, es el radio vector del i - ésimo punto del sistema, es la masa del i -ésimo punto. ${\vec r}_{c}$ ${\vec r}_{i}$ ${\ estilo de visualización m_ {i}}$

Para el caso de distribución de masa continua:

{\vec r}_{c}={1 \over M}\int \limits _{V}\rho ({\vec r}){\vec r}dV,

M=\int \limites _{V}\rho ({\vec r})dV,

donde es la masa total del sistema, es el volumen, es la densidad. El centro de masa caracteriza así la distribución de masa sobre un cuerpo o un sistema de partículas. $METRO$ $V$ $\rho$

Si el sistema no consta de puntos materiales, sino de cuerpos extensos con masas , entonces el radio vector del centro de masa de tal sistema está relacionado con los radio vectores de los centros de masa de los cuerpos por la relación [4] : $Mi}$ $R_{c}$ $R_{{ci}}$

{\vec R}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}M_{i}{\vec R}_{{ci))}{\sum \limits _{i}M_{i }}}.

En efecto, sean dados varios sistemas de puntos materiales con masas del sistema Radio-vector : $M_{1},M_{2},...M_{N}.$ ${\vec{R}}_{c_{n}}$ $norte$

{\vec {R}}_{c_{n}}={\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{\vec {r}}_{i_ {n}}}{\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}}}={\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{ \vec{r}}_{i_{n}}}{M_{n}}},\ n=1,2,...N.

{\vec {R}}_{c}={\frac {\sum \limits _{n}\left({\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n }}{\vec {r}}_{i_{n}}}{M_{n}}}\cdot M_{n}\right)}{\sum \limits _{n}M_{n}}}= {\frac {\sum \limits _{i}M_{i}{\vec {R}}_{ci}}{\sum \limits _{i}M_{i}}}.

Al pasar a cuerpos extendidos con distribución de densidad continua, las fórmulas contendrán integrales en lugar de sumas, lo que dará el mismo resultado.

En otras palabras, en el caso de cuerpos extensos, es válida una fórmula que en su estructura coincide con la utilizada para los puntos materiales.

Ejemplos

Centros de masa de figuras planas homogéneas

El segmento tiene un medio.
Para polígonos:
- Un paralelogramo tiene un punto donde se cortan las diagonales .
- Un triángulo tiene un punto de intersección mediana ( centroide ).
Un polígono regular tiene un centro de simetría rotacional .
Un semicírculo tiene un punto que divide el radio perpendicular en relación con el centro del círculo. ${\frac{4}{3\pi }}$

Las coordenadas del centro de masa de una figura plana homogénea se pueden calcular mediante las fórmulas (consecuencia de los teoremas de Papp-Guldin ):

x_{s}={\frac {V_{y}}{2\pi S}}

y , donde es el volumen del cuerpo obtenido al girar la figura alrededor del eje correspondiente, es el área de la figura.

y_{s}={\frac{V_{x}}{2\pi S}}

V_{x},V_{y}

S

Centros de Masa de Perímetros de Figuras Homogéneas

El centro de masa de los lados del triángulo está en el centro del círculo inscrito del triángulo adicional (un triángulo con vértices ubicados en los puntos medios de los lados de este triángulo). Este punto se llama centro de Spieker . Esto significa que si los lados del triángulo están hechos de un alambre delgado de la misma sección transversal, entonces el centro de masa ( baricentro ) del sistema resultante coincidirá con el centro del círculo inscrito del triángulo adicional o con el Spieker. centro.

Uso

El concepto de centro de masa es ampliamente utilizado en física, en particular, en mecánica.

El movimiento de un cuerpo rígido se puede considerar como una superposición del movimiento del centro de masa y el movimiento de rotación del cuerpo alrededor de su centro de masa. En este caso, el centro de masa se mueve de la misma forma que se movería un cuerpo con la misma masa, pero de dimensiones infinitesimales ( punto material ). Esto último significa, en particular, que todas las leyes de Newton son aplicables para describir este movimiento . En muchos casos, uno puede ignorar por completo las dimensiones y la forma del cuerpo y considerar solo el movimiento de su centro de masa.

A menudo es conveniente considerar el movimiento de un sistema cerrado en un marco de referencia asociado con el centro de masa. Tal sistema de referencia se llama el sistema del centro de masa (C-system), o el sistema del centro de inercia . En él, la cantidad de movimiento total de un sistema cerrado siempre permanece igual a cero, lo que nos permite simplificar las ecuaciones de su movimiento.

