Aritmética de intervalos

La aritmética de intervalos  es una estructura matemática que, para intervalos reales , define operaciones similares a la aritmética ordinaria. Esta área de las matemáticas también se denomina análisis de intervalos o computación de intervalos . Este modelo matemático es conveniente para estudiar varios objetos aplicados [1] :

• Magnitudes cuyos valores se conocen solo de forma aproximada , es decir, se define un intervalo finito en el que están contenidos estos valores.
• Cantidades cuyos valores se distorsionan por errores de redondeo durante los cálculos .
• variables aleatorias

Los objetos y las operaciones de la aritmética de intervalos pueden verse como una generalización del modelo de números reales, razón por la cual los intervalos se denominan números de intervalo en varias fuentes . La importancia práctica de este modelo se debe a que los resultados de las mediciones y cálculos casi siempre tienen algún error, el cual debe ser tenido en cuenta y evaluado.

Antecedentes

La aritmética de intervalos no es un fenómeno completamente nuevo en matemáticas; ha aparecido varias veces en la historia con diferentes nombres. Por ejemplo, Arquímedes en el siglo III a.C. e .. calculó los límites inferior y superior para el número :

Aunque los cálculos de intervalos no fueron tan populares como otros métodos numéricos, no se olvidaron por completo.

La nueva historia de la computación de intervalos comienza en 1931 con el trabajo de Rosalind Cecily Young [2] , donde se dieron reglas para computar con intervalos y otros subconjuntos de números reales. En 1951, apareció el libro de texto de Paul S. Dwyer sobre álgebra lineal , en el que se consideró este tema desde el punto de vista de mejorar la confiabilidad de los sistemas digitales: los intervalos se usaron para estimar los errores de redondeo asociados con los números de coma flotante [3] . En 1958, Teruo Sunaga publicó un artículo detallado sobre la aplicación del álgebra de intervalos al análisis numérico [4] .

En la segunda mitad del siglo XX, las necesidades de la informática provocaron el rápido desarrollo del análisis de intervalos casi de forma simultánea e independiente en la Unión Soviética, EE. UU., Japón y Polonia. En 1966, apareció el libro del matemático estadounidense Ramon Moore "Interval Analysis" [ 5 ] . El mérito de este trabajo fue que, partiendo de un principio simple, proporcionó un método general para analizar automáticamente los errores, y no solo los errores resultantes del redondeo.

En las siguientes dos décadas, Karl Nickel y sus estudiantes de la Universidad de Friburgo, en los grupos de Ulrich Kulisch y Götz Ahlefeld en la Universidad de Karlsruhe , llevaron a cabo importantes investigaciones sobre el análisis de intervalos y sus aplicaciones en Alemania [6]. ] [7] y otros.

En la década de 1960, Eldon R. Hansen amplió el enfoque de intervalo a los sistemas de ecuaciones lineales y luego hizo importantes contribuciones a la optimización global , incluido lo que ahora se conoce como el método de Hansen, quizás el algoritmo de intervalo más utilizado [8] . Los métodos clásicos en este problema a menudo tienen problemas para determinar el valor global más grande (o más pequeño) (solo pueden encontrar un óptimo local y no pueden encontrar los mejores valores); Helmut Rachek y John George Rockne desarrollaron una variación del método branch andbound , que hasta entonces solo se había aplicado a valores enteros.

En 1988, Rudolf Lohner desarrolló un software basado en Fortran para probar el problema de Cauchy para sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias [9] .

Desde la década de 1990, comenzó la publicación de la revista internacional "Interval Computing" - "Interval Computations", que en 1995 pasó a llamarse "Reliable Computing" ("Reliable Computing"). Los temas principales de la revista son los cálculos basados ​​en evidencia, los métodos de análisis de intervalos y sus aplicaciones.

En Rusia y la URSS, V. M. Bradis ha estado involucrado activamente en temas de intervalo desde la década de 1920 . En 1962, uno de los primeros números del Siberian Mathematical Journal publicó un artículo de Leonid Vitalievich Kantorovich , quien, de hecho, esbozaba los fundamentos del análisis de intervalos en espacios parcialmente ordenados y las aplicaciones de nuevas técnicas. En su artículo, este tema fue señalado como prioritario para nuestra ciencia computacional [10] . En el período de posguerra, uno de los primeros fue el libro de Yu.I. Shokin "Análisis de intervalos" [11] . Al año siguiente, un libro de texto de T.I. Nazarenko y L. V. Marchenko "Introducción a los métodos de intervalo de las matemáticas computacionales" [12] , y en 1986 - una monografía de S. A. Kalmykov, Yu. I. Shokin y Z. Kh. Yuldashev "Métodos de análisis de intervalo" [13] .

Operaciones sobre intervalos

Consideraremos todos los posibles intervalos reales finitos . Las operaciones sobre ellos se definen de la siguiente manera:

• Suma: [ a , b ] + [ c , d ] = [ a + c , b + d ]
• Resta: [ un , segundo ] − [ do , re ] = [ un − re , segundo − do ]
• Multiplicación: [ a , b ] × [ c , d ] = [min ( ac , ad , bc , bd ), max ( ac , ad , bc , bd )]
• División: [ a , b ] / [ c , d ] = [min ( a/c , a/d , b/c , b/d ), max ( a/c , a/d , b/c , b/ d )]

Se puede ver a partir de la definición que el intervalo de suma contiene todas las sumas posibles de números de los intervalos de sumando y determina los límites del conjunto de dichas sumas. Otras acciones se tratan de manera similar. Tenga en cuenta que la operación de división se define solo si el intervalo del divisor no contiene cero.