Centro de masa en mecánica relativista

En el caso de altas velocidades (del orden de la velocidad de la luz ) (por ejemplo, en física de partículas elementales ), el aparato SRT se utiliza para describir la dinámica del sistema . En la mecánica relativista (SRT), los conceptos de centro de masa y sistema de centro de masa también son los conceptos más importantes, sin embargo, la definición del concepto cambia:

{\vec r}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}{\vec r}_{i}E_{i}}{\sum \limits _{i}E_{i}} },

donde es el radio vector del centro de masa, es el radio vector de la i-ésima partícula del sistema, es la energía total de la i-ésima partícula. ${\vec r}_{c}$ ${\vec r}_{i}$ ${\ Displaystyle E_ {yo}}$

Esta definición se aplica solo a sistemas de partículas que no interactúan. En el caso de partículas que interactúan, la definición debe tener en cuenta explícitamente el momento y la energía del campo creado por las partículas [5] .

Para evitar errores, debe entenderse que en SRT el centro de masa se caracteriza no por la distribución de masa, sino por la distribución de energía. En el curso de física teórica de Landau y Lifshitz , se prefiere el término "centro de inercia". En la literatura occidental sobre partículas elementales se utiliza el término "centro de masa" ( center-of-mass en inglés ): ambos términos son equivalentes.

La velocidad del centro de masa en la mecánica relativista se puede encontrar mediante la fórmula:

{\vec v}_{c}={\frac {c^{2}}{\sum \limits _{i}E_{i}}}\cdot \sum \limits _{i}{\vec p} _{i}.

Conceptos relacionados

Centro de masa vs. baricentro

El término "centro de masa" es sinónimo de uno de los significados del concepto de baricentro (del griego antiguo βαρύς - pesado + κέντρον - centro), pero este último se usa principalmente en problemas de astrofísica y mecánica celeste. Por baricentro se entiende el centro de masa común a varios cuerpos celestes, alrededor del cual se mueven estos cuerpos. Un ejemplo sería el movimiento conjunto de un planeta y una estrella (ver figura) o un componente de estrellas binarias . El centro de masa (baricentro) en este caso se encuentra en el segmento de longitud que conecta los cuerpos con las masas y , a una distancia del cuerpo . $yo$ $m_1$ $m_2$ $s=m_{2}l/(m_{1}+m_{2})$ $m_1$

Otro significado de la palabra baricentro se refiere a la geometría más que a la física; en este valor, la expresión de la coordenada del baricentro difiere de la fórmula del centro de masa por la ausencia de densidad (como si fuera siempre constante). ${\ estilo de visualización \ rho =}$

Centro de masa vs. centro de gravedad

El centro de masa del cuerpo no debe confundirse con el centro de gravedad.

El centro de gravedad de un sistema mecánico es el punto con respecto al cual el momento total de las fuerzas de gravedad (que actúan sobre el sistema) es igual a cero. Por ejemplo, en un sistema formado por dos masas idénticas unidas por una varilla inflexible y colocadas en un campo gravitatorio no homogéneo (por ejemplo, planetas), el centro de masa estará en el centro de la varilla, mientras que el centro de gravedad de la el sistema se desplazará hacia ese extremo de la barra, que está más cerca del planeta (porque el peso P = m g depende del parámetro del campo gravitatorio g ) y, en términos generales, incluso se encuentra fuera de la barra.

En un campo gravitacional uniforme, el centro de gravedad siempre coincide con el centro de masa. En problemas no cósmicos, el campo gravitatorio suele considerarse constante dentro del volumen del cuerpo, por lo que en la práctica estos dos centros casi coinciden.

Por la misma razón, los conceptos de centro de masa y centro de gravedad coinciden cuando estos términos se utilizan en geometría, estática y áreas similares, donde su aplicación en comparación con la física puede llamarse metafórica y donde la situación de su equivalencia es implícita. asumido (dado que no hay un campo gravitacional real, entonces teniendo en cuenta su heterogeneidad no tiene sentido). En estos usos, los dos términos son tradicionalmente sinónimos y, a menudo, se prefiere el segundo simplemente porque es más antiguo.

Véase también

Notas

↑ Targ S. M. Centro de inercia (centro de masa) // Enciclopedia física : [en 5 volúmenes] / Cap. edición A. M. Projorov . - M .: Gran Enciclopedia Rusa , 1999. - V. 5: Dispositivos estroboscópicos - Brillo. - S. 624-625. — 692 pág. — 20.000 copias. — ISBN 5-85270-101-7 .
↑ G. Ceva, De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milán, 1678
↑ Zhuravlev, 2001 , pág. 66.
↑ Feynman R. , Layton R., Sands M. Número 2. Espacio. Tiempo. Movimiento // Conferencias de Feynman en física . - M. : Mir, 1965. - 164 p. - S. 68.
↑ Landau L. D., Lifshitz E. M. Teoría de campo. - 7ª edición, revisada. — M .: Nauka , 1988 . — 512 págs. - ("Física Teórica", Tomo II). — ISBN 5-02-014420-7 .

Literatura

Bobylev DK Center, en física // Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.
Zhuravlev VF Fundamentos de mecánica teórica. 2ª ed. - M. : Fizmatlit, 2001. - 320 p. — ISBN 5-94052-041-3 . .