Los intervalos degenerados cuyo comienzo y final coinciden se pueden identificar con números reales ordinarios. Para ellos, las definiciones anteriores coinciden con las operaciones aritméticas clásicas.

Propiedades de operación

La suma y la multiplicación de intervalos son conmutativas y asociativas . Pero en lugar de la distributividad completa de la multiplicación por adición, tiene lugar la llamada subdistributividad:

Variantes y extensiones de la aritmética de intervalos

IEEE 1788

El estándar de implementación informática IEEE 1788-2015 para la aritmética de intervalos se adoptó en junio de 2015. [14] Durante el desarrollo del estándar y en los años siguientes, se prepararon varias implementaciones de referencia distribuidas libremente: [15] la biblioteca C++ libieeep1788 [ 16] biblioteca para C++, la biblioteca JInterval para el lenguaje Java y un paquete que implementa intervalo cálculos para el software matemático libre GNU Octave [17] .

El subconjunto mínimo del estándar, diseñado para simplificar y acelerar su implementación, IEEE Std 1788.1-2017, se adoptó en diciembre de 2017 y se publicó en febrero de 2018. [18]

Software

Hay muchas implementaciones de la aritmética de intervalos en varios paquetes de software [19] . A menudo están diseñados como bibliotecas especializadas. Varios compiladores de Fortran y C++ incluyen soporte para valores de intervalo como un tipo de datos especial.

Véase también

• Cálculos aproximados
• IEEE754

Notas

1. ↑ Shary, 2019 , pág. Dieciocho.
2. ↑ Young, Rosalind Cicely (1931). la cantidad de cantidades polivalentes. Mathematische Annalen, 104(1), 260-290. (Esta es su disertación en la Universidad de Cambridge ).
3. ↑ Dwyer, Paul Sumner (1951). Cálculos lineales. Oxford, Inglaterra: Wiley. (Universidad de Michigan)
4. ↑ Teoría del álgebra de intervalos y su aplicación al análisis numérico  //  RAAG Memoirs: revista. - 1958. - No. 2 . - Pág. 29-46 .
5. ↑ Análisis de intervalos  . - Englewood Cliff, Nueva Jersey, Estados Unidos: Prentice Hall , 1966. - ISBN 0-13-476853-1 .
6. ↑ Grundzüge der Intervallrechnung // Jahrbuch Überblicke Mathematik  (alemán) / Laugwitz, Detlef. - Mannheim, Alemania: Bibliographisches Institut , 1969. - Bd. 2.- S. 51-98.
7. ↑ Wissenschaftliches Rechnen mit Ergebnisverifikation. Eine Einführung  (alemán) . - Wiesbaden: Springer Vieweg Verlag , 1989. - ISBN 3-528-08943-1 .
8. ↑ Optimización global mediante análisis de intervalos  . — 2do. - Nueva York, EE. UU.: Marcel Dekker , 2004. - ISBN 0-8247-4059-9 .
9. ↑ Límites para ecuaciones diferenciales ordinarias de Rudolf Lohner . Archivado el 11 de mayo de 2018. (en alemán)
10. ↑ Notas históricas .
11. ↑ Shokin, 1981 .
12. ↑ T. I. Nazarenko, L. V. Marchenko. Introducción a los métodos de intervalo de las matemáticas computacionales "Libro de texto. Irkutsk: Editorial de la Universidad de Irkutsk, 1982. - 108 p.
13. ↑ S. A. Kalmykov, Yu. I. Shokin, Z. Kh. Yuldashev Métodos de análisis de intervalos. - Novosibirsk: Nauka, 1986, 224 p.
14. ↑ Estándar IEEE para aritmética de intervalos . Consultado el 7 de febrero de 2022. Archivado desde el original el 7 de febrero de 2022. (indefinido)
15. ↑ Revol, Nathalie (2015). El futuro (casi) estándar IEEE 1788 para la aritmética de intervalos. 8º pequeño taller sobre métodos de intervalo. Diapositivas (PDF) Archivado el 2 de junio de 2016 en Wayback Machine .
16. ↑ Implementación en C++ del estándar preliminar IEEE P1788 para aritmética de intervalos . Consultado el 31 de julio de 2018. Archivado desde el original el 10 de junio de 2018. (indefinido)
17. ↑ Paquete de intervalos de octava de GNU . Consultado el 31 de julio de 2018. Archivado desde el original el 9 de noviembre de 2016. (indefinido)
18. ↑ IEEE Std 1788.1-2017 - Estándar IEEE para aritmética de intervalos (simplificado) . IEEE SA . Asociación de Normas IEEE. Consultado el 6 de febrero de 2018. Archivado desde el original el 7 de febrero de 2022. (indefinido)
19. ↑ Software para cálculos de intervalos Archivado el 2 de marzo de 2006 en Wayback Machine recopilado por Vladik Kreinovich , Universidad de Texas en El Paso

Literatura

• Alefeld G., Herzberger J. . Una introducción a la computación de intervalos . M.: Mir, 1987. 356 p.
• Dobronets B. S. Intervalo Matemáticas . Krasnoyarsk: Editorial KSU, 2004.
• Shary S. P. Análisis de intervalos de dimensión finita . - Novosibirsk: XYZ, 2019. - 635 p.
• Shokin Yu. I. Análisis de intervalos . - Novosibirsk: sucursal siberiana de la editorial Nauka, 1981.

Enlaces

• Análisis de intervalos y sus aplicaciones .
  • Notas Históricas .
• Aritmética de intervalos en Mathworld  